考慮變流速及尺度效應(yīng)的一維溶質(zhì)運(yùn)移模型及半解析解

李艷芳

(鄂爾多斯市國能神東監(jiān)理有限責(zé)任公司,內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 719315)

0 引言

地下水溶質(zhì)運(yùn)移理論一直受到水文地質(zhì)學(xué)者的廣泛關(guān)注,主要原因是溶質(zhì)在多孔介質(zhì)運(yùn)移過程中涉及復(fù)雜的物理、化學(xué)和生物過程[1-3]。許多學(xué)者基于對流-彌散方程(Advection-Dispersion Equation,ADE)構(gòu)建了大量的解析和數(shù)值的溶質(zhì)運(yùn)移理論模型,預(yù)測污染物在含水層的運(yùn)移特征。例如,在均質(zhì)含水層中建立了考慮常系數(shù)的一維、二維、三維ADE解析模型[4-5]。然而,傳統(tǒng)的常系數(shù)ADE模型在室內(nèi)和野外應(yīng)用過程中受到了廣泛的質(zhì)疑,主要是由于受到變流速、尺度效應(yīng)及非均質(zhì)等因素的影響,無法有效地解譯溶質(zhì)的穿透曲線,尤其是很難刻畫非費(fèi)克溶質(zhì)運(yùn)移現(xiàn)象(如拖尾、提前穿透及多峰等現(xiàn)象)[6-7]。

國內(nèi)外學(xué)者開展溶質(zhì)運(yùn)移解析模型研究時(shí),為了避免地下水流速變化導(dǎo)致ADE模型難以求解,通常假定地下水流是穩(wěn)定的,即為常數(shù)。而實(shí)際含水層由于受到補(bǔ)、徑、排模式與地表水體水位及地下水開采量變化等因素的影響,含水層中地下水流速會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。例如,河流和湖泊水位季節(jié)性變化或洪水會(huì)導(dǎo)致沿岸附近地下水位隨著地表水的變化而變化[8]。此外,物理、化學(xué)和生物堵塞也會(huì)導(dǎo)致室內(nèi)土柱試驗(yàn)地下水流速不斷衰減,進(jìn)而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)的參數(shù)反演出現(xiàn)偏差。例如,Zaheer[9]等針對低滲透介質(zhì)進(jìn)行了一系列土柱溶質(zhì)運(yùn)移實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),地下水流速隨時(shí)間呈指數(shù)下降。許多學(xué)者針對變流速溶質(zhì)運(yùn)移問題開展了變流速條件下的溶質(zhì)運(yùn)移理論研究。Jaiswal[10]等提出了線性、漸近及指數(shù)等形式來刻畫隨時(shí)間變化的流速,并利用時(shí)間-空間變換方法獲得變流速條件下的一維ADE解析解。提出的線性及指數(shù)函數(shù)的流速將分別趨近于無窮和零,而實(shí)際地下水流速應(yīng)當(dāng)趨近于某個(gè)有限值。為此,Li[11]等提出了指數(shù)變化的地下水流速漸進(jìn)方程,并利用積分變換獲得變流速淋濾作用下的一維溶質(zhì)運(yùn)移的解析解。

除了地下水流速隨著時(shí)間變化外,彌散度與遷移尺度有著密切聯(lián)系[12-14]。Gelhar[15]等通過分析59個(gè)不同現(xiàn)場的觀測數(shù)據(jù)得到,含水層的彌散度具有尺度效應(yīng)。Wang[6]等進(jìn)行土柱示蹤試驗(yàn),研究表明,尺度效應(yīng)在溶質(zhì)運(yùn)移過程中發(fā)揮了重要的作用。大量野外與室內(nèi)實(shí)驗(yàn)分析認(rèn)為,多孔介質(zhì)的非均性是導(dǎo)致彌散度尺度效應(yīng)的主要原因。目前,許多學(xué)者綜合多方面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),總結(jié)了遷移距離和彌散度之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系,包括線性、指數(shù)及拋物線等多種形式[16-17],構(gòu)建了相應(yīng)的尺度效應(yīng)理論模型。例如,You和Zhan[18]利用Laplace變化推導(dǎo)了考慮線性漸近和指數(shù)變化的一維半解析解,擬合了Huang[19]等土柱試驗(yàn)數(shù)據(jù),擬合效果優(yōu)于傳統(tǒng)的ADE模型。

圖1 一維溶質(zhì)運(yùn)移示意圖Fig.1 Schematic diagram of one-dimensional solute transport

在溶質(zhì)運(yùn)移理論中,變流速和彌散度的尺度效應(yīng)是不容忽視的。通過文獻(xiàn)研究發(fā)現(xiàn),同時(shí)考慮變流速與尺度效應(yīng)的研究較少,為此構(gòu)建了考慮變流速及尺度效應(yīng)的一維溶質(zhì)運(yùn)移模型,利用指數(shù)變化的地下水流速方程來刻畫多孔介質(zhì)中地下水流速的變化,并耦合彌散度隨著距離指數(shù)變化的函數(shù)。利用積分變換及Laplace變換方法獲得變流速及尺度效應(yīng)溶質(zhì)運(yùn)移的半解析解,探究指數(shù)變化的地下水流速及彌散度對溶質(zhì)運(yùn)移的影響機(jī)理。

1 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

關(guān)于多孔介質(zhì)中溶質(zhì)運(yùn)移模型中的地下水流速通常設(shè)定為常數(shù),但實(shí)際過程中地下水流速是隨時(shí)間變化的,時(shí)常表現(xiàn)出指數(shù)增加或指數(shù)衰減趨勢[11]。例如,當(dāng)含水層受到生物、化學(xué)及物理堵塞時(shí)會(huì)導(dǎo)致滲透性減小,使得地下水流速表現(xiàn)出指數(shù)衰減[20-21]。河岸帶及海岸帶的松散含水層由于地表水位的波動(dòng)(如洪水、潮汐等作用)會(huì)引起含水層地下水流速呈指數(shù)增或減的趨勢[8]。因此考慮地下水流速可以表示為指數(shù)增或指數(shù)減的形式[11]:

v(t)=v0τ(t)=v1+(v0-v1)e-λt

(1)

式中:v0為多孔介質(zhì)地下水初始的流速[L/T];v1為最終穩(wěn)定的地下水流速[L/T];λ為流速變化指數(shù)[1/T]。當(dāng)v0>v1時(shí),式(1)表示地下水流速為指數(shù)減的情況;當(dāng)v0

(2)

為了概化為溶質(zhì)運(yùn)移距離與彌散度之間的函數(shù)關(guān)系,許多學(xué)者提出多種經(jīng)驗(yàn)方程,目前常見的經(jīng)驗(yàn)方程主要有線性、指數(shù)、拋物線及漸進(jìn)方程[16]。室內(nèi)實(shí)驗(yàn)及野外試驗(yàn)研究表明,指數(shù)方程更符合實(shí)際情況[18],因此選取彌散度隨溶質(zhì)運(yùn)移距離為指數(shù)變化方程,可表示為:

α(x)=α0(1-e-bx/L)

(3)

D(x,t)=α(x)v(t)

(4)

式中:α0(x)為隨溶質(zhì)運(yùn)移距離為指數(shù)變化的彌散度[L];α0為遷移距離足夠大時(shí)漸進(jìn)的彌散度[L];b/L為彌散度變化指數(shù)[1/L];L為多孔介質(zhì)的空間距離[L]。

在建立流速及尺度效應(yīng)的一維溶質(zhì)運(yùn)移模型之前,為了簡化數(shù)學(xué)模型,假定:①多孔介質(zhì)地下水流動(dòng)為非穩(wěn)定流,流速為指數(shù)變化。②多孔介質(zhì)彌散度遷移隨遷移距離的變化而變化,彌散度為指數(shù)變化。③溶質(zhì)為惰性溶質(zhì),僅考慮吸附作用?？紤]變流速及尺度效應(yīng)的對流-彌散方程(ADE),可表示為:

(5)

式中:C為溶質(zhì)的濃度[M/L3];x為距離[L];t為時(shí)間[T];D(x,t)為隨時(shí)間和空間變化的彌散系數(shù)[L2/T],且v(t)為隨時(shí)間變化的地下水流速[L/T];R是遲滯系數(shù)[M/L3]。將式(3)、(4)帶入式(5)可得:

(6)

初始及邊界條件為:

C(t=0,x)=0

(7)

(8)

(9)

式中:C0為x=0處的給定濃度[M/L3];t0為脈沖注入的時(shí)間[T]。將該模型簡稱為EE模型(Advection-dispersion equation with exponentially time-dependent flow velocity and distance-dependent dispersivity)。

2 數(shù)學(xué)模型求解

為了化簡上述的數(shù)學(xué)模型,式(6)兩邊同除以τ(t),可得:

(10)

為了獲取模型的解,引入一個(gè)新的積分變換:

(11)

則式(6)可表示為:

(12)

邊界條件及初始條件在相同的積分變化下可表示為:

C(T=0,x)=0

(13)

(14)

(15)

(16)

C(TD=0,xD)=0

(17)

(18)

(19)

對式(16)～(19)分別對TD作Laplace變換,得:

(20)

(21)

(22)

定義新的變量z=e-bxD,則式(20)可以表示為:

(23)

式(23)可表示為超幾何函數(shù)的形式:

(24)

式中:Q= 0

(25)

(26)

(27)

求解式(25)～(26),可得:

(28)

(29)

式(24)的通解為:

(30)

若T0

(31)

X[m(e-bm)F(m+1,m+1;m-n+1;e-b)]+Y[n(e-bn)F(n+1,n+1;n-m+1;e-b)]=0

(32)

根據(jù)函數(shù)F(m,m+1;m-n+1; 1)的性質(zhì),當(dāng)m-n+1-(m+m+1)>0(Gao et al., 2010),可得:

(33)

(34)

式中:Γ(·) 為Gama函數(shù)。解式(31)～(32),可獲得系數(shù)X及Y(表1):

表1 式(30)的系數(shù)表達(dá)式Tab.1 Coefficient expression of Equation (30)

(35)

(36)

若T0>TD0,利用相同的計(jì)算方法可得式(30)的系數(shù)X及Y為:

(37)

(38)

上述推導(dǎo)的EE在Laplace空間的解析解包含Gama函數(shù)等特殊函數(shù),很難利用解析逆變換的方法進(jìn)行求解。因此采用數(shù)值逆變換的方法來獲得實(shí)空間下的徑向溶質(zhì)遷移的解,利用Stehfest數(shù)值逆變換方法即可得到EE在實(shí)空間的解。

3 結(jié)果與討論

根據(jù)以上模型的推導(dǎo)和計(jì)算,利用脈沖注入邊界的解析模型來計(jì)算討論表皮區(qū)域的彌散度、孔隙度及厚度對徑向溶質(zhì)遷移的影響。對于以下分析,默認(rèn)的模型參數(shù)見表2。

表2 模型中參數(shù)取值Tab.2 Parameter value in the model

3.1 不同模型對比分析

為了研究變流速與尺度效應(yīng)耦合作用對多孔介質(zhì)中溶質(zhì)運(yùn)移的影響,分別對比分析了ADE、Li[11]等及You和Zhan[18]的解(圖2)。Li等的模型考慮地下水流速是指數(shù)衰減的,彌散度是定值。You和Zhan的模型考慮指數(shù)變化的彌撒度,地下水流速是定值。ADE模型中地下水流速v及彌散度α為定值,分別設(shè)置為1 m/day、2 m,同時(shí)Li等與You和Zhan及EE模型相同參數(shù)設(shè)置是相同的,見表2。由圖2可知,ADE的穿透曲線在早期溶質(zhì)濃度高于其他模型,而后期的濃度低于其他模型。這是由于ADE模型中的地下水流速和彌散度為常數(shù),而Li等的模型地下水流速為指數(shù)衰減,逐漸衰減到v1=0.5 m/day,地下水的流速小于ADE,而You和Zhan的模型彌散度隨著遷移距離逐漸增大至α=2 m,其彌散度也小于ADE,故ADE相比其他模型表現(xiàn)出提前穿透現(xiàn)象。此外,EE解的穿透曲線表現(xiàn)出明顯的滯后現(xiàn)象,主要是由于該模型的地下水流速指數(shù)減小趨近于1 m/day,且彌散度指數(shù)增加趨近于2 m,故其穿透曲線早期濃度最低,后期濃度高于其他模型。說明地下水流速的衰減與尺度效應(yīng)耦合作用會(huì)對溶質(zhì)運(yùn)移產(chǎn)生較大影響。

圖2 不同模型的溶質(zhì)穿透曲線Fig.2 Solute penetration curves for different models

通過對比不同模型結(jié)果發(fā)現(xiàn),EE和Li等的解相比于ADE表現(xiàn)出明顯的拖尾現(xiàn)象,說明地下水流速的減小會(huì)導(dǎo)致穿透曲線表現(xiàn)出拖尾現(xiàn)象。而拖尾現(xiàn)象(非費(fèi)克運(yùn)移)通常被認(rèn)為是由于多孔介質(zhì)的非均質(zhì)性導(dǎo)致的,忽視地下水流速的衰減也會(huì)導(dǎo)致非費(fèi)克運(yùn)移現(xiàn)象,這為非費(fèi)克運(yùn)移研究提供了新思路。尤其是低滲介質(zhì)溶質(zhì)運(yùn)移時(shí)常表現(xiàn)出拖尾現(xiàn)象,其中地下水流速由于受到物理、生物、化學(xué)堵塞及固結(jié)作用,導(dǎo)致地下水流速衰減,這可能是引起非費(fèi)克運(yùn)移的影響因素之一。

3.2 尺度效應(yīng)對溶質(zhì)運(yùn)移的影響

圖3為變流速條件下不同b/L值時(shí)在x=10 m的溶質(zhì)穿透曲線。彌散度變化指數(shù)b/L分別為0.1、0.2、0.4,模型其他參數(shù)設(shè)置為L=50 m,v0=1 m/day,v1=0.5 m/day,α0=2 m 且λ=0.1。將EE模型的計(jì)算結(jié)果與Li等的結(jié)果進(jìn)行對比分析發(fā)現(xiàn),Li等的解計(jì)算溶質(zhì)的穿透曲線早期濃度高于EE解,說明尺度效應(yīng)會(huì)減緩溶質(zhì)遷移。這是由于Li等解的彌散度是定值α=α0=2 m,而EE解的彌散度是隨著遷移距離逐漸增大到α0= 2 m。因此Li等解的彌散度大于EE解。此外,隨著b/L值的增大,EE解的穿透曲線早期濃度增大,后期濃度減小,且峰值不斷減小。表明變流速條件下彌散度尺度效應(yīng)會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致產(chǎn)生穿透曲線削峰及拖尾現(xiàn)象。

圖3 變流速條件下不同取值的彌散度變化指數(shù)b/L 在x=10 m處所對應(yīng)的溶質(zhì)穿透曲線Fig.3 Dispersion change index b/L with different values corresponding to the solute penetration curve at x=10 m under the condition of variable flow velocity

3.3 變流速對溶質(zhì)運(yùn)移的影響

圖4為彌散度尺度效應(yīng)下不同λ值時(shí)在x=10 m的溶質(zhì)穿透曲線。地下水流速衰減指數(shù)λ分為0.1、0.2、0.5,模型其他參數(shù)設(shè)置為L=50 m, b/L=0.1/m,v0=1 m/day,v1=0.5 m/day,α0=2 m。將EE解的計(jì)算結(jié)果與You和Zhan的解進(jìn)行對比分析發(fā)現(xiàn),You和Zhan解的計(jì)算的穿透曲線表現(xiàn)出提前穿透現(xiàn)象,說明地下水流速的衰減會(huì)減緩溶質(zhì)遷移。這是由于You和Zhan解的地下水流速是定值v=v0=1 m/day,而EE解的地下水流速是隨著遷移時(shí)間逐漸由v0=1 m/day衰減到v1=0.5 m/day。因此You和Zhan解的地下水流速大于EE解。隨著λ值的增大,EE解的穿透曲線早期濃度減小,后期濃度增大,溶質(zhì)遷移的速率不斷減小,表明彌散度尺度效應(yīng)下地下水流速的變化對溶質(zhì)運(yùn)移遷移規(guī)律產(chǎn)生了較大的影響,其影響結(jié)果不容忽視。

圖4 彌散度尺度效應(yīng)下不同取值的地下水流速衰減指數(shù)λ在x=10 m處所對應(yīng)的溶質(zhì)穿透曲線Fig.4 Attenuation index λ of groundwater velocity with different values corresponding to the solute penetration curve at x=10 m under the diffusivity scale effect

圖5為尺度效應(yīng)下不同穩(wěn)定流速v1在x=10 m的溶質(zhì)穿透曲線。根據(jù)式(1)可知,不同的v1值表示地下水流速指數(shù)降低或增加,若v1>v0表示指數(shù)增加,若v1

圖5 尺度效應(yīng)下不同穩(wěn)定流速v1在x=10 m的溶質(zhì)穿透曲線Fig.5 Solute penetration curve at x=10 m at different stable velocity v1 under scale effect

4 結(jié)論

基于對流彌散方程,構(gòu)建了考慮隨時(shí)間和空間指數(shù)變化的地下水流速及彌散度的一維溶質(zhì)運(yùn)移模型,通過積分變換及Laplace變換獲得了模型的半解析解,分析了指數(shù)變化的流速及彌散度對溶質(zhì)運(yùn)移的影響,得到的結(jié)論如下:

變流速條件下,隨著彌散度增長速率的增大,溶質(zhì)穿透曲線的拖尾現(xiàn)象明顯且峰值逐漸減小。因此多孔介質(zhì)溶質(zhì)運(yùn)過程中的尺度效應(yīng)因素不能忽視。

在尺度效應(yīng)影響下,多孔介質(zhì)中指數(shù)變化的地下水流速對溶質(zhì)運(yùn)移有較大影響,流速的衰減指數(shù)越大,地下水流速衰減越快,穿透曲線早期濃度減小,后期濃度增大,導(dǎo)致穿透曲線拖尾現(xiàn)象的產(chǎn)生。

穩(wěn)定地下水流速在溶質(zhì)運(yùn)移過程中起到了關(guān)鍵作用,其大小反映了地下水流速增加或減小的幅度,變化幅度越大,溶質(zhì)運(yùn)移快慢表現(xiàn)得越明顯。穩(wěn)定速度的增加會(huì)增大對流作用,導(dǎo)致穿透曲線峰值高,拖尾現(xiàn)象減弱。