晏南飛

平行四邊形和特殊的平行四邊形的解答題在中考中是較為常見(jiàn)的，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，解題難度較大。那么，如何解答才能不失分？這就需要我們學(xué)會(huì)分解題目，踩點(diǎn)分析，規(guī)范書(shū)寫(xiě)。下面就以2022年內(nèi)蒙古呼和浩特市的一道中考題為例說(shuō)明。

下面是八年級(jí)教科書(shū)中的一道題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F。求證：AE=EF。（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG）

（1）請(qǐng)你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：______。

（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），其他條件不變。求證：AE=EF。

（3）在（2）的條件下，連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥AC，垂足為P。設(shè)[BEBC]=K，當(dāng)K為何值時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明。

解：（1）AG=CE。（2分）

（2）取AG=EC，連接EG，如圖3。（3分）

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=90°。

∵AG=EC，∴BG=BE。

∴△BGE是等腰直角三角形。

∴∠BGE=∠BEG=45°。

∴∠AGE=135°。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°。

∵CF是正方形ABCD外角的平分線，

∴∠DCF=45°。

∴∠ECF=90°+45°=135°。

∴∠AGE=∠ECF。（4分）

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠FEC=90°。

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF。（5分）

在△GAE和△CEF中，

[∠GAE=∠CEF，AG=EC，∠AGE=∠ECF，]

∴△GAE≌△CEF（ASA）。

∴AE=EF。（6分）

（3）當(dāng)K=[13]時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形。（7分）

取AG=EC，連接EG，如圖4。

由（2）得△CEF≌△GAE，∴CF=EG。

設(shè)BC=x，則BE=Kx，

∴GE=[2]Kx，EC=（1-K）x。（8分）

∵EP⊥AC，

∴△PEC是等腰直角三角形。

∴∠PEC=45°。

∴∠PEC+∠ECF=180°，PE=[22]（1-K）x。

∴PE∥CF。（9分）

當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形，∴[22]（1-K）x=[2]Kx，解得K=[13]。（10分）

【得分分析】（1）“提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG”是本題解決問(wèn)題的關(guān)鍵。要證AE=EF，通常要證這兩條邊所在的三角形全等。而在現(xiàn)有圖形中沒(méi)有這樣的全等三角形，就需要構(gòu)造三角形。條件中給出點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，可以得到CE=[12]BC。觀察圖形，再根據(jù)正方形性質(zhì)，可以知道AB=BC，就明白為什么要“取AB的中點(diǎn)G，連接EG”。其直接目的是證明AG=CE，下一目標(biāo)是證全等。

（2）此問(wèn)弱化了條件，把特殊點(diǎn)“中點(diǎn)”換成一般點(diǎn)“邊上任意的一點(diǎn)”，解題基本思路與第（1）問(wèn)一樣，正確作出輔助線就可以拿1分。為證明全等，找到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角相等，就可以各得1分，最終寫(xiě)出結(jié)論得1分。我們?cè)谧C明全等的時(shí)候要注意格式的規(guī)范，要將全等條件按照全等三角形的判定定理（此解法用的是“ASA”）的順序書(shū)寫(xiě)，在寫(xiě)△GAE≌△CEF時(shí)要按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的順序書(shū)寫(xiě)。

（3）我們要注意此問(wèn)的提問(wèn)方式?！爱?dāng)K為何值時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明?！币虼?，我們?cè)诮獯痖_(kāi)始就要先說(shuō)明“當(dāng)K=[13]時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形?！贝苏f(shuō)明可得1分。設(shè)參數(shù)來(lái)表示邊長(zhǎng)時(shí)，我們要注意表達(dá)清楚和完整，否則容易造成條件不明確而丟分。另外，就是考驗(yàn)我們最基礎(chǔ)的運(yùn)算能力了。我們?cè)诮獯鸬淖詈箅A段依舊不能放松要求，只有仔細(xì)計(jì)算，才能確保獲得全部分?jǐn)?shù)。

（作者單位：江蘇省宿遷市宿豫區(qū)玉泉山路初級(jí)中學(xué)）