聶玉成

絕對(duì)值在化簡(jiǎn)求值問(wèn)題、解方程或不等式問(wèn)題中都會(huì)涉及.解答含絕對(duì)值問(wèn)題的關(guān)鍵就在于去掉絕對(duì)值符號(hào).一般遵循的原則是：先判斷絕對(duì)值符號(hào)中式子的正負(fù)，再根據(jù)法則去掉絕對(duì)值符號(hào).單個(gè)絕對(duì)值的問(wèn)題一般比較簡(jiǎn)單，但是有的題目會(huì)同時(shí)出現(xiàn)多個(gè)絕對(duì)值或多重絕對(duì)值，這樣就使題目變得復(fù)雜了.下面介紹幾類(lèi)有關(guān)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，供大家參考.

一、含單個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題

一個(gè)題目中只含有一個(gè)絕對(duì)值是最基礎(chǔ)的題目，此時(shí)只需考慮去絕對(duì)值符號(hào)的條件，即對(duì)于任意數(shù)|a|：（1）當(dāng)a>0時(shí)，|a|=a；（2）當(dāng)a= 0時(shí)|a|=0；（3）當(dāng)a<0時(shí)；|a|=-a.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件或挖掘隱含條件，確定絕對(duì)值符號(hào)里代數(shù)式的正負(fù).若題目對(duì)含絕對(duì)值代數(shù)式的字母沒(méi)有限制條件，須運(yùn)用分類(lèi)討論的方法來(lái)解答.

例1若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，求x+y的值.

分析：此題中| x |=3，可知x =±3；| y |=2可知y =±2 .由題中| x-y |= y-x可知y≥x .由此可以推斷，當(dāng)y = 2時(shí)，x可以為±3，此時(shí)x+y =-1或5；當(dāng)y = -2時(shí)，x只能為-3，此時(shí)x+y =-5.最后綜合所有情況即可得解.

解：∵| x |=3，∴x =±3；

同理可得y =±2，

∵| x-y |= y-x，

∴y≥x，

①當(dāng)y =2時(shí)，x =-3，

x+y =-1.

②當(dāng)y =-2時(shí)，x =-3，

則x+y =-5.

綜合①②得x+y的值可能是-1、-5.

評(píng)注：求解此題是利用| x-y |≥0挖掘了隱含條件y≥x，然后確定x和y的可能值，簡(jiǎn)化了分類(lèi)討論的種類(lèi).同學(xué)們?cè)谇蠼膺^(guò)程中一定要仔細(xì)觀察，充分挖掘題目中的隱含條件.

二、含多個(gè)絕對(duì)值問(wèn)題

有些含有絕對(duì)值的題目中往往不止一個(gè)含絕對(duì)值的代數(shù)式，可能是兩個(gè)、三個(gè)甚至是更多個(gè)含絕對(duì)值的代數(shù)式，通過(guò)“+”“-”“×”“÷”等運(yùn)算符號(hào)連接.此時(shí)，去絕對(duì)值符號(hào)就需要先找出每個(gè)絕對(duì)值的零點(diǎn)值，再把全體實(shí)數(shù)分段，然后在每一實(shí)數(shù)段中化去絕對(duì)值符號(hào)，最后分類(lèi)討論去絕對(duì)值的結(jié)果.

例2化簡(jiǎn)：| 3x +1|+| 2x-1|.

三、含多重絕對(duì)值問(wèn)題

有些較為復(fù)雜的問(wèn)題中含有多重絕對(duì)值符號(hào)，即絕對(duì)值符號(hào)中還有絕對(duì)值符號(hào)，我們稱(chēng)這種形式為多重絕對(duì)值.在求解多重絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)，需要依據(jù)“由內(nèi)而外”的順序逐一去絕對(duì)值符號(hào)，逐步減少絕對(duì)值的嵌套層數(shù)，來(lái)解答問(wèn)題.

例3已知x<-3，化簡(jiǎn)：|3+|2-|1+ x |||.

分析：這是一個(gè)含有多重絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，在求解時(shí)需要根據(jù)“由內(nèi)而外”的原則逐層去絕對(duì)值.首先根據(jù)x的范圍判斷出1+x< 0，所以最里層絕對(duì)值|1+ x |= -（1+ x）.第二層|2-|1+ x||可以轉(zhuǎn)化為|2-[-（1+ x）]|=|3+ x|因?yàn)閤<-3，所以3+ x< 0，即|2-|1+ x ||=-（3+ x）.最外層|3+|2-|1+ x |||可轉(zhuǎn)化為|3+[-（3+ x）]|=|- x |.這樣根據(jù)x的取值范圍一步步利用絕對(duì)值的代數(shù)意義即可化簡(jiǎn).

解：①最內(nèi)層：

∵x<-3，∴1+ x<- 2 < 0，

∴|1+ x |= -（1+ x），

②第二層：

|2-|1+x||=|2-[-（1+x）]|=|2+（1+x）|=|3+x|，

∵x<-3，

∴3+ x< 0，

∴|3+ x|=-（3+ x），

∴|2-|1+ x||=-（3+ x），

③最外層：

|3+|2-|1+ x |||=|3+[ -（3+ x）]|=| -x |，

∵x<-3，∴-x >3>0，

∴| -x |= -x，

∴|3+|2-|1+ x |||= -x，

綜合①②③可得|3+|2-|1+ x |||化簡(jiǎn)后為-x .

評(píng)注：此題數(shù)值比較簡(jiǎn)單，但含有多重絕對(duì)值符號(hào).在去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)要由內(nèi)而外逐層將3個(gè)層次的絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)部的數(shù)或式同“0”作比較，大于等于“0”的直接去絕對(duì)值；小于“0”的一定要添加“-”.

絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念常與其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查.同學(xué)們只要牢牢掌握去絕對(duì)值的基本方法，結(jié)合“由內(nèi)而外”的運(yùn)算順序和“分類(lèi)討論”的思想方法，解題就會(huì)變得非常容易.