異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性*

龔 平

(廣東外語外貿(mào)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣州 510006)

0 引 言

近年來,基于多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制方法被應(yīng)用于移動(dòng)機(jī)器人[1]、無人機(jī)[2]、分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)[3]和交通運(yùn)輸系統(tǒng)[4]等不同應(yīng)用領(lǐng)域.這種控制方法的廣泛應(yīng)用是因?yàn)槠淇朔思锌刂企w系結(jié)構(gòu)的某些能力的限制,如設(shè)備和傳感器的空間分布,短距離通信和計(jì)算負(fù)擔(dān)[5].分布式一致性問題[6-7]作為分布式協(xié)同控制的一個(gè)基本問題和熱點(diǎn)問題,它要求每個(gè)智能體僅使用或獲得有限局部信息,使得所有智能體的狀態(tài)在任意初始條件下達(dá)成一致.文獻(xiàn)[8-9]對(duì)多智能體系統(tǒng)一致性問題進(jìn)行了綜述,從中可知多智能體系統(tǒng)的分布式一致性問題研究成果豐富,但也存在一些未解決的問題.

分?jǐn)?shù)階微積分是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的擴(kuò)展,它為描述各種材料和過程的記憶和遺傳特性提供了一個(gè)極好的工具.近幾十年來,分?jǐn)?shù)階微積分引起廣泛關(guān)注并被應(yīng)用于信號(hào)學(xué)、黏彈性理論、流體力學(xué)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、電路和控制理論等領(lǐng)域[10-11].分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用可以提高對(duì)實(shí)際動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的表征、設(shè)計(jì)以及控制能力,分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域的應(yīng)用成為一個(gè)研究熱點(diǎn).根據(jù)智能體工作環(huán)境的復(fù)雜性,許多自然現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)特性不能應(yīng)用整數(shù)階方程描述,更適合用分?jǐn)?shù)階(非整數(shù)階)動(dòng)力學(xué)的智能個(gè)體合作行為來解釋.例如在有大量微生物和黏性物質(zhì)的海底工作的水下機(jī)器人和在復(fù)雜太空環(huán)境運(yùn)行的無人駕駛飛行器等[12].基于此,分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)分布式一致性問題研究已經(jīng)得到了相當(dāng)多的關(guān)注,如無領(lǐng)導(dǎo)者的分布式一致性問題[13-17]和有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的分布式一致性跟蹤問題[18-22].

收斂速率是多智能體系統(tǒng)一致性算法設(shè)計(jì)的一個(gè)重要性能指標(biāo).存在的一致性算法大多是漸近收斂算法[8],這意味著智能體狀態(tài)只能在無限時(shí)間內(nèi)趨于一致.若需要及時(shí)完成某項(xiàng)控制任務(wù),漸近收斂算法顯然無法滿足需求,這就需要設(shè)計(jì)有限時(shí)間內(nèi)收斂的算法.針對(duì)分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng),文獻(xiàn)[16,21]設(shè)計(jì)了含分?jǐn)?shù)次冪的有限時(shí)間收斂算法,并得到了依賴于系統(tǒng)參數(shù)和初始值的算法收斂時(shí)間上確界估計(jì).有限時(shí)間收斂算法通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)可以滿足某一有限收斂時(shí)間的要求.基于固定時(shí)間穩(wěn)定性理論[9,23],文獻(xiàn)[24-30]針對(duì)不同階數(shù)動(dòng)態(tài)的多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)了含分?jǐn)?shù)次冪的固定時(shí)間一致性算法,并得到了僅依賴系統(tǒng)參數(shù)的算法收斂時(shí)間上確界估計(jì).值得注意的是,固定時(shí)間控制算法和有限時(shí)間控制算法一樣,只能得到依賴于系統(tǒng)參數(shù)的收斂時(shí)間上確界估計(jì),因此具有保守性.另一方面,為了減小收斂時(shí)間估計(jì)值往往需要增加控制參數(shù)值,從而需要更大的控制能量或成本.為了實(shí)現(xiàn)不依賴于任何系統(tǒng)參數(shù)和初始值的收斂時(shí)間,文獻(xiàn)[31-32]分別針對(duì)高階單積分系統(tǒng)和二階線性多智能體系統(tǒng)發(fā)展了基于時(shí)變函數(shù)的預(yù)設(shè)時(shí)間控制方法.此外,文獻(xiàn)[33]針對(duì)一階線性多智能體系統(tǒng)提出了一種基于時(shí)變函數(shù)的預(yù)先指定有限時(shí)間控制算法,實(shí)現(xiàn)了智能體在無需依賴系統(tǒng)參數(shù)和初值的指定有限時(shí)間達(dá)到一致.進(jìn)一步地,文獻(xiàn)[34]研究了具有飽和執(zhí)行器的多智能體系統(tǒng)的指定時(shí)間一致性跟蹤問題.我們注意到,已有的預(yù)設(shè)(或指定)時(shí)間控制方法要求所有智能體都具有線性或同質(zhì)動(dòng)態(tài),但通常異質(zhì)非線性動(dòng)態(tài)廣泛存在于現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景[21].此外,由于傳感器的感知范圍不均勻,智能體之間的通信拓?fù)渫ǔＳ煞菍?duì)稱有向圖而不是對(duì)稱無向圖來描述[20].基于預(yù)設(shè)(或指定)時(shí)間控制方法的已有研究成果大多基于無向拓?fù)湎碌木€性動(dòng)態(tài)多智能體系統(tǒng),具有較大局限性.據(jù)筆者所知,目前還沒有文獻(xiàn)考慮具有異質(zhì)非線性動(dòng)態(tài)和有向拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性問題,雖然異質(zhì)非線性動(dòng)態(tài)和有向拓?fù)涠荚黾恿藛栴}的研究難度,但更符合實(shí)際工程應(yīng)用背景,具有重要而廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值.

基于以上觀察,本文研究了一類異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)在連通無向圖和含生成樹有向圖情況下的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性問題.一個(gè)主要問題是一些用于同質(zhì)線性多智能體系統(tǒng)框架的工具不能用于異質(zhì)非線性多智能體系統(tǒng)框架; 此外,異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的復(fù)雜性與有向網(wǎng)絡(luò)圖的非對(duì)稱性和局部性,都增加了解決本文研究問題的難度.為了處理具有復(fù)雜動(dòng)態(tài)的異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng),在控制器的設(shè)計(jì)中同時(shí)引入了具有分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)的濾波變量,一類非負(fù)時(shí)變函數(shù)和符號(hào)函數(shù),將異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)在某個(gè)預(yù)設(shè)時(shí)刻轉(zhuǎn)化成了易處理的一階線性多智能體系統(tǒng).通過矩陣變換方法來處理含生成樹有向圖中非對(duì)稱的Laplace矩陣.

本文的主要貢獻(xiàn)如下: 1)與文獻(xiàn)[16,21,24-30]中設(shè)計(jì)的含分?jǐn)?shù)次冪的有限時(shí)間或固定時(shí)間控制算法比較,本文設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)時(shí)間控制算法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,控制成本低,收斂時(shí)間可以預(yù)先指定且不依賴于系統(tǒng)參數(shù)和初值.此外,文獻(xiàn)[24-25,27-29]中僅考慮無向圖,而本文考慮了含生成樹的有向圖.2)已有的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性問題成果僅限于具有整數(shù)階動(dòng)態(tài)的多智能體系統(tǒng),本文考慮了具有異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性動(dòng)態(tài)的多智能體系統(tǒng).本文將已有的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性問題研究成果推廣到更一般的,具有異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性動(dòng)態(tài)的多智能體系統(tǒng),豐富和發(fā)展了多智能體系統(tǒng)分布式協(xié)同控制理論和方法.

1 預(yù) 備 知 識(shí)

本節(jié)將給出符號(hào)說明、分?jǐn)?shù)階算子、符號(hào)圖論和一些引理等預(yù)備知識(shí).

1.1 符號(hào)說明

1.2 分?jǐn)?shù)階算子

定義1、定義2和引理1如下,可參見文獻(xiàn)[11].

定義1 函數(shù)f(t)∈C([0,∞),)的α階積分為

定義2 函數(shù)f(t)∈C([0,∞),)的Caputo分?jǐn)?shù)階(α階,0<α≤1)導(dǎo)數(shù)為

引理1 當(dāng)0<α≤1和f(t)∈C([0,∞),)時(shí),有和Dα[Iαf(t)]=f(t).

1.3 代數(shù)圖理論

1.4 重要引理

引理2[33]令h(t,T)∈為一個(gè)非負(fù)時(shí)變函數(shù),如果存在一個(gè)常數(shù)γ>0使得

其中

(1)

(2)

m>2為一個(gè)實(shí)數(shù),T>0為預(yù)設(shè)時(shí)刻.則當(dāng)t≥T時(shí),有l(wèi)imt→T-V(t)=0和V(t)≡0,這意味著V(t)的原點(diǎn)是全局預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定.此外

(3)

引理3[35]如果圖G為包含有向生成樹的有向圖,L為圖G的Laplace矩陣,

(4)

則存在某個(gè)全列矩陣M∈N×(N-1)和某個(gè)正定矩陣Q∈(N-1)×(N-1)使得L=ME和

QEM+(QEM)T>δQ

成立,其中0<δ<2mini∈{1,2,…,N-1}Re(λi(EM)),Re(λi(EM))表示矩陣EM的第i個(gè)特征值的實(shí)部.

2 系統(tǒng)模型和問題描述

考慮由N個(gè)智能體組成一個(gè)多智能體系統(tǒng).令G為N個(gè)智能體之間的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D.考慮如下異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性問題:

Dαxi(t)=ui(t)+fi(xi,t), 0<α≤1,i∈I={1,2,…,N},

(5)

其中Dαxi(t)=[Dαxi1(t),Dαxi2(t),…,Dαxin(t)]T∈n,xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T∈n,xi(t)和ui(t)∈n分別表示智能體i的狀態(tài)和控制輸入,異質(zhì)非線性函數(shù)fi(xi,t)∈n表示智能體i的異質(zhì)非線性動(dòng)態(tài)或異質(zhì)時(shí)變擾動(dòng).

定義3(預(yù)設(shè)時(shí)間一致性[32-33]) 異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性,如果對(duì)于任意的初始狀態(tài)xi(0)都有

(6)

成立,其中T>0為一個(gè)預(yù)先設(shè)定的時(shí)間點(diǎn)或時(shí)刻.

本文要解決的問題是: 為每個(gè)智能體i∈I設(shè)計(jì)一個(gè)分布式控制器ui,使得異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性,即實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)(6).

下文中,為了簡(jiǎn)便將省去(t),如將xi(t)簡(jiǎn)寫為xi等.

3 主 要 結(jié) 論

在本節(jié)中,通過設(shè)計(jì)基于時(shí)變函數(shù)的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性算法,先解決分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)在連通無向圖情況下的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性問題,然后把上述結(jié)論拓展到含生成樹的有向圖情況.

3.1 連通無向網(wǎng)絡(luò)圖的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性

本小節(jié)研究異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D和異質(zhì)非線性函數(shù)滿足如下假設(shè).

假設(shè)1[33]網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DG為連通的無向圖.

注1 假設(shè)1中連通無向圖的假設(shè)條件在無向網(wǎng)絡(luò)中是一個(gè)基本的假設(shè)條件,如文獻(xiàn)[33]; 此外,在下一小節(jié)中,考慮了更一般的含生成樹有向圖情況,進(jìn)一步弱化了條件假設(shè)1.本文中為了保證控制輸入信號(hào)全局有界,假設(shè)異質(zhì)非線性函數(shù)fi(xi,t)滿足假設(shè)2.當(dāng)fi(xi,t)有界時(shí)顯然滿足假設(shè)2,存在很多有界函數(shù)fi(xi,t),如fi(xi,t)=(aiarctan(xi)+gi)3,其中ai為常數(shù);gi=[gi1,gi2,…,gin]T∈n,gik為icos(t),ei-tsin(t),(i+t)-2或i2tanh(t)等有界的時(shí)變函數(shù),k=1,2,…,n.注意到,當(dāng)fi(xi,t)表示異質(zhì)時(shí)變擾動(dòng)時(shí),其有界性假設(shè)是一個(gè)常見的假設(shè)條件,見文獻(xiàn)[32].

當(dāng)假設(shè)1成立時(shí),則圖G的Laplace矩陣L對(duì)稱,且對(duì)稱的Laplace矩陣L有N個(gè)特征值λi滿足0=λ1<λ2≤…≤λN,詳見文獻(xiàn)[6].

首先,引入兩類濾波變量yi和zi分別滿足如下分?jǐn)?shù)階微分方程:

D1-αyi=xi-zi,

(7)

(8)

令

(9)

若圖G為連通的無向圖,考慮如下基于時(shí)變函數(shù)的預(yù)設(shè)時(shí)間分布式一致性控制算法(i∈I):

(10)

(11)

γj>0,j=1,2,b≥1/λ2,時(shí)變函數(shù)h(t,Tj)和exi分別由式(1)和(9)定義,T2>T1>0為預(yù)先設(shè)定時(shí)間點(diǎn)(時(shí)刻).

注2 實(shí)際上,由引理2中定義的非負(fù)時(shí)變函數(shù)h(t,T)可知

(12)

圖1 閉環(huán)分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)的框架

定理1 如果假設(shè)1和假設(shè)2成立,考慮分布式控制器(10),濾波變量(7)、(8)和虛擬控制器(11),則異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)在時(shí)刻t=T2時(shí)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性.此外,控制輸入信號(hào)全局有界.

證明本定理的證明分為如下3步: 第一步, 證明濾波變量yi在原點(diǎn)是全局預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定; 第二步, 證明多智能體系統(tǒng)(5)的狀態(tài)xi達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性, 即實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)(6); 第三步, 證明控制輸入ui全局有界.

第1步證明濾波變量yi在原點(diǎn)是全局預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定.

利用引理1,分?jǐn)?shù)階微分方程(7)和(8),有

(13)

將控制器(10)代入式(13)得

(14)

考慮Lyapunov函數(shù)

(15)

由式(14)和假設(shè)2可得到Lyapunov函數(shù)V1(t)的導(dǎo)數(shù)滿足

(16)

(17)

(18)

(19)

將虛擬控制器(11)代入式(19)有

(20)

第2步證明多智能體系統(tǒng)狀態(tài)xi達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性.

由假設(shè)1可知,Laplace矩陣L有N個(gè)特征值λ1,λ2,…,λN滿足0=λ1<λ2≤…≤λN.令

Λ=diag(λ0,λ2,…,λN),Λ0=diag(0,λ2,…,λN),

其中λ0>0為某一常數(shù).易知ex=(L?In)x.假設(shè)1成立,則存在一個(gè)酉矩陣U∈N×N滿足UTU=UUT=IN,使得L=UTΛ0U.考慮如下Lyapunov函數(shù):

(21)

注意到UTΛ-1U為一個(gè)正定矩陣.由文獻(xiàn)[6]可知V2(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)xi=xj,?i,j∈I.取Lyaunov函數(shù)(21)的導(dǎo)數(shù),有

(22)

事實(shí)上,由式(22)可知Lyapunov函數(shù)(21)等價(jià)于V2(t)=(1/2)xT(L?In)x.將式(20)代入式(22),可得

(23)

(24)

第3步證明控制輸入ui全局有界.

下面分3種情況證明.

(25)

聯(lián)立式(14)和(18)可得

(26)

(27)

(28)

(29)

□

(S1)設(shè)計(jì)濾波變量(7)和(8),將分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化成含濾波變量的分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng):

(30)

(31)

(32)

(S4)設(shè)計(jì)vi,即設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)時(shí)間虛擬控制器(11)使得一階線性多智能體系統(tǒng)(32)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性.

3.2 含生成樹有向網(wǎng)絡(luò)圖的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性

本小節(jié)把上一小節(jié)中的連通無向網(wǎng)絡(luò)圖推廣到更一般的含生成樹有向網(wǎng)絡(luò)圖,即研究分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D滿足如下假設(shè).

假設(shè)3 假設(shè)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DG為含一條有向生成樹的有向圖.

若假設(shè)3成立,則由定理3可知,存在全列矩陣M∈N×(N-1)和正定矩陣Q∈(N-1)×(N-1)使得L=ME和

QEM+(QEM)T>δQ

(33)

成立,其中0<δ<2mini∈{1,2,…,N-1}Re(λi(EM)),Re(λi(EM))表示矩陣EM的第i個(gè)特征值的實(shí)部.

若圖G為含有向生成樹的有向圖,考慮如下基于時(shí)變函數(shù)的預(yù)設(shè)時(shí)間分布式一致性控制算法(i∈I):

(34)

(35)

γl>0,l=3,4,c≥2/δ,時(shí)變函數(shù)h(t,Tl)和exi分別由式(1)和(9)定義,T4>T3>0為預(yù)先設(shè)定的時(shí)間點(diǎn)(時(shí)刻).

定理2 如果假設(shè)2和假設(shè)3成立,考慮分布式控制器(34),濾波變量(7)、(8)和虛擬控制器(35),則異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)在時(shí)刻t=T4時(shí)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性.此外,控制輸入信號(hào)全局有界.

證明本定理的證明分為如下3步: 第一步,證明濾波變量yi在原點(diǎn)是全局預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定;第二步,證明多智能體系統(tǒng)(5)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性;第三步,證明控制輸入信號(hào)全局有界.

(36)

下面證明多智能體系統(tǒng)(5)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性.令

選取Lyapunov函數(shù)為

(37)

(4)定義的矩陣E和式(36)可知

(38)

沿著軌跡(38),可得Lyapunov函數(shù)(37)的導(dǎo)數(shù)滿足

(39)

其中最后一個(gè)不等式成立因?yàn)閏≥2/δ.然后利用引理2知

(40)

□

特別地,當(dāng)α=1時(shí),分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)簡(jiǎn)化為如下一階非線性多智能體系統(tǒng):

(41)

由定理2可直接得到如下定理.

定理3 如果假設(shè)2和假設(shè)3成立,則一階非線性多智能體系統(tǒng)(41)在時(shí)刻t=T6時(shí)達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性,當(dāng)

(42)

yi=xi-zi,

(43)

(44)

γp>0,p=5,6,d>2/δ,時(shí)變函數(shù)h(t,Tp)和exi分別由式(1)和(9)定義,T6>T5>0為預(yù)先設(shè)定時(shí)間點(diǎn)(時(shí)刻).此外,控制輸入信號(hào)全局有界.

注6 注意到文獻(xiàn)[16,21,24-30]中設(shè)計(jì)了含分?jǐn)?shù)次冪的有限或固定時(shí)間控制器,并得到了依賴于系統(tǒng)初值或參數(shù)的收斂時(shí)間的上確界值估計(jì).因收斂時(shí)間上確界值估計(jì)依賴于系統(tǒng)初值或參數(shù)而具有保守性,當(dāng)無法預(yù)先觀測(cè)到系統(tǒng)初值或系統(tǒng)參數(shù)不可測(cè)時(shí)就無法保證規(guī)定的收斂時(shí)間,從而無法及時(shí)完成某項(xiàng)控制任務(wù).本文設(shè)計(jì)的基于時(shí)變函數(shù)的分布式控制算法(10)和(34)能在某一時(shí)刻實(shí)現(xiàn)一致性控制,該收斂時(shí)刻由時(shí)變函數(shù)預(yù)先給定且不依賴于系統(tǒng)初值和參數(shù).因此本文設(shè)計(jì)的基于時(shí)變函數(shù)的分布式控制算法(10)和(34)能夠保證預(yù)設(shè)收斂時(shí)間,從而及時(shí)完成某項(xiàng)控制任務(wù).

注7 雖然本文設(shè)計(jì)的控制算法(10)和(34)能夠以分布式的方式在預(yù)先給定的獨(dú)立于系統(tǒng)參數(shù)和初值的時(shí)刻實(shí)現(xiàn)低成本和零誤差的一致性控制,但算法(10)和(34)的控制增益依賴于全局信息,如b≥1/λ2和c≥2/δ.因此算法(10)和(34)都不是完全分布式的.如何消除本文設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性算法中控制增益對(duì)全局信息的依賴性,是未來的一個(gè)重要研究課題.

4 仿 真 實(shí) 例

例1 注意到定理1和定理3都是定理2的一種特殊情況, 本例只驗(yàn)證定理2的理論結(jié)果.為了驗(yàn)證定理2中理論結(jié)果的有效性, 考慮如圖2所示的6個(gè)智能體之間的含生成樹有向圖G,其中權(quán)重已在圖中給出.令

圖2 含生成樹有向圖G

易知假設(shè)2和假設(shè)3都成立.此外,為了比較分?jǐn)?shù)階參數(shù)α對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響,我們考慮具有不同階數(shù)而其他參數(shù)和初值都相同的控制算法(34)和控制算法(42)(即考慮定理2和定理3中的控制算法).定理2中設(shè)計(jì)的控制算法的參數(shù)和初值分別選取為:α=0.8,γ3=γ4=1,m=3,T3=0.8 s,T4=2 s,

通過計(jì)算可得mini∈{1,2,…,5}Re(λi(EM))=0.5,故取δ=0.5和c=5>2/δ,

[x1(0),x2(0),…,x6(0)]=[1,5,-3,-4,3,2],

[y1(0),y2(0),…,y6(0)]=[5,-1,3,-5,1,-3],

[z1(0),z2(0),…,z6(0)]=[-1,1,2,-2,-3,3].

圖3 當(dāng)α=0.8時(shí),濾波變量yi和一致性誤差的軌跡

圖4 當(dāng)α=1時(shí),濾波變量yi和一致性誤差的軌跡

圖5 當(dāng)α=0.8時(shí),控制器和ui的軌跡

進(jìn)一步觀察比較圖5和圖6可知,分?jǐn)?shù)階多智能體系統(tǒng)(α=0.8)比一階多智能體系統(tǒng)(α=1)在達(dá)到預(yù)設(shè)時(shí)間一致性時(shí)所需消耗的控制能量更少,這說明分?jǐn)?shù)階控制算法能夠獲得比傳統(tǒng)整數(shù)階控制算法更好的控制性能.此外,我們注意到圖5和圖6中控制器ui在零附近線條比較粗,這是因?yàn)榭刂破鱱i含有在零點(diǎn)不連續(xù)的符號(hào)函數(shù),而不連續(xù)符號(hào)函數(shù)易引起抖振現(xiàn)象,從而導(dǎo)致控制器ui在零附近線條比較粗.

圖7 取不同參數(shù)γ3,γ4和初值x(0)時(shí),一致性誤差的軌跡

注8 值得注意的是,文獻(xiàn)[16,21,24-30]中設(shè)計(jì)了含分?jǐn)?shù)次冪的有限時(shí)間或固定時(shí)間控制器,并得到了算法收斂時(shí)間的上確界估計(jì)值,該上確界估計(jì)值依賴于系統(tǒng)參數(shù)且估計(jì)具有保守性.為了得到較小的上確界估計(jì)值需要選取較大的控制增益, 從而需要更大的控制能量或控制成本.與文獻(xiàn)[16,21,24-30]中設(shè)計(jì)的有限時(shí)間或固定時(shí)間控制器比較, 本文設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)時(shí)間控制器具有如下優(yōu)點(diǎn): 1)收斂時(shí)間與系統(tǒng)參數(shù)和初值無關(guān); 2)能夠預(yù)先保證精確的收斂時(shí)間; 3)低控制成本; 4)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單.

5 結(jié) 論

本文研究了一類異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的預(yù)設(shè)時(shí)間一致性問題.當(dāng)多智能體網(wǎng)絡(luò)圖是連通無向圖和含生成樹的有向圖時(shí),通過引入濾波變量和一類非負(fù)時(shí)變函數(shù),分別設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)精確預(yù)設(shè)時(shí)間一致性控制的分布式控制器.最后,通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出的預(yù)設(shè)時(shí)間控制算法的有效性.把本文的結(jié)果推廣到更高階的異質(zhì)分?jǐn)?shù)階非線性多智能體系統(tǒng)中,是未來一個(gè)有趣的研究方向.此外,如何設(shè)計(jì)連續(xù)的控制算法,以消除本文設(shè)計(jì)的不連續(xù)算法容易引起的抖振現(xiàn)象,亦是未來的一個(gè)研究方向.