李佳
[摘? 要] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)是用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 生長型專題微課能幫助學(xué)生完善知識網(wǎng)絡(luò),能促進(jìn)學(xué)生理解知識,能提升學(xué)生運(yùn)用知識的能力,所以生長型專題微課是學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的有效載體,對學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展起著至關(guān)重要的作用.
[關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);經(jīng)驗(yàn)遷移;培育素養(yǎng)
初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí),是指在教師的引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題,全身心地參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程. 自2018年9月起,杭州市便開展了學(xué)生自主制作微課活動,旨在借微課制作之道,落深度學(xué)習(xí)之實(shí). 教師指導(dǎo)學(xué)生制作專題微課,深化和落實(shí)了“學(xué)為中心”“以生為本”的教學(xué)理念. 自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)模式豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式;技術(shù)賦能,能幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺,能幫助教師精準(zhǔn)助學(xué),能優(yōu)化教師的教學(xué)方式;培養(yǎng)學(xué)生高學(xué)習(xí)力、高理解力、高表達(dá)力、高創(chuàng)造力等核心素養(yǎng),則讓學(xué)生的內(nèi)隱知識外顯化,從而實(shí)現(xiàn)了思維的進(jìn)階. 基于深度學(xué)習(xí)的生長型專題復(fù)習(xí),以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,以聚焦核心知識為起點(diǎn),以探究核心問題為載體,能達(dá)到提升學(xué)生思維層級的目的.
理解學(xué)生掌握學(xué)情,把握學(xué)習(xí)? ? 廣度
折疊是日常生活中常見的現(xiàn)象,是數(shù)學(xué)中的常見素材,其呈現(xiàn)背景可以是三角形、四邊形、圓等多種幾何圖形,折疊的本質(zhì)是圖形變換中的軸對稱. 學(xué)生解決圖形的折疊問題時,常常出現(xiàn)如下情況:①審題時,無法順利地畫出圖形;②解題時,沒有清晰的解題思路;③識圖時,無法構(gòu)造出基本圖形. 改變這種現(xiàn)狀的關(guān)鍵在于要多進(jìn)行實(shí)踐操作,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),并遷移應(yīng)用活動經(jīng)驗(yàn),以達(dá)到“學(xué)一法、會一類、通一片”的效果,最終將抽象的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化.
理解數(shù)學(xué)精準(zhǔn)教學(xué),凸顯學(xué)習(xí)? ? 深度
針對以上學(xué)情,教師可圍繞下面幾個問題進(jìn)行“矩形的折疊”教學(xué):①折疊后折痕兩側(cè)的圖形之間有怎樣的關(guān)系?有哪些重要的結(jié)論?②能否運(yùn)用這些結(jié)論,將問題轉(zhuǎn)化成基本模型?③能否利用模型,通過方程、相似、銳角三角函數(shù)等知識解決問題?
基于上述對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的理解,教師教學(xué)時可確定如下教學(xué)環(huán)節(jié).
1. 環(huán)節(jié)一:呈現(xiàn)基本問題,提煉核心思想
(PPT呈現(xiàn))一張矩形紙片ABCD如圖1所示,已知AB=3,BC=2,E為線段AB上的一個動點(diǎn),把△BCE沿直線CE折疊后得到△B′CE.
問題:以圖1為背景,請同學(xué)們聯(lián)想一下,隨著點(diǎn)E的運(yùn)動,點(diǎn)B′會落到哪些特殊的位置. 請同學(xué)們先按下暫停鍵,畫出相應(yīng)的圖形.
學(xué)生獨(dú)立思考完后按下了播放鍵,PPT陸續(xù)呈現(xiàn)了圖2、圖3、圖4,其中圖2中的點(diǎn)B′落在了DC邊上,圖3中的點(diǎn)B′落在了對角線BD上,圖4中的點(diǎn)B′落在了對角線AC上.
追問1:當(dāng)點(diǎn)B′落在DC邊上時,如圖2所示,在畫圖的過程中,如何確定點(diǎn)E和點(diǎn)B′的位置?并求出此時AE的長.
給出“追問1”后,學(xué)生按下暫停鍵,思考完成后學(xué)生再按播放鍵. 此時PPT呈現(xiàn)了如下四種畫圖方法:①利用折疊時對應(yīng)角相等、折痕為角平分線來確定點(diǎn)E和點(diǎn)B′的位置. 可以先畫∠BCD的平分線來確定點(diǎn)E的位置,即∠BCD的平分線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E,接著畫EB′⊥DC交DC于點(diǎn)B′,從而確定點(diǎn)B′的位置. ②利用折疊時對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等來確定點(diǎn)E和點(diǎn)B′的位置. 可以先畫∠BCD的平分線來確定點(diǎn)E的位置,即∠BCD的平分線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E. 又因?yàn)镃B=CB′,于是在DC邊上截取CB′=CB來確定點(diǎn)B′的位置. ③利用折疊時對應(yīng)邊相等和對應(yīng)角相等可證得四邊形BCB′E是正方形,于是可在DC邊上截取CB′=CB來確定點(diǎn)B′的位置,在AB上截取BE=BC來確定點(diǎn)E的位置. ④利用折疊時對應(yīng)邊相等、折痕垂直平分兩對稱點(diǎn)的連線段來確定點(diǎn)E和點(diǎn)B′的位置. 先在DC邊上截取CB′=CB來確定點(diǎn)B′的位置,接著作線段BB′的中垂線交AB于點(diǎn)E,以確定點(diǎn)E的位置.
(容易求得圖2中的AE=3-2=1)
評析?搖 教師設(shè)計折疊后讓點(diǎn)B′落到特殊位置上這一問題,是為了讓學(xué)生感受點(diǎn)E在運(yùn)動過程中的一些特殊位置,感悟從一般到特殊的思想. 在“追問1”之下,學(xué)生給出了4種畫圖的方法,這能讓學(xué)生體會到精準(zhǔn)畫圖的過程中需要用到折疊的性質(zhì),而折疊的本質(zhì)是軸對稱,對稱軸為對應(yīng)點(diǎn)連線段的中垂線或?qū)?yīng)線段所夾角的平分線所在的直線. 上述過程能培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、操作能力,能為后續(xù)問題的解決做鋪墊.
追問2:同學(xué)們會用尺規(guī)作圖法畫出圖3、圖4嗎?并求出相應(yīng)圖形中AE的長.
有了畫圖2的活動經(jīng)驗(yàn),學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立思考,獲得了如下結(jié)論:①通法,折疊后的對應(yīng)邊相等(CB′=CB),因此以點(diǎn)C為圓心、CB的長為半徑畫圓,與對角線的交點(diǎn)即為點(diǎn)B′. 又由對稱軸垂直平分兩個對稱點(diǎn)的連線段(CE垂直平分BB′),可確定點(diǎn)E的位置,即作BB′的中垂線與邊AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E. ②特法,鑒于圖3特有的條件,可作過點(diǎn)C且垂直于BD的直線,所作直線與AB邊的交點(diǎn)即為點(diǎn)E. 鑒于圖4特有的條件,可作∠BCA的平分線,所作平分線與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E. 圖3和圖4中點(diǎn)B′的畫法同①.
評析?搖 當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在邊CD上時,要求AE的長,首先要畫出相應(yīng)的圖形. 畫圖時,先以點(diǎn)F為圓心、FB的長為半徑畫弧與邊DC相交于點(diǎn)B′,接著作BB′的中垂線交邊AB于點(diǎn)E,然后過點(diǎn)B′作B′E的垂線,與以點(diǎn)F為圓心、CF的長為半徑的圓相交于點(diǎn)C′,最后順次連接FC′,C′B′,B′E,EF,如圖11所示. 求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B的過程中B′C′掃過的面積,本質(zhì)是求B,C兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B′,C′在折疊過程中的運(yùn)動路徑. 由“追問3”的活動經(jīng)驗(yàn)可知,兩個點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都是弧,只要分別畫出以直線AF,BF為對稱軸的對稱點(diǎn)即可,如圖12所示.
從折疊三角形到折疊四邊形,通過對問題的探究,學(xué)生感悟到了:不變的是,畫圖時,用對稱抓住不動的點(diǎn),即圓心的位置;變化的是,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時,“問題”是一個對應(yīng)點(diǎn)的變化,而“變式4”出現(xiàn)了兩個對應(yīng)點(diǎn)的變化,因此圖12出現(xiàn)了兩條弧. 在圖11的求解過程中,可結(jié)合矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)探究折疊后新生成的“雙平等腰模型”,進(jìn)一步建立模型觀念.
3. 環(huán)節(jié)三:自主梳理歸納,構(gòu)建思維模型
教師教學(xué)時可引導(dǎo)學(xué)生以圖形折疊為載體,梳理解決問題的方法、策略、經(jīng)驗(yàn),并以思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行小結(jié).
理解教學(xué)感悟反思,聚焦學(xué)習(xí)? ? 亮度
1. 關(guān)注實(shí)踐操作,積累活動經(jīng)驗(yàn)
學(xué)習(xí)是經(jīng)歷各種各樣的活動,掌握基礎(chǔ)知識、基本技能,感悟思想的過程. 在專題復(fù)習(xí)課中,對于綜合性較強(qiáng)的題目,教師應(yīng)針對學(xué)生的疑點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行有效剖析,設(shè)計有層次的關(guān)聯(lián)問題來激發(fā)學(xué)生對相關(guān)知識的回顧,并讓學(xué)生通過自身的實(shí)踐操作來達(dá)到對知識的有效建構(gòu),從而積累活動經(jīng)驗(yàn). 本文通過設(shè)計開放型含有動點(diǎn)的矩形折疊問題,讓學(xué)生參與到“探、畫、解、思”的過程中,感知折疊問題畫圖、計算的依據(jù)均來源于對折疊本質(zhì)(軸對稱變換)的理解與應(yīng)用.
2. 設(shè)置問題驅(qū)動,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
著名教育家陶行知先生認(rèn)為,“創(chuàng)造始于問題,有了問題才會思考,有了思考,才有解決問題的方法,才有找到獨(dú)立思路的可能”. “環(huán)節(jié)一”設(shè)計了一個開放型問題,讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下學(xué)會獨(dú)立思考、主動探究,在探究中嘗試尋求解決問題的具體策略,總結(jié)出折疊問題中畫圖和計算的通性通法與數(shù)學(xué)思想. “環(huán)節(jié)二”引出了基于“環(huán)節(jié)一”的4道變式題,教師讓學(xué)生在經(jīng)歷了矩形背景下三角形的折疊及折疊中隱含的數(shù)學(xué)模型后,繼續(xù)探究矩形背景下折疊后點(diǎn)落在矩形內(nèi)部、兩次折疊問題,以及四邊形的折疊,再一次激發(fā)了學(xué)生的探究欲望,讓學(xué)生在已有的經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)下不斷深入探究. 除了矩形背景下的折疊有“不變”的規(guī)律外,平行四邊形的折疊和圓的折疊同樣有這樣的“不變”性.
如圖13所示,四邊形ABCD是平行四邊形,E,F(xiàn)兩點(diǎn)分別在邊AB,CD上,將四邊形BCFE沿EF折疊后得到四邊形GHFE. 若點(diǎn)G恰好為△ADE的重心,則的值為________.
如圖15所示,以半圓O的一條弦AB(非直徑)為對稱軸翻折后與直徑BC交于點(diǎn)D. 我們不難發(fā)現(xiàn),利用圓的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可以生成等腰三角形ACD. 若兩次折疊,即在圖15的基礎(chǔ)上,再翻折交AB于點(diǎn)E,如圖16所示,不難得到等腰三角形ACD,等腰三角形ADE,等腰三角形DEB,且AC=AD=DE=EB.
3. 善用一題多變,感悟本質(zhì)思想
研究的對象在變,但研究的套路不變,思想方法不變,這就是數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)的力量. “環(huán)節(jié)一”設(shè)計了一題多問,“環(huán)節(jié)二”設(shè)計了一題多變,教師通過問題,引導(dǎo)學(xué)生在“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”的本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律. 如“環(huán)節(jié)一”通過設(shè)計特殊位置上的折疊情形,讓學(xué)生在畫圖中感悟到“變”的是對應(yīng)點(diǎn)的位置,“不變”的是畫圖的方法與依據(jù);“環(huán)節(jié)二”則通過設(shè)計一題多變,讓學(xué)生在解決問題的過程中總結(jié)出折疊問題“變”的規(guī)律,即“雙平等腰模型”,通過經(jīng)驗(yàn)感悟,幫助學(xué)生解決折疊綜合問題.
4. 注重方法內(nèi)化,培育核心素養(yǎng)
“常規(guī)課育樹,復(fù)習(xí)課育林.”生長型專題復(fù)習(xí)是圍繞某個核心知識點(diǎn)(重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn))或某個問題(基本問題、基本圖形、基本思想、基本方法),運(yùn)用變式、拓展、延伸等方法產(chǎn)生知識、方法、思維、經(jīng)驗(yàn)生長鏈,形成核心知識間的結(jié)構(gòu)關(guān)系,揭示解決問題的規(guī)律和方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),從而提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).
本文開展“矩形折疊”生長型專題復(fù)習(xí),找準(zhǔn)了生長源,形成了生長鏈,不僅促進(jìn)了學(xué)生“四基”的落實(shí)和發(fā)展,還培育了他們的核心素養(yǎng). 學(xué)生在微課制作中體驗(yàn)制作過程并多渠道分享學(xué)習(xí),屬于個性化學(xué)習(xí)的“做中學(xué)”,這對提高他們的數(shù)學(xué)學(xué)科知識、動手實(shí)踐能力、信息技術(shù)應(yīng)用能力、組織策劃能力等大有裨益,能助力他們核心素養(yǎng)更好地落地生根.