摘要 數(shù)學(xué)的基本原則包括簡單性、精確性、連貫性、一致性和完美性，它們相互關(guān)聯(lián)，是數(shù)學(xué)在其發(fā)展過程中顯露的特征、方法與追求。只有在充分理解這些原則的基礎(chǔ)上，教材編寫者才能貫徹課標(biāo)精神，教師才能合理用好教材，學(xué)生也才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。

關(guān)? 鍵? 詞 新課標(biāo) 數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)原則

引用格式 吉智深.從新課標(biāo)的“一致性”談數(shù)學(xué)的基本原則[J].教學(xué)與管理，2023（17）：31-33+38.

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標(biāo)》）的頒布，數(shù)學(xué)的一致性成為這次數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的一個(gè)新要求、新亮點(diǎn)，也成為大家研討的熱門話題之一。一致性其實(shí)是數(shù)學(xué)的基本原則之一，數(shù)學(xué)的基本原則還包括簡單性、精確性、連貫性、完美性，它們都是數(shù)學(xué)在其發(fā)展過程中所遵循的一般原則?！?022年版課標(biāo)》提醒我們要關(guān)注數(shù)學(xué)的這些基本原則，希望呈現(xiàn)在學(xué)生面前的數(shù)學(xué)是精確的、一致的、連貫的，能夠展示數(shù)學(xué)對(duì)簡單性與完美性的追求。這就要求即將使用的新教材在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容時(shí)不違背這些原則，也要求教師真正理解這些數(shù)學(xué)基本原則，努力遵循這些原則，教好數(shù)學(xué)，也讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)。

一、簡單性

“從數(shù)學(xué)產(chǎn)生之時(shí)，一個(gè)最基本、最顯著的特征和方法就顯露出來了，就是簡單化?！盵1]數(shù)學(xué)是如何顯露簡單性呢？讓數(shù)學(xué)研究對(duì)象抽象化，抽象是把復(fù)雜事物簡單化的過程。5個(gè)人、5只羊、5個(gè)石塊、5根手指，數(shù)學(xué)把這些有限集合的共同特征標(biāo)記為數(shù)字“5”，其他如直線、射線、線段、平面、三角形等數(shù)學(xué)概念都是抽象的結(jié)果。

不僅數(shù)學(xué)概念是抽象的，數(shù)學(xué)的表達(dá)、數(shù)學(xué)的方法也是抽象的。數(shù)學(xué)追求用簡單符號(hào)表達(dá)復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律與自然規(guī)律，如數(shù)學(xué)的公式、定理以及物理學(xué)中的公式等。數(shù)學(xué)方法抽象的目的也是為了簡單，這在小學(xué)數(shù)學(xué)的算法中體現(xiàn)得很明顯。如前一段時(shí)間爭論比較多的話題“豎式重要，還是橫式重要？”如果從數(shù)學(xué)的簡單性原則看，豎式也是重要的，雖然橫式能夠說清楚算理，但設(shè)想一下：如果用橫式來計(jì)算四位數(shù)乘以四位數(shù)，雖然借助于乘法的運(yùn)算法則也可以求出結(jié)果，但與豎式比較，豎式的簡便性不必多說。如果讓學(xué)生用橫式來計(jì)算三位小數(shù)乘以兩位小數(shù)，估計(jì)很多學(xué)生都做不了。不能因?yàn)闄M式表達(dá)的是計(jì)算算理，就說豎式不重要。豎式不僅簡單，而且也可以表征算理，比如用豎式計(jì)算24×12時(shí)，為什么把240后面的0省略，因?yàn)槭÷?以后，就把兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘以一位數(shù)的問題，把要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題，這也是追求簡單的表現(xiàn)。

數(shù)學(xué)的簡單性無處不在，有了長度單位1厘米以后，我們可以用1厘米的線段測(cè)量物體的長度，有幾個(gè)1厘米，它的長度就是幾厘米，但是這樣一段一段量太麻煩，于是就有了帶刻度的尺。角的開口方向不同，于是就有了量角器的內(nèi)圈與外圈之分。長方形的面積開始是通過“數(shù)小方格”得到的，但麻煩，于是想辦法用簡單的公式來計(jì)算。數(shù)學(xué)根據(jù)問題的不同，總結(jié)出不同的模型，如歸一問題、雞兔同籠問題、植樹問題等，也體現(xiàn)了解決問題的簡單化。

數(shù)學(xué)教師要看到數(shù)學(xué)的簡單性，理解數(shù)學(xué)的簡單性，通過數(shù)學(xué)活動(dòng)中的比較與反思，讓學(xué)生體會(huì)與理解數(shù)學(xué)的簡單性。

二、精確性

精確性也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，具體表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念要有精確的定義，數(shù)學(xué)命題要有無誤的判斷，數(shù)學(xué)推理要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程。

小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)定義有著很嚴(yán)重的排斥心理，認(rèn)為定義只不過是“多了一個(gè)需要死記硬背的東西”。我們要淡化形式，注重實(shí)質(zhì)，注重?cái)?shù)學(xué)概念的本質(zhì)。但凡事不能絕對(duì)，不能從一個(gè)極端到另一個(gè)極端，如方程的定義有其特殊性，能夠從本質(zhì)上給出方程的概念，也不失為一種好做法。有些定義是會(huì)參與到今后的邏輯推理過程之中的，如平行四邊形的定義等。雖然小學(xué)教材給出了平行四邊的定義，但這個(gè)定義是通過“用兩把三角尺研究一下，平行四邊形的邊有什么特點(diǎn)”得出的，用兩把三角尺就能研究出它的對(duì)邊平行？即使研究出來，也不夠準(zhǔn)確。與其這樣，不如直接用兩組平行線相交，得到一個(gè)四邊形，我們把這樣的四邊形稱為平行四邊形。這樣定義平行四邊形就水到渠成。數(shù)學(xué)定義的得到，不要處處從實(shí)際生活出發(fā)，這樣既不準(zhǔn)確，也容易割斷數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。對(duì)邊相等也不能僅僅通過測(cè)量得到，而應(yīng)通過“把平行四邊形剪成兩個(gè)三角形，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形能夠完全重合”得到，學(xué)生的理性精神得益于幾何推理，而不是簡單測(cè)量。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”單元，在探究“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”時(shí)，教材用了“分果汁”這樣一個(gè)問題情境：“量杯里有9/10升果汁，玻璃杯的容量是3/10升。量杯里的果汁倒入玻璃杯，能倒?jié)M幾杯？”并且提問：“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，也可以用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)來計(jì)算嗎？先試著算一算，再在圖中分一分，看結(jié)果是否相同?！蓖ㄟ^算一算、分一分，很容易得出結(jié)論，也容易看出這是驗(yàn)證“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)”這一分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則，但并沒有說清楚分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算理。

數(shù)學(xué)的精確思維讓人類能夠客觀地、定量地思考并描述世界，也才使得數(shù)學(xué)成為解決很多問題的強(qiáng)有力工具與模型。因此，我們都要從精確性的角度考慮如何準(zhǔn)確地定義數(shù)學(xué)概念、有邏輯地進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。

三、一致性

《2022年版課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)的概念本質(zhì)與數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)的一致性，這也提示教材編寫者及廣大教師要更多地關(guān)注數(shù)學(xué)的一致性，如數(shù)學(xué)度量本質(zhì)的一致性、度量教學(xué)環(huán)節(jié)的一致性以及數(shù)學(xué)問題解決所執(zhí)行計(jì)劃的一致性等。

度量的本質(zhì)是將待度量與公認(rèn)的基準(zhǔn)進(jìn)行比較，具體來說是指用一個(gè)帶單位的數(shù)值描述可度量物體或現(xiàn)象的某一個(gè)屬性，從而形成某個(gè)具有特殊含義的“量”[2]，如長度、面積、容積、體積、角度、質(zhì)量、方位、溫度、時(shí)間、貨幣等。度量的核心要素有兩個(gè)：度量單位和度量值。從概念上來看，度量是用一個(gè)數(shù)值來表示物體的某一屬性；從行為上看，度量是一個(gè)待測(cè)量和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量（單位）進(jìn)行比較，“標(biāo)準(zhǔn)”的個(gè)數(shù)就是度量的結(jié)果。同一量不同“標(biāo)準(zhǔn)”單位之間的進(jìn)率是一致的，如相鄰兩個(gè)長度單位之間的進(jìn)率通常是10，厘米、分米、米后面應(yīng)該是十米、百米、千米，只不過十米、百米不常用，比米大的常用的長度單位就成了千米，這與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法中“滿十進(jìn)一”是一致的。此外，度量中單位與單位的乘積形成新的度量單位，如長方形的長（厘米）乘以寬（厘米）得到它的面積，同時(shí)得到新的面積單位“平方厘米”，這與數(shù)的運(yùn)算中“計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位，得到新的計(jì)數(shù)單位”是一致的。

度量教學(xué)環(huán)節(jié)也基本遵循著一致性的原則：第一步，意識(shí)到物體與現(xiàn)象某些可測(cè)的屬性，如線段有長與短之分，角度有大與小之分。第二步，為得到一個(gè)確定的、一致的結(jié)果，借助工具或者通過抽象制定出“標(biāo)準(zhǔn)”。第三步，直接用“標(biāo)準(zhǔn)”來度量待測(cè)量，如用1厘米的線段來測(cè)量一個(gè)線段，這個(gè)線段有3個(gè)1厘米，得到這條線段的長度是3厘米。第四步，根據(jù)需要反思“標(biāo)準(zhǔn)”制定的合理性，隨著生活的需要和現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展需要引入更小的或者更大的長度單位，如納米和光年等。第五步，嘗試用工具、公式或估測(cè)等方式得到待測(cè)量的結(jié)果。如測(cè)量物體的長度可以用尺簡單測(cè)量出來，長方形的面積可以通過公式計(jì)算得出，或者在精確度要求不高的情況下，通過估測(cè)活動(dòng)得到待測(cè)量的結(jié)果。

問題解決是數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)之一，教材把解決問題的策略作為必教內(nèi)容，只不過編寫方式不同。如蘇教版數(shù)學(xué)教材設(shè)置關(guān)于“問題解決的策略”的專門章節(jié)，而人教版數(shù)學(xué)教材則把解決問題的策略滲透到每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決過程之中，各個(gè)版本數(shù)學(xué)教材在解決問題策略的編寫上各有特色，教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識(shí)地探尋解決問題方法，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與使用。

“四能”（發(fā)現(xiàn)問題能力、提出問題能力、分析問題能力與解決問題能力）成為《2022年版課標(biāo)》的課程總目標(biāo)?！皢栴}解決是學(xué)校數(shù)學(xué)教育的基石。沒有問題解決能力，數(shù)學(xué)思想、知識(shí)和技能的作用和力量會(huì)是很有限的”[3]。數(shù)量關(guān)系在解決問題中的重要性不言而喻，但它不能代表問題解決的全部。所以，讓學(xué)生制定并執(zhí)行一個(gè)計(jì)劃去解決問題，比單純利用數(shù)量關(guān)系解決問題要深入得多，也更有用途。

四、連貫性

如果說數(shù)學(xué)的一致性是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法的一致性，那么數(shù)學(xué)的連貫性則主要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的連貫性。每個(gè)概念、定義與性質(zhì)在學(xué)生初學(xué)時(shí)都是新知識(shí)，但學(xué)生在繼續(xù)學(xué)習(xí)新知識(shí)、解決新問題時(shí)，它們又變成學(xué)生可以利用的舊知識(shí)。“數(shù)學(xué)是一組相互關(guān)聯(lián)的紐帶，其中每個(gè)概念或技巧是某條紐帶中的一個(gè)結(jié)。”[4]這種連貫性應(yīng)在教材與教學(xué)中有明確的體現(xiàn)，也應(yīng)讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)是如何關(guān)聯(lián)的，從而深入理解并掌握新的知識(shí)與方法。

在教學(xué)5以內(nèi)數(shù)的加減法前，幾乎所有數(shù)學(xué)教材都先讓學(xué)生理解等于、大于與小于。采用對(duì)應(yīng)法讓小學(xué)生理解小猴與桃子一樣多時(shí)，用“=”表示小猴與桃子兩者的數(shù)量；小猴比香蕉多時(shí)，用“”表示小猴與香蕉兩者的數(shù)量關(guān)系，小猴比梨少時(shí)，用“”表示小猴與梨兩者的數(shù)量關(guān)系。這樣做的目的是通過對(duì)應(yīng)法凸顯兩個(gè)事物之間數(shù)量的大小關(guān)系，特別是能夠揭示“=”的本質(zhì)。然而在后面講授加法時(shí)，似乎看不到用對(duì)應(yīng)法得到兩側(cè)物體數(shù)量相等的例子。事實(shí)上如果在前面學(xué)習(xí)“相等、多與少”的基礎(chǔ)上，在少的那一側(cè)“添加”若干個(gè)物體，使得兩側(cè)的物體的數(shù)量一樣多，可以幫助學(xué)生理解加法的意義，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“=”本質(zhì)的理解，對(duì)學(xué)生將來理解方程的意義以及等價(jià)關(guān)系也有很大幫助。這應(yīng)該是《2022年版課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)要“引導(dǎo)學(xué)生通過具體操作活動(dòng)，利用對(duì)應(yīng)的方法理解加法的意義”的原因吧。

類似的問題還有，對(duì)于自然數(shù)的加法，小學(xué)生一開始是通過往后數(shù)數(shù)得出結(jié)果的，比如一堆粉筆有3支，另一堆粉筆有5支，一共有幾支粉筆？不管是放在一起數(shù)，還是看出一堆的數(shù)量，從另一堆開始往后數(shù)，都是“往后數(shù)”。但現(xiàn)行教材中的分?jǐn)?shù)加法，沒有“往后數(shù)”的影子，我們的教材是否可以改為：“1/4米長的線段加上1/2米長的線段，拼接成的線段多長？”已經(jīng)有了1/4米，往后數(shù)，一共有幾個(gè)1/4米”[5]，這與“自然數(shù)相加，往后數(shù)，看看一共有幾個(gè)1”是一致的，這樣的連貫性，讓學(xué)生沒有陌生感，也不會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)加法產(chǎn)生學(xué)習(xí)恐懼。

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了一些誤區(qū)，過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，這些做法很容易割裂數(shù)學(xué)的連貫性，數(shù)學(xué)的連貫性不能因?yàn)閿?shù)學(xué)生活化而被打破。

五、完美性

數(shù)學(xué)不僅追求簡單性，還追求完美性。數(shù)學(xué)的完美性首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言上，世界各國的語言各異，但數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)符號(hào)卻是通用的。各國的數(shù)學(xué)家借助通用的數(shù)學(xué)語言，可以毫無障礙地交流與學(xué)習(xí)，這促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，也促進(jìn)了科技的進(jìn)步與人類的發(fā)展。

數(shù)學(xué)推廣是數(shù)學(xué)追求完美性的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)推廣是“指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則進(jìn)行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立”[6]。一元二次、一元三次、一元四次方程都有公式解，那么一元五次方程、一元六次方程……是不是都有公式解呢？如果一次方程都有公式解，那么就是完美的結(jié)果。因此，數(shù)學(xué)家前赴后繼尋找一元五次、一元六次方程的解，雖然最后結(jié)果事與愿違，阿貝爾證明了一元四次方程以上沒有公式解，但數(shù)學(xué)這種追求完美的精神是值得贊頌的。

如果數(shù)學(xué)某個(gè)方面沒有完美性，怎么辦？想辦法讓它完美。函數(shù)是數(shù)集與數(shù)集之間的一種特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系，如何定義三角函數(shù)呢？角度不是實(shí)數(shù)，怎么辦？引入弧度制，建立角度與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，這樣，三角函數(shù)就定義在兩個(gè)數(shù)集之間。

數(shù)學(xué)的完美性還表現(xiàn)在對(duì)問題總想有一個(gè)完美的解答：為什么要研究這些數(shù)學(xué)概念？為什么對(duì)頂角相等？為什么數(shù)學(xué)猜想是正確的？……數(shù)學(xué)總是想方設(shè)法去證明每一個(gè)論斷，但這些證明過程很快就會(huì)被學(xué)生遺忘，那么數(shù)學(xué)證明的價(jià)值到底是什么呢？首先它培養(yǎng)學(xué)生的一種意識(shí)，那就是應(yīng)用別人已獲得的結(jié)果時(shí)，要去檢驗(yàn)它們，別讓自己用錯(cuò)了；其次在分析與學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)證明的過程中，培養(yǎng)與保持學(xué)生的洞察力；最后數(shù)學(xué)證明能夠培養(yǎng)學(xué)生條理化、系統(tǒng)化思考問題的習(xí)慣?？梢哉f，數(shù)學(xué)證明在培養(yǎng)學(xué)生追求真理、保持洞察力上的表現(xiàn)也是完美的。

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該重視歸納推理，因?yàn)闆]有具體例子就沒有一般化的結(jié)論與方法，但不對(duì)結(jié)論與方法進(jìn)行反思與推理，數(shù)學(xué)是不完美的。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)也應(yīng)該根據(jù)需要，滲透與培養(yǎng)學(xué)生的證明意識(shí)與證明能力。利用基本事實(shí)證明自然數(shù)除法法則與分?jǐn)?shù)除法法則的一致性。

總之，教材編寫者應(yīng)該關(guān)注并落實(shí)數(shù)學(xué)的基本原則，把數(shù)學(xué)的基本原則滲透到每一個(gè)數(shù)學(xué)概念、方法的教學(xué)中；數(shù)學(xué)教師應(yīng)該理解數(shù)學(xué)的基本原則，在處理教材、閱讀文獻(xiàn)時(shí)，能夠獨(dú)立思考，辯證地看待與處理爭議內(nèi)容，在數(shù)學(xué)基本原則的指導(dǎo)下，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，挖掘數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的力量，教師與教材協(xié)同發(fā)力，努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科立德樹人的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

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［責(zé)任編輯：陳國慶］