分析難點 設(shè)計鋪墊 提升能力
——高段學(xué)生解決一個幾何問題的研究

□ 蔣燕芬

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，總會遇到一些有難度的題。這些難題的教學(xué)若處理不當(dāng)，容易讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)信心，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生恐懼。若處理得當(dāng)，則可讓學(xué)生感受到問題解決的愉悅，助力其形成對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好體驗。

一、問題的提出

學(xué)生在學(xué)習(xí)人教版教材五年級下冊“長方體和正方體”單元時，遇到了這樣一道題：

一個棱長是3cm 的正方體零件，從它的正面、上面、右面的中心位置各挖去（鑿穿）一個邊長是1cm 的正方形孔（如圖1）后，把這個零件浸沒在底面邊長是5cm 的裝有水的長方體容器中。水面上升了幾cm？

圖1

用這道題對五年級88名學(xué)生進(jìn)行測試，正確率約為31.82%（下文稱這個問題為“較難題”）。能否不通過教學(xué)活動，即不通過師生對話或生生對話，而是由教師編制一組鋪墊題，讓學(xué)生獨立解決，以提高學(xué)生解決這類較難題的正確率和表達(dá)水平，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)？本文試圖探究設(shè)計這樣的鋪墊性題目，以幫助學(xué)生解決較難題。

二、研究的對象與過程

筆者選取了一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校五年級兩個班共88名學(xué)生作為研究對象。這些學(xué)生升入六年級后，筆者繼續(xù)把他們作為研究樣本進(jìn)行研究。

研究過程分為以下七步。

第一步，學(xué)習(xí)五年級下冊教學(xué)內(nèi)容時，對學(xué)生進(jìn)行第一次較難題測試。

第二步，分析學(xué)生的解題困難點。

第三步，根據(jù)學(xué)生的解題困難點，設(shè)計一組相應(yīng)的鋪墊題。

第四步，學(xué)生獨立解決鋪墊題。

第五步，對學(xué)生進(jìn)行第二次較難題測試。

第六步，九個月后（六年級下學(xué)期），對學(xué)生進(jìn)行第三次較難題測試。

第七步，分析研究，得出研究結(jié)論。

三、鋪墊題及其設(shè)計思路

要設(shè)計出有效的鋪墊題，需要先了解學(xué)生的解題思路。筆者用前文提到的這道較難題對88名五年級學(xué)生進(jìn)行測試，能夠正確解決這道較難題的有28人，約占31.82%；錯誤解題的有60人，約占68.18%。

（一）學(xué)生解決這道較難題的正確思路

正確解決這道較難題的學(xué)生，能夠從整體到局部清楚解題的步驟，即先明確：挖去孔后的零件浸沒到長方體容器中，上升水的高度=上升水的體積÷長方體容器的底面積；上升水的體積=挖去孔后零件的體積。再運用“挖去孔后零件的體積=原來正方體零件的體積-挖去的孔的體積”這一數(shù)量關(guān)系解決問題。其中，求出“挖去孔后零件的體積”是解題的關(guān)鍵步驟。學(xué)生有兩種方法可以求“挖去孔后零件的體積”。

方法一：學(xué)生通過想象和計數(shù)得到挖去的是7個小正方體，直接用“原來正方體的體積”減去“挖去的7 個小正方體的體積”，即3×3×3-1×1×1×7=20（cm3）。這種方法可以稱為“想象計數(shù)法”，用這種方法解題的學(xué)生約占11.36%（如圖2）。

圖2

方法二：先求出“原來正方體零件的體積”，再求“挖去的3個小長方體”的體積。因為“挖去的3個小長方體”中間重疊部分的那個小正方體多減了2次，所以要用“3個小長方體的體積”減去“2個小正方體的體積”。最后用“原來正方體零件的體積”減去“挖去的孔的體積”。即3×3×3=27（cm3），1×1×3×3-1×1×1×2=7（cm3），27-7=20（cm3）。這種方法可以稱為“整體思考法”，用這種方法解題的學(xué)生約占20.45%（如圖3）。

圖3

（二）學(xué)生解題難點的分析以及解決辦法

通過對學(xué)生解題過程的分析，可以發(fā)現(xiàn)，不能正確解決這道較難題的學(xué)生遇到的困難主要有以下兩種。

1.難點一：不能想象出挖去部分的形狀

（1）約9.09%的學(xué)生不能想象出挖去部分的形狀是有重疊部分的3 個長方體，以為只挖去了從圖上能看到的正面、上面、右面的3 個小正方體（如圖4）。

圖4

（2）約5.68%的學(xué)生認(rèn)為挖去的是正方體表面的6個小正方體（如圖5）。這部分學(xué)生除了看得到的3 個小正方體，還能想象到相對的面還有3 個小正方體，但是他們無法想象正方體零件的最中心位置（中間重疊部分）還有1個小正方體。

圖5

【預(yù)設(shè)幫助學(xué)生克服難點一的方法】

設(shè)計鋪墊題能讓學(xué)生明白“鑿穿”是什么意思，看到挖去的不是只有面上的那幾塊，而是一塊一塊疊起來形成的一個長方體，一直從這一面通到對面。可以將挖去（鑿穿）的部分用色彩突出顯示，將原本需要想象的圖形可視化（如圖6），讓學(xué)生形成表象。

圖6

2.難點二：不能想象出挖去的3個小長方體有重疊部分

（1）約22.73%的學(xué)生認(rèn)為“挖去的孔的體積”就是“3 個小長方體的體積”，即挖去了9 個小正方體。這部分學(xué)生不能想象出挖去的3 個小長方體有重疊部分。

（2）約17.05%的學(xué)生用“1×1×3×3- 1×1×1=8（cm3）”計算“挖去的孔的體積”，也就是說，這部分學(xué)生知道有重疊部分，但只減去了1個重疊的小正方體的體積。

【預(yù)設(shè)幫助學(xué)生克服難點二的方法】

（1）設(shè)計“挖去2 個小長方體”的圖式，并將中間“重疊”的小正方體用不同的色彩突出顯示（如圖7），讓學(xué)生看見重疊的這個小正方體，并想象挖去的這2 個小長方體重疊的部分是“1 個小正方體”。

圖7

（2）把正方體零件“切開”，讓學(xué)生進(jìn)一步涂色，涂出那些被“挖去的小正方體”，即把里面看不見的方塊變成可見，通過操作強化挖去部分的形狀和大?。ㄈ鐖D8）。之后要求學(xué)生閉上眼睛想一想，哪些是被挖去的小正方體，讓學(xué)生從看得見的直接操作上升到能夠運用表象進(jìn)行思考。

圖8

基于對較難題的正確解題思路和學(xué)生解題難點的分析，筆者設(shè)計了以下兩道鋪墊題。

鋪墊題1：從一個棱長是3cm 的正方體零件上面的中心位置，挖去一個邊長為1cm 的正方形孔，直到穿過它的對面（如圖6）。

（1）這個零件剩下的體積是多少立方厘米？再想一想挖去部分的形狀和大小。

（2）把這個零件浸沒在底面邊長是5cm的裝有水的長方體容器中。水面上升了幾厘米？

鋪墊題2：從一個棱長是3cm 的正方體零件的上面、右面的中心位置，挖去一個邊長為1cm 的正方形孔，直到穿過它的對面。

（1）看一看圖7，想一想挖去部分的形狀是怎樣的。如果看成是2個小長方體合在一起，那么它們重疊的部分是什么形狀？

（2）看一看圖8，想一想挖去了哪些正方體，并把挖去的這些正方體涂上顏色。

（3）求出圖7這個零件挖去孔后的體積是多少立方厘米。

四、測試結(jié)果與分析

在學(xué)生完成第一次較難題測試的三天后（在這三天中，既沒有教給學(xué)生與較難題相關(guān)的內(nèi)容，也沒有讓學(xué)生做相關(guān)的練習(xí)），讓學(xué)生先獨立完成鋪墊題，再用較難題進(jìn)行第二次測試。九個月后，用較難題進(jìn)行第三次測試。測試結(jié)果及分析如下。

（一）第二次較難題測試結(jié)果及分析

學(xué)生獨立完成鋪墊題后，進(jìn)行了第二次較難題測試。與第一次較難題測試的情況進(jìn)行比較，可以得到以下結(jié)果。

（1）解題正確率提高。通過先獨立完成鋪墊題，再做較難題，學(xué)生解題的正確率從第一次的31.82%提高到70.45%。

（2）解題時間縮短。第一次測試時，解答正確的學(xué)生平均用時3.6分鐘；第二次測試時，平均用時縮短到1.9分鐘。這說明學(xué)生的思維速度加快了。

（3）表達(dá)水平提升。在第二次測試中，能夠正確解決較難題的學(xué)生，畫圖說明思路的達(dá)到了64.52%，用文字說明算式含義的達(dá)到了100%。和第一次測試時相比，第二次測試時，學(xué)生能用清晰的語言和算式進(jìn)行表達(dá)，能用直觀圖式進(jìn)行表征。

學(xué)生A 和B 第一次做較難題時，解答都是錯誤的，但在第二次做較難題時，解答就正確了。學(xué)生A 第一次做較難題時，雖然知道有重疊部分，但只減去了1 個重疊的小正方體的體積。獨立解決鋪墊題后，學(xué)生A 第二次做較難題時，已經(jīng)能夠很好地運用“想象計數(shù)法”解決問題（如圖9），清晰地想象出挖孔后零件每一層的情況，并能用直觀圖式表征出來，還能用清晰的語言和算式進(jìn)行表達(dá)。

圖9

學(xué)生B 第一次做較難題時，不能想象出挖去部分有重疊。第二次做較難題時，她已經(jīng)能很好地運用“整體思考法”解決問題（如圖10），并清楚地描述出“中間有2個小正方體是重復(fù)算的”。

圖10

（4）解題思路拓展。經(jīng)過鋪墊題的訓(xùn)練，學(xué)生計算較難題“挖去孔后零件的體積”時，出現(xiàn)了四種方法。

方法①：先直接求出挖去的小正方體個數(shù)是7個，再用“3×3×3-1×1×1×7=20（cm3）”算出“挖去孔后零件的體積”。

方法②：直接將每層剩下的小正方體的個數(shù)進(jìn)行累加，即8+4+8=20（cm3）。

方法③：先計算“挖去3 個長方體的體積-2 個小正方體的體積”，即1×1×3×3-1×1×1×2=7（cm3），再計算“挖去孔后零件的體積”，即27-7=20（cm3）。

方法④：先用“原來正方體的體積-挖去的3個長方體的體積”，再加上“最中間被多減了2次的小正方體的體積”，即3×3×3-1×1×3×3+1×1×1×2=20（cm3）。

方法①和方法②可以歸類為用“想象計數(shù)法”解決問題，方法③和方法④可以歸類為用“整體思考法”解決問題。

第一次較難題測試時，多數(shù)學(xué)生不能正確解決問題。在做了鋪墊題后再進(jìn)行第二次較難題測試，能夠正確解題的學(xué)生數(shù)上升了，正確率提升了38.63%。在這些學(xué)生中，約22.72%的學(xué)生用“想象計數(shù)法”計算“挖去孔后零件的體積”，余下15.91%的學(xué)生則運用“整體思考法”解決問題。第二次較難題測試結(jié)果說明：鋪墊題為學(xué)生運用“想象計數(shù)法”提供了很好的幫助；學(xué)生的空間觀念得到了改進(jìn)；運用“整體思考法”的難度大于運用“想象計數(shù)法”的難度。

在進(jìn)行第二次較難題測試時，筆者還給學(xué)生增加了一道延伸題。延伸題在較難題的基礎(chǔ)上作了一點改變，把較難題中的棱長改為了4cm，其他的條件與問題都不變。因此，在解題思路上，兩道題是基本相同的。學(xué)生解決延伸題的正確率約為42.05%，明顯高于第一次較難題測試的正確率。圖11 是一個學(xué)生解決延伸題時的解題過程，可以看出，該學(xué)生的表達(dá)很有邏輯性。

圖11

雖然學(xué)生解決延伸題的正確率已經(jīng)高出第一次較難題測試的正確率10%左右，但是遠(yuǎn)低于第二次較難題測試的正確率。兩道題的解題思路基本一樣，解題正確率卻相差近30%，這是什么原因呢？仔細(xì)分析學(xué)生解決延伸題的過程，發(fā)現(xiàn)近30%的學(xué)生都是把挖去部分的體積算成了與較難題一樣的體積。圖12 是一個學(xué)生解決延伸題的過程，他就犯了這樣的錯誤。

圖12

可見，學(xué)生完成鋪墊題、較難題的測試后，馬上進(jìn)行延伸題的測試，他們會受到較難題的影響，產(chǎn)生負(fù)遷移，錯誤地認(rèn)為挖去部分的體積不變。

（二）第三次較難題測試結(jié)果及分析

在進(jìn)行第二次較難題測試時，學(xué)生剛完成了鋪墊題，鋪墊題的解題思路無疑會對學(xué)生正確解決較難題產(chǎn)生積極的影響。如果過一段時間，在沒有做鋪墊題的情況下，直接讓學(xué)生做較難題，學(xué)生還能夠正確解決問題嗎？根據(jù)艾賓浩斯記憶遺忘曲線，30 天后，人們對信息的記憶只剩21%左右。于是，筆者在九個月后，對學(xué)生進(jìn)行第三次較難題測試。其間既不對學(xué)生進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，也沒讓學(xué)生做相關(guān)的練習(xí)題（相應(yīng)的教材與作業(yè)本中都沒有相關(guān)的題目）。結(jié)果，第三次解決較難題的正確率約為80.68%，解決延伸題的正確率約為56.82%。學(xué)生在解題速度、解題思路的表達(dá)、解題方法的多元化等方面都表現(xiàn)得比較理想。學(xué)生這一表現(xiàn)說明，一方面，這兩道鋪墊題對解決這一類較難題起著積極的作用；另一方面，隨著學(xué)生年級的升高，他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)了圓柱與圓錐的相關(guān)知識，這也促進(jìn)了學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

五、研究啟示

（一）從可視（操作）到想象是培養(yǎng)空間觀念的有效途徑

空間觀念是學(xué)生核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，學(xué)生解決鋪墊題和較難題的過程就是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的過程。鋪墊題的設(shè)計遵循了“從可視（操作）到想象”這一路徑，學(xué)生解決較難題的正確率和表達(dá)水平得到明顯提高，說明這一路徑是培養(yǎng)空間觀念的有效途徑。

（二）部分學(xué)生在想象“組合幾何體”的形狀與大小方面存在困難

從上述三次測試可知，尚有20%左右的學(xué)生不能正確解決較難題，這是因為他們不能想象出挖去部分的這個組合幾何體的形狀與大小。在正確解決較難題的學(xué)生中，仍有部分學(xué)生不能將方法進(jìn)行遷移應(yīng)用，正確解決延伸題。這些都說明要提升學(xué)生的能力，培養(yǎng)空間觀念這一核心素養(yǎng)。