基于壓縮感知的無重構(gòu)時(shí)頻差提取技術(shù)

李一銘,蔡曉霞,雷迎科

(國防科技大學(xué)電子對(duì)抗學(xué)院,安徽 合肥 232007)

時(shí)頻差已經(jīng)成為信號(hào)處理領(lǐng)域的基本問題。離散網(wǎng)格方法是解決該問題的主要方法,通常采用預(yù)設(shè)的多重時(shí)頻差假設(shè),并通過互相關(guān)方法對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。其應(yīng)用涵蓋無源定位[1-2]和GPS系統(tǒng)[3]等許多領(lǐng)域。此外,為了降低時(shí)頻差提取的計(jì)算復(fù)雜度,壓縮感測(CS)理論[4]利用觀測矩陣以低于奈奎斯特速率的采樣率獲取信號(hào)。通常,壓縮感知技術(shù)由信號(hào)壓縮和信號(hào)重構(gòu)[5]組成,但信號(hào)重構(gòu)步驟可以簡化,基于特定構(gòu)造的觀測矩陣所獲取的信號(hào)壓縮樣本可直接進(jìn)行時(shí)頻差提取。

在針對(duì)實(shí)際信號(hào)的應(yīng)用場景中,時(shí)頻差提取中涉及的時(shí)差和頻差參數(shù)具有一定的耦合度,需要同時(shí)考慮時(shí)差與頻差提取,但在設(shè)計(jì)時(shí)頻差提取方法的過程中,往往優(yōu)先考慮時(shí)差提取。首先,對(duì)于時(shí)差提取來說,觀測矩陣的構(gòu)造對(duì)于時(shí)差提取精度具有重要影響。從觀測矩陣自身構(gòu)造的角度來看,可以將其分類為:(1)傅立葉基矩陣,(2)隨機(jī)矩陣,(3)Toeplitz循環(huán)矩陣。第一類觀測矩陣能夠保證其結(jié)果在理論上與Nyquist樣本估計(jì)的結(jié)果相符,但其觀測矩陣構(gòu)造苛刻,需要滿足正交性和乘積可交換性[6]。第二類觀測矩陣,包括高斯型、伯努利型和三元型等,具有更好的構(gòu)造靈活性[7],但是,此類觀測矩陣的隨機(jī)性過高,導(dǎo)致其時(shí)差提取過程中的平均正確率較低[8-9],并且每次提取時(shí)需生成高維度的隨機(jī)矩陣,整體算法運(yùn)算量較高。與隨機(jī)矩陣相比,第三類隨機(jī)循環(huán)矩陣具有較低的隨機(jī)性,降低了生成時(shí)所需的計(jì)算量[10],并且其具有和第一類觀測矩陣接近的時(shí)差提取精度[11-13]。其次,對(duì)于頻差提取來說,在經(jīng)典互相關(guān)[14]和互模糊函數(shù)[15]的時(shí)頻差聯(lián)合估計(jì)中,通常需要信號(hào)觀測樣本與預(yù)設(shè)頻差參數(shù)的連續(xù)序列做內(nèi)積。

針對(duì)傳統(tǒng)方法時(shí)頻差提取耗時(shí)的問題,本文提出一種基于壓縮感知的無重構(gòu)時(shí)頻差提取方法,設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)型循環(huán)矩陣作為壓縮感知的觀測矩陣,該改進(jìn)型循環(huán)矩陣是融入了預(yù)設(shè)頻差參數(shù)的循環(huán)矩陣,基于此類矩陣的壓縮時(shí)頻差參數(shù)提取算法不再需要信號(hào)重構(gòu),降低了運(yùn)算時(shí)間。之后,我們證明了該壓縮時(shí)頻差提取算法的時(shí)頻差可恢復(fù)性。

1 時(shí)頻差提取方法

1.1 時(shí)頻差信號(hào)模型

首先,對(duì)于兩路純凈的具有時(shí)頻差參數(shù)的信號(hào),可以表示如下:

S(τ,Δ?)=S(t-τ)·ej[Δ?(t-τ)]

(1)

上式中,第一路純凈信號(hào)為S,第二路純凈信號(hào)為S(τ,Δ?),τ代表第二路信號(hào)具有的時(shí)延,Δ?代表第二路信號(hào)具有的頻差。

通常來說,時(shí)頻差提取至少需要由地理位置不同的兩路接收機(jī)對(duì)同一信號(hào)進(jìn)行接收,其兩路接收信號(hào)的模型可表示如下:

(2)

其中,“。”代表哈德蒙積,接收機(jī)1、2接收到的信號(hào)分別為x1、x2,其中A1與A2分別代表了兩路信號(hào)的幅值,n1和n2分別代表了兩路信號(hào)的接收噪聲。

1.2 壓縮采樣處理

壓縮感知技術(shù)包括壓縮觀測和信號(hào)重構(gòu)。首先,壓縮觀測可以極大地降低信號(hào)接收端對(duì)于模數(shù)轉(zhuǎn)換的性能要求,由于傳統(tǒng)的Nyquist定律所要求的信號(hào)重構(gòu)必須滿足信號(hào)采樣速率是其理想低通帶寬的兩倍以上,而壓縮感知技術(shù)被證明可以在遠(yuǎn)低于Nyquist速率的情況下進(jìn)行采樣,那么使用壓縮觀測即可大幅降低觀測樣本維度,使得傳感器網(wǎng)絡(luò)或者信號(hào)接收機(jī)可以采用成本較低并且較為輕便的設(shè)備取代傳統(tǒng)設(shè)備。若使用壓縮感知技術(shù),有如下信號(hào)觀測模型:

y=Φx

(3)

其中Φ代表了壓縮觀測矩陣,y代表了壓縮觀測樣本。

首先選取循環(huán)矩陣Φ0作為時(shí)差估計(jì)的基本觀測矩陣:

(4)

上式中,Φ0矩陣大小為m×n,其中的每一行標(biāo)記為Φi,i=1,2,…m,φi,i=1,2,…n代表了矩陣中具有n個(gè)獨(dú)立元素,相較于傳統(tǒng)的高斯矩陣需要初始化m×n個(gè)隨機(jī)元素,循環(huán)矩陣初始化只需要初始化n個(gè)隨機(jī)元素。循環(huán)矩陣還具有較好的時(shí)差可恢復(fù)性,除第一行之外,每一行相較于上一行都具有循環(huán)移位,相當(dāng)于信號(hào)與每一行作乘積,較上一行乘積而言,信號(hào)在采樣時(shí)序上延遲了一位,因此循環(huán)矩陣的形式可以為時(shí)差恢復(fù)提供保證。

對(duì)于頻差提取來說,一般會(huì)做如下互模糊函數(shù):

(5)

上式中,對(duì)于離散信號(hào)而言,e-jΔ?t可看作一串預(yù)設(shè)頻差參數(shù)的連續(xù)序列f與信號(hào)樣本作內(nèi)積進(jìn)行頻差測量,f的具體形式為:

fΔ?=[e-jΔ?,e-2jΔ?,…e-njΔ?]

(6)

上式中,Δ?為頻差預(yù)設(shè)量?；谝陨系难h(huán)矩陣和連續(xù)序列,本文提出一種改進(jìn)型循環(huán)矩陣Φ作為壓縮感知觀測陣,形式如下:

Φ=[(Φ1。f0Δ?)T,(Φ2。f0Δ?)T,…

(Φm。f0Δ?)T,…

(Φ1。fpΔ?)T,(Φ2。fpΔ?)T,…(Φm。fpΔ?)T]T=

(7)

即將原先的循環(huán)矩陣Φ0作行數(shù)擴(kuò)展,再對(duì)不同的其中,Φ為pm×n大小的矩陣。

1.3 無重構(gòu)時(shí)頻差提取方式

時(shí)頻差提取方法一般需要足夠高采樣速率下獲得的信號(hào)樣本,以獲得高精度的參數(shù)提取效果。然而在壓縮感知技術(shù)中,若考慮對(duì)先前壓縮觀測的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)后處理,那么后端設(shè)備的時(shí)頻差提取時(shí)效性會(huì)大幅度下降,這會(huì)嚴(yán)重影響到時(shí)頻差估計(jì)的應(yīng)用效果,比如在高速目標(biāo)的無源定位中,如果目標(biāo)的速度為1 km/s,那么時(shí)頻差提取算法的累積時(shí)長每增加0.1 s,定位誤差都會(huì)增加100 m,這對(duì)于實(shí)際應(yīng)用來說,一般是無法接受的。于是我們考慮直接從壓縮觀測的樣本中提取時(shí)頻差,跳過壓縮感知技術(shù)中的信號(hào)重構(gòu)步驟,從根本上提升時(shí)頻差參數(shù)提取算法的運(yùn)算速度。

依據(jù)此觀測矩陣Φ的行列數(shù)目,可以給出壓縮觀測得到的樣本y的一般形式:

y=[y1,y2,…ypm]T

(8)

(9)

圖1 時(shí)頻差提取算法具體操作方式Fig.1 Detailed implementation of the proposed time-frequency difference extraction method

H1=[Iq|0(pm-q)×q]

H2=[0(pm-q)×q|Iq]

(10)

則無重構(gòu)時(shí)頻差提取的模糊函數(shù)可寫作如式(11):

A(τ,Δ?)=

(11)

圖2 時(shí)頻差提取中的哈德蒙積作法Fig.2 Paradigm of Hadamard product in time-frequency difference extraction implementation

2 實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果

本節(jié)實(shí)驗(yàn)主要是為了驗(yàn)證本文所提算法的可行性以及快速性,本文主要采用了10 MHz帶寬的BPSK信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻差提取驗(yàn)證。首先作出了基于壓縮感知的無重構(gòu)時(shí)頻差提取的模糊函數(shù)圖,之后,與傳統(tǒng)時(shí)頻差提取方法-互模糊函數(shù)法(Cross Ambiguation Function,CAF)進(jìn)行快速性對(duì)比,最后,在不同信噪比的條件下與高斯隨機(jī)矩陣對(duì)比了時(shí)頻差提取精確度。

首先對(duì)10 MHz帶寬的BPSK信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻差提取,依照本文所提方法做出互模糊函數(shù)二維圖譜,對(duì)所提方法的可行性進(jìn)行驗(yàn)證,如圖3所示。

觀察上圖可知,本文所提方法相較于經(jīng)典方法的互模糊函數(shù)有一定的精度犧牲。將本文所提方法與傳統(tǒng)的互模糊函數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)長比較,在matlab R2018b的運(yùn)行環(huán)境下,調(diào)用軟件自帶的互模糊函數(shù),可得結(jié)果如表1所示。

之后,將本文觀測矩陣與高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行了時(shí)頻差提取正確率比較,如圖4所示,藍(lán)色為本文所提方法,紅色為高斯隨機(jī)陣的測試結(jié)果,可以明顯看到,本文所提方法較高斯隨機(jī)陣具有更加穩(wěn)定的時(shí)頻差提取正確率,特別是在信噪比大于0 dB后,本文方法的優(yōu)勢相較于高斯隨機(jī)陣凸顯。

圖3 本文方法互模糊函數(shù)圖譜Fig.3 The spectrum of the cross-ambiguity function in the proposed method.

表1 時(shí)頻差提取計(jì)算時(shí)間比較Tab.1 Comparison of computing time cost between different time-frequency difference extraction methods

SNR/dB圖4 不同觀測陣的時(shí)頻差提取正確率比較Fig.4 Comparison of the accuracy of time-frequency difference extraction between different observance matrices

3 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)時(shí)頻差提取算法耗時(shí)較長,而基于壓縮感知的時(shí)頻差提取算法需要信號(hào)重構(gòu)、耗時(shí)也較長的問題,本文提出一種基于壓縮感知的無重構(gòu)時(shí)頻差提取算法,設(shè)計(jì)了一種新的改進(jìn)型循環(huán)矩陣作為壓縮感知的觀測矩陣,依照本文壓縮方式觀測得到的壓縮信號(hào)樣本可以直接進(jìn)行時(shí)頻差提取,無需進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。本文方法相較于傳統(tǒng)方法能夠有效降低運(yùn)算量,減少運(yùn)算時(shí)長。