計入套圈柔性下圓柱滾子軸承載荷分布研究*

周恒宇，周建星，金鵬程，余鵬飛，劉國春

(新疆大學 機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

圓柱滾子軸承作為應用廣泛的基礎零部件具有承載能力大、啟動快等優(yōu)點，但也是整機系統(tǒng)中最容易失效的零部件之一.軸承外圈承載頻率高、應力值大，其過早失效是軸承失效的主要原因[1].外圈載荷分布不僅會直接影響軸承壽命，還會影響設備運行的平穩(wěn)性.因此，研究軸承外圈的載荷分布具有重要的工程意義.

針對滾動軸承外圈載荷的分布規(guī)律，國內外學者作出了一系列研究.Harris[2]基于剛性支撐理論，求解了不同徑向游隙下軸承內部載荷的分布形式.查浩等[3]建立了包含軸承的車輛軌道動力學模型，考慮軸承內部元件之間的相互作用，分析了在軌道載荷激勵和列車運行速度下軸承滾子與外圈滾道接觸載荷的變化規(guī)律.姚廷強等[4]在前者基礎上，采用廣義有限元法計入外圈柔性求解并分析軸承的靜態(tài)載荷分布半角以及不同轉速下接觸力波動情況.然而，以往學者的研究中對柔性套圈下外圈載荷的分布規(guī)律研究較少.因此，本文首先求解套圈為柔性和剛性時不同徑向載荷下承載半角的變化.其次，建立剛體動力學和有限元模型，分析不同轉速及載荷對外圈承載區(qū)域的影響.最后，探討了計入套圈柔性時軸承振動特性、接觸應力應變的變化規(guī)律.基于上述內容，本文的研究路線如圖1所示.

圖1 套圈柔性下外圈承載區(qū)域流程圖

1 有限元模型

1.1 軸承幾何參數

本文以NU205EM型圓柱滾子軸承為研究對象，其主要的幾何參數如表1所示.

表1 圓柱滾子軸承基本參數

1.2 材料參數及邊界條件設置

圓柱滾子軸承結構上呈對稱性，因軸承內部運動關系復雜且具有強非線性，為減小計算規(guī)模，在滿足計算精度的前提下采用二維平面單元建立有限元模型[5].內外圈材料均選為軸承鋼，其材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3.保持架材料為黃銅，其材料密度為8 050 kg/m3，彈性模量為105 GPa，泊松比為0.32.

為避免軸承在較大載荷時出現穿透現象，使用罰函數作為接觸算法.滾動體為接觸面，內外圈滾道及保持架為目標面，采用自動面對面接觸類型，共建立39組接觸對.滾子與保持架之間的摩擦因數設為0.05，滾子與內外圈滾道之間的摩擦因數設為0.07.外圈與滾子接觸區(qū)域網格進行局部加密，以此提高計算結果的準確性.

邊界條件的設置：考慮到軸承的實際工作情況，因軸承外圈與軸承座為過盈配合，故軸承外圈節(jié)點采用固定約束.內圈繞Z軸旋轉的同時受到一定的徑向載荷Fr作用，在內圈內表面節(jié)點上沿Y 軸負方向上施加不同載荷[6].建立計入轉速條件下的動力學模型時，內圈施加繞Z軸的逆時針轉速.有限元模型及邊界條件如圖2所示.

圖2 有限元模型及邊界條件

1.3 理論驗證

靜力學模型驗證：根據文獻[2]計算軸承在不同徑向載荷時滾子的最大接觸力，計算結果如表2所示.

表2 不同徑向載荷下最大接觸力

動力學模型驗證：根據文獻[2]給出的簡單運動學關系，假設滾動體和套圈之間的關系為純滾動，接觸點上不存在滑動現象.計算軸承在轉速為1 300 r/min、徑向載荷為1 500 N時內部運動的解析解與數值解并進行對比，結果如表3所示.

表3 軸承運動參數對比

由表2與表3可知，兩種模型的解析解與數值解的最大誤差均不超過7%，說明了本文所建立有限元模型的正確性.

2 基于剛體套圈理論模型

2.1 靜力學模型

徑向載荷下剛性支撐軸承，任意角度ψ上的變形量與載荷分布系數為[2]：

式中：δr為ψ0°處套圈徑向位移量，Pd為徑向游隙.

受力平衡方程為：

式中：Z為滾子個數，Jr(ε)為徑向積分，Kn為載荷-位移系數.

承載區(qū)域判定式為：

利用控制誤差法求解式（2），首先假定δr的值由式（1）計算ε，參考文獻[2]由ε計算Jr(ε)，如若不能滿足式（3）則重復上述過程.根據式（1）計算各位置處的變形量，依據式（3）判定外圈承載區(qū)域.

2.2 動力學模型

基于剛體套圈理論和接觸剛度建立二自由度的剛體動力學模型[7]，首先作出以下假設：1）軸承外圈固定在剛性支撐上，內圈固定在旋轉軸上受到徑向載荷；2）滾動體置于套圈之間作等間距排列，滾動體與滾道之間為純滾動.如圖3所示.

圖3 滾動軸承結構示意圖

基于以上假設，滾動體與內外接觸點之間的線速度vi和vo分別為：

式中：r和R分別為軸承內外圈的半徑；wi和wo分別為軸承內外圈的角速度.

基于上述假設滾動體之間為純滾動，保持架的角速度等于滾動體的公轉速度，則有：

外圈的角速度為0，則有：

保持架的角速度為：

設第j個滾動體的位置為：

設內圈中心在X軸Y 軸的振動位移為x和y，假設軸承的游隙為r0，則第j個滾子與內圈滾道法向接觸量為：

根據赫茲接觸理論，第j個滾子產生的壓力為Pj，在接觸時只會產生正壓力并且只有δj＞0才會產生作用力.

式中：Cb為赫茲接觸剛度；H(x)為赫維賽德函數，當δj＞0時，函數值為1；當δj＜0時，函數值為0.

Pj在X軸Y 軸產生的分量分別為：

內圈受力平衡表達式為：

式中：fx與fy分別為滾動體與內外圈的接觸力合力在X軸方向與Y 軸方向的分量.

圖4為根據式（12）建立的彈簧-質量模型；式（13）為根據彈簧-質量模型建立的二自由度動力學方程：

圖4 滾動軸承彈簧-質量模型

式中：Fx和Fy分別為軸承內圈在X軸方向和Y 軸方向上的徑向力.

3 計算結果對比與分析

3.1 靜力學模型下外圈承載區(qū)域判定

當有限元模型承載區(qū)內滾子個數為偶數時，施加不同的徑向載荷作用于軸承的內圈內表面上.由圖5可知，在較小的徑向載荷下，承載個數為四滾子承載，隨著載荷的增加，軸承的承載個數由4個增加到6個.這說明：在相同的承載位置上，軸承的承載狀況也會因工況的改變而發(fā)生變化，承載個數會大于剛體套圈下的理論承載個數，滾子在承載區(qū)域內承載時會出現“提前承載、滯后退出”的現象.

圖5 六滾子承載狀態(tài)

不同徑向載荷下柔性套圈和剛性套圈的承載半角如圖6所示.由圖6可知，計入套圈柔性時，隨著徑向載荷的增加，外圈的承載半角呈增加趨勢，但受接觸剛度的影響其增加趨勢逐漸減緩.

圖6 不同徑向載荷下的承載半角

3.2 不同轉速及載荷對六滾子承載區(qū)域的影響

軸承內圈運動軌跡對六滾子承載區(qū)域（以下簡稱承載區(qū)域）產生較大影響.根據文獻[8]可知，隨著載荷的增加，內圈運動軌跡在載荷方向移動一定距離但移動幅度隨載荷增加而減緩；隨著轉速增加，內圈運動軌跡隨旋轉方向向左偏移一定距離.

圖7為滾子12在內圈轉速為2 000 r/min以及3 000 r/min下動態(tài)接觸力沿外圈分布曲線，最值點1為轉速2 000 r/min時動態(tài)接觸力最大值點，最值點2為轉速在3 000 r/min時動態(tài)接觸力最大值點.由圖7可知，隨著轉速的增加，動態(tài)接觸力最大值略微增加且向左偏移一定角度；當滾子離開承載區(qū)域時與外圈碰撞增加，導致滾子與外圈碰撞力和承載區(qū)域皆增加.

圖7 2 000 r/min以及3 000 r/min動態(tài)接觸力分布

圖8為徑向載荷1 500 N、轉速1 000～4 000 r/min時軸承外圈的承載區(qū)域.由圖8可知，當轉速由1 000 r/min增加到2 000 r/min時，外圈承載區(qū)域由146.50°增加到158.12°；當轉速由3 000 r/min增加到4 000 r/min時，外圈承載區(qū)域由171.55°增加到182.32°，外圈承載區(qū)域向左偏移.這說明：轉速增大對承載區(qū)域造成的變化受軸承接觸剛度的影響較小，轉速與承載區(qū)域之間呈線性關系.隨著轉速增加，非承載區(qū)將出現受力現象.

圖8 不同轉速下六滾子承載區(qū)域

圖9為徑向載荷1 000～4 000 N、轉速1 300 r/min時軸承外圈的承載區(qū)域.由圖9可知，當徑向載荷由2 000 N增加到3 000 N時，其外圈的承載區(qū)域由148.50°增加到164.88°；當徑向載荷由3 000 N增加到4 000 N時，其外圈承載區(qū)域由164.88°增加到167.40°.這是因為承載區(qū)域受軸承接觸剛度的影響，隨著載荷的增加而增加，但增加趨勢逐漸減小，并且隨著載荷的增加外圈的承載區(qū)域趨向于對稱分布.

圖9 不同徑向載荷下六滾子承載區(qū)域

3.3 加速度及應變變化規(guī)律

由3.1節(jié)及3.2節(jié)可知，不同載荷及轉速導致軸承外圈承載區(qū)域發(fā)生一定的變化，分析承載區(qū)域的變化對外圈應變及加速度的影響將具有重要的工程意義.在軸承外圈不同位置采集信號，其中：點1位于徑向載荷作用線Y 軸正下方，點2及點3分別位于六滾子載荷作用線上.本文以點1處的振動加速度級進行分析，得出不同載荷和轉速下的振動加速度級曲線如圖10所示.

圖10 不同載荷及轉速下剛性與柔性加速度級變化

《滾動軸承振動（加速度）測量方法》（JB/T 5314―2002）規(guī)定采用分貝（dB）作為軸承的振動量值單位，稱為軸承振動加速度級[9]，其表達式為：

式中：a為某一頻帶范圍內的均方根，a0為參考加速度9.81×10－3m/s2.

分析圖10中的振動加速度級曲線可知，計入套圈柔性時，軸承的振動加速度級大于剛性條件下的振動加速度級，當載荷由1 000 N增加至4 000 N時，其加速度級由20.3 dB增加至31.2 dB，變化趨勢與接觸剛度的變化趨勢保持一致，即隨著載荷增加軸承的振動加速度級增加，但增加趨勢減緩；當轉速由1 000 r/min增加至4 000 r/min時，其振動加速度級由26.5 dB增加至27.8 dB，軸承的振動加速度級呈線性增加趨勢，但增加幅值較小.綜上所述，載荷是影響軸承振動的主要因素.

本文以點2以及點3處時域歷程的應變均值作為應變值進行分析，得出應變曲線如圖11所示.由圖11可知，隨著轉速的增加外圈的承載區(qū)域向左偏移，導致點2處的應變幅值逐漸增加，點3處的應變幅值逐漸減小.這說明：隨著內圈轉速的增加，軸承承載區(qū)內左半部分振動值大于右半部分振動值.

圖11 不同轉速下點2及點3處的應變值

3.4 承載數目改變對外圈接觸應力的影響

圖12為轉速1 300 r/min、徑向載荷1 000～3 000 N時，軸承外圈點1處的接觸應力值.由圖12可知，當內圈受到1 500～3 000 N的徑向載荷時，柔性套圈下承載區(qū)內滾子承載數目增加導致其外圈的接觸應力小于理論數目支撐下外圈的接觸應力，并且隨著載荷增加仿真接觸應力與理論接觸應力的差值逐漸變大[10].

圖12 不同承載數目外圈接觸應力對比

4 結論

本文以NU205EM型圓柱滾子軸承為研究對象，探究了計入套圈柔性條件下，軸承在變轉速及變載荷工況下的外圈承載區(qū)域、應力應變、振動加速度級的變化規(guī)律，所得主要結論如下：

1）在計入套圈柔性條件下，隨著載荷的增加，滾子承載數目大于剛體套圈下的承載數目，承載數目由四滾子承載增加到六滾子承載，外圈的接觸應力值小于相同時刻只計入四滾子承載時的接觸應力值，軸承外圈的載荷分布趨向于對稱分布，其分布區(qū)域增加趨勢與接觸剛度的增加趨勢保持一致.

2）在計入套圈柔性條件下，隨著轉速的增加，外圈承載區(qū)域增加，并且承載區(qū)域受旋轉方向影響向左偏移；承載區(qū)域左半部分振動值大于右半部分振動值.

3）在計入套圈柔性條件下，軸承振動加速度級大于剛性條件下的振動加速度級；隨著載荷的增加，軸承振動加速度級的增加趨勢與接觸剛度的增加趨勢保持一致；隨著轉速的增加，軸承的振動加速度級線性增加，但增加幅值較??；其中，載荷是影響軸承振動加速度級的主要因素.