方彪 龐恒鑫 王炫清 燕善俊

摘? 要：隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)飛速發(fā)展，圖像直觀、形象等特點(diǎn)使其成為信息傳播的重要媒介，但實(shí)際使用中仍舊存在著許多的安全隱患。文章采用小波變換和混沌圖像加密結(jié)合的方法，對(duì)圖像加密算法進(jìn)行研究，并設(shè)計(jì)了一類兼顧壓縮的圖像加密算法。并通過對(duì)加密算法進(jìn)行密鑰靈敏度測試、時(shí)耗測試，可知該加密算法加密效果較好，安全性較強(qiáng)，加密速度有所提升。

關(guān)鍵詞：小波變換；Arnold置亂；混沌系統(tǒng)；圖像加密；網(wǎng)絡(luò)安全

中圖分類號(hào)：TP309.7? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）05-0102-04

Research on an Image Encryption Algorithm Based on Wavelet Transform

FANG Biao， PANG Hengxin， WANG Xuanqing， YAN Shanjun

（School of Mathematics and Statistics， Xuzhou University of Technology， Xuzhou? 221111， China）

Abstract： With the rapid development of computer network technology， the characteristics of image intuition and vividness make it become an important medium of information dissemination， but there are still many security risks in actual use. This paper uses the method of combining wavelet transform with chaotic image encryption to study the image encryption algorithm， and it designs a kind of image encryption algorithm that takes compression into account. Through the key sensitivity test and time consumption test of the encryption algorithm， it is known that the encryption algorithm has good encryption effect， strong security and improved encryption speed.

Keywords： wavelet transform; Arnold scrambling; Chaotic System; image encryption; network security

0? 引? 言

隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和多媒體的發(fā)展，數(shù)字圖像的應(yīng)用越來越多，它所承載的個(gè)人信息比例也逐漸增加，數(shù)字圖像的安全問題已成為信息安全的焦點(diǎn)。在傳統(tǒng)的加密算法如（DES、RSA），該類加密算法已得到了廣泛應(yīng)用，但隨著應(yīng)用的增加其，其破譯方法也逐漸增多，且不適用于對(duì)圖像及視頻的處理。如今混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)以其特殊的性質(zhì)，對(duì)初始條件的極其敏感性，成為圖像加密的首選方法。

混沌系統(tǒng)主要包含以下幾種特征：

（1）對(duì)初始值的敏感性：混沌現(xiàn)象非常依賴初始條件。初始條件如果有細(xì)微變動(dòng)，最終的結(jié)果可能會(huì)發(fā)生顛覆性的變化，這不利于預(yù)測長期的混沌系統(tǒng)的行為。

（2）長期不可預(yù)測性：因?yàn)榛煦缦到y(tǒng)對(duì)初始條件的敏感，并且初始條件的精度是有限的。所以，混沌系統(tǒng)中未來某一時(shí)刻的特征是很難長期預(yù)測的。

（3）內(nèi)隨機(jī)性：即使外部的條件不變的情況下，有些狀態(tài)可能會(huì)出現(xiàn)，也可能不會(huì)出現(xiàn)，這種現(xiàn)象就被成為內(nèi)隨機(jī)性。混沌系統(tǒng)內(nèi)部會(huì)自發(fā)的產(chǎn)生內(nèi)隨機(jī)性。

本文簡單介紹一種典型的一維混沌系統(tǒng)，即Logistic映射。它是一個(gè)簡單而又非常重要的非線性迭代方程，在動(dòng)力系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用。方程如下：

xn+1= μxn （1-xn）

其μ表示控制參數(shù)，n表示迭代次數(shù)，x表示狀態(tài)變量。

小波與普通的波不同，理論要求有兩個(gè)：一是小波波動(dòng)正負(fù)交替，直流分量為零；二是能量一般聚集在某一個(gè)時(shí)刻附近，且能量有限，隨著時(shí)間或距離的增加而越來越小。

信號(hào)一般由許多不同的頻率成分組成。通常，于時(shí)域中，高頻信號(hào)更容易區(qū)分，而在頻域中低頻信號(hào)更容易區(qū)分。所以當(dāng)要分析的頻率較高時(shí)，必須選擇窄的時(shí)頻信號(hào)來提高分辨率以求更好地分析高頻信號(hào)的內(nèi)容，并在分析低頻信號(hào)時(shí)選擇寬的時(shí)頻信號(hào)進(jìn)行分析，而小波變換可以滿足這些需求。

小波變換具有以下特點(diǎn)：

（1）信號(hào)有著多尺度的特點(diǎn)，從粗到精都能觀察到。

（2）相當(dāng)于一個(gè)帶通濾波器，基本頻率固定，利用變換縮放因子對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。

數(shù)字圖像通過小波變換壓縮圖像的基本方法為：將原始圖像分解為四個(gè)子帶信號(hào)，這些子圖像的頻率不同，本質(zhì)是將這四個(gè)自帶信號(hào)中的整體相關(guān)性消除掉，分解后的低頻分量相比較原始圖像，輪廓基本完整，圖像基本保持不變，而且信息量縮減，傳輸效率大大提高。

小波母函數(shù)是一個(gè)集合，因此小波選取集合中的哪一個(gè)效果最好成為值得探討的問題。小波變換主要分為三類：Symlets小波系、Daubechies小波系和Coiflet小波系，其中Symlets小波系和Daubechies小波系中分別有15種不同的小波，Coiflet小波系中有5種不同的小波，這共有30種不同的小波?，F(xiàn)有的分析結(jié)果是：效果最好的小波為Coiflet 3，5、Daubechies 9，10，15以及Symlet 7，11，14，15。

在傳統(tǒng)的加密信息傳播的過程中，處理后的圖像數(shù)據(jù)量很大，以及圖像本身就具有很高的冗余度，所以要對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理，即采用小波變換的壓縮感知算法對(duì)圖像進(jìn)行初始化。

圖像數(shù)據(jù)通常有兩種：連續(xù)型圖像數(shù)據(jù)和離散型圖像數(shù)據(jù)，在圖像信息的處理中，小波變換和傅里葉變換都是常用的基本方法。相比較傅里葉變換，小波變換能很好的處理劇烈變化中的非平穩(wěn)信號(hào)。采用小波變換，可以將大量的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，從而減輕存儲(chǔ)容量、通信路線的寬帶和計(jì)算機(jī)的處理的壓力。在壓縮數(shù)據(jù)的過程中，通過分析圖像中數(shù)據(jù)的相關(guān)性，減少冗余的數(shù)據(jù)，保留有效部分，從而減少所需的混沌序列，加密效率也有很大提高。

依據(jù)作用域的劃分，圖像加密算法可分為空域和頻域兩類，對(duì)于空域而言，其加密具有速度快，效果好的優(yōu)勢，但在抵抗外界攻擊時(shí)不如頻域加密算法。在頻域加密算法中，離散小波變換相比于離散傅里葉變換更具優(yōu)勢，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，在時(shí)域、頻域中都具有表征信號(hào)局部特征的能力，能夠解決信號(hào)的不平穩(wěn)性。經(jīng)小波變換后能夠得到原始圖像的低頻信息，集中了原始圖像的主要能量，與其相似度很高，可直接用來代替原始圖像進(jìn)行加密，能夠去除冗雜的高頻信息的干擾。

在圖像處理的過程中，常見的小波變換形式是離散形式。離散小波本質(zhì)上是將連續(xù)小波離散化。對(duì)位置參數(shù)b和尺度參數(shù)a進(jìn)行離散化。設(shè)Ψ （t）是基本小波，取a0＞1，b0＞0記為：

稱{Ψm， n （t）∈Z}為離散小波。

1? 基于混沌系統(tǒng)與小波變換的圖像加密算法設(shè)計(jì)

目前圖像加密算法的完成都是針對(duì)頻率或者像素的置亂，即便它有較好的加密效果，但是對(duì)于圖像的壓縮仍然存在大量可優(yōu)化的空間，所以本文將小波變換和混沌系統(tǒng)的圖像加密相互結(jié)合，成為一種新的圖像加密方法。

1.1? 圖像加密算法的步驟

（1）DWT處理。對(duì)于初始圖像利用小波變換進(jìn)行小波分解，區(qū)分出圖像在小波變換后低頻、水平、垂直以及對(duì)角系數(shù)。

（2）圖像壓縮。對(duì)圖像進(jìn)行小波分解后，保留低頻數(shù)據(jù)，去除高頻數(shù)據(jù)，將分解的低頻數(shù)據(jù)進(jìn)行信息量化編碼壓縮，重復(fù)該步驟，對(duì)第二層進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。

（3）混沌系統(tǒng)加密。通過一維Logistic映射生成混沌序列，與壓縮圖像進(jìn)行異或操作，利用公式：

p′ （x， y）=p （x， y） ⊕ x （i）

其中p （x， y）表示原圖在點(diǎn)（x， y）T處的灰度值，p′ （x， y）表示加密后的圖像在點(diǎn)（x， y）T的灰度值，x （i）表示混沌序列。得到第一次加密圖像。

（4）置亂加密。本文采用Arnold置亂，設(shè)（xn， yn）為圖像中的點(diǎn)，通過：

對(duì)像素點(diǎn)進(jìn)行變換，其中N取圖像的寬或高，p，q都是參數(shù)。經(jīng)過上式的n次運(yùn)算后，坐標(biāo)在（xn， yn）的點(diǎn)也移動(dòng)到了點(diǎn)（xn+1， yn+1）處。

通過對(duì)整幅圖片上像素的位移實(shí)現(xiàn)了置換，得到最終加密圖像。

1.2? 圖像解密算法步驟

（1）解密過程就是對(duì)加密過程的逆變換，利用Logistic映射形成與加密過程參數(shù)相同的混沌加密序列，與加密后的圖像進(jìn)行異或操作，再由式子：

根據(jù)置亂原則將移動(dòng)的像素恢復(fù)到原來的位置，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行第一次解密。

（2）先逆推置亂公式將像素位置歸回原位，得到公式：

p （x， y）=p′ （x， y） ⊕ x （i）

其中p （x， y）表示原圖在點(diǎn)（x， y）T處的灰度值，p′ （x， y）表示加密后的圖像在點(diǎn)（x， y）T的灰度值，x （i）表示混沌序列，通過公式運(yùn)算即可得到解密圖像。

（3）根據(jù)解密圖像與小波分解得到的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行小波逆變換，得到最終的解密圖像。

2? 實(shí)驗(yàn)仿真

2.1? 小波變換分解

對(duì)原始信息進(jìn)行二維多尺度小波分解，將圖像分為四個(gè)分量，分別為低頻分量、水平高頻分量，垂直高頻分量、對(duì)角線高頻分量，圖1為各分量圖像及系數(shù)重構(gòu)圖像。

2.2? 圖像壓縮

通過小波對(duì)圖像進(jìn)行分解后，對(duì)分解得到的低頻信息進(jìn)行信息量化編碼，保留第一層的低頻系數(shù)，去除高頻系數(shù)。按照一樣的步驟，接著繼續(xù)對(duì)第二層進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。最終的壓縮圖像如圖2所示。

2.3? 圖像加密

對(duì)于壓縮后的圖像，運(yùn)用Logistic混沌映射理論，利用一維Logistic生成混沌序列，再用reshape（）函數(shù)轉(zhuǎn)換為二維混沌加密序列，將其與壓縮后的結(jié)果進(jìn)行按位異或得到初次加密的圖像，再對(duì)其進(jìn)行Arnold置亂加密，增加圖像的加密效果，以得到最終的加密圖像。加密結(jié)果圖3所示。

2.4? 圖像解密

首先通過Arnold置亂公式逆變換將加密后的圖像像素回歸原位，得到初次解密圖像，再使用與加密時(shí)生成的相同參數(shù)的混沌序列對(duì)反置亂后的圖像進(jìn)行按位異或得到解密圖像，再通過小波逆變換得到最終的解密圖像。解密結(jié)果如圖4所示。

2.5? 錯(cuò)誤解密圖像

改變生成混沌序列的初始值，令x0=0.301，測試混沌序列加密測試解密結(jié)果，最終無法得到相應(yīng)的解密圖像，錯(cuò)誤解密圖像如圖5所示。

3? 實(shí)驗(yàn)效果與評(píng)價(jià)

3.1? 密鑰靈敏度測試

為了測試加密后的圖像對(duì)密鑰的靈敏度，本文對(duì)一維Logistic映射的參數(shù)μ和初值x0進(jìn)行研究，通過改變參數(shù)和初值的取值，觀察圖像解密效果，以驗(yàn)證密鑰的靈敏度，實(shí)驗(yàn)中密鑰的正確值為μ=3.6，x0=0.3，輸出計(jì)算結(jié)果如表1所示。

通過參數(shù)的改變輸出如圖6解密圖像。

通過以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，當(dāng)密鑰處于正確值時(shí)圖像可以成功解出。當(dāng)初始值不變、改變參數(shù)任一改變時(shí)，無法解出正確圖像；兩者同時(shí)改變，依然無法得到正確圖像，隨著密鑰數(shù)值的不斷增大，解密圖像與原圖像的差別也逐漸增加，說明改算法的密鑰較為靈敏，加密安全性較高，沒有正確的密鑰很難解出正確圖像。

3.2? 耗時(shí)測試

本文在對(duì)圖像進(jìn)行加密前，首先對(duì)其進(jìn)行了基于小波變換的壓縮處理，通過提取圖像μ中的低頻數(shù)據(jù)，使其保留大部分原始圖像信息，進(jìn)而對(duì)其壓縮，將圖片大小從500×500壓縮至136×136，通過分別對(duì)壓縮前后的圖像進(jìn)行加密，計(jì)算加密時(shí)間，如表2所示。

通過表2的耗時(shí)測試結(jié)果可以看出，對(duì)圖片進(jìn)行壓縮后再加密，可以大大減少圖像的加密時(shí)間，而基于小波變換的信號(hào)具有良好的能量集中性，包含大部分原始信息，從而使得在變換域的進(jìn)行有效壓縮，優(yōu)化壓縮和加密效果，并提高了加密速度。

3.3? 魯棒性分析

為了判斷解密后的圖像質(zhì)量，即分析解密圖像與原始圖像的偏離誤差，本文采用均方根誤差（RMSE）和峰值信噪比（PSNR）進(jìn)行客觀分析。

RMSE公式：

其中f ′ （i， j）、f （i， j）分別表示解密后的圖像和原始圖像在（i， j）處的像素值，且1≤i≤n，1≤j≤m，RMSE值越小，則解密前后的圖像相似度越高。

PSNR公式：

PSNR越大，則圖像的真實(shí)性越好．相似度越高。

本文通過計(jì)算可以得到wugui.jpg的解密圖像與原始圖像的RMSE值為0.408，PSNR值為55.917，說明該算法對(duì)解密得到的圖像與原始圖像相似度較高，算法效果較好。

4? 結(jié)? 論

本文通過研究了小波變換與圖像加密的融合，利用小波變換能夠在不同時(shí)域、不同頻域進(jìn)行信號(hào)分析等特征，對(duì)圖像加密進(jìn)行增強(qiáng)改進(jìn)。小波變換分割低頻、高頻信息的能力有助于壓縮圖像，在去除冗雜信息后依然保持著與原圖像的高相似度。本文在通過該方法將圖像壓縮后，分別利用混沌序列和Arnold置亂對(duì)圖像做進(jìn)一步的加密，經(jīng)算法實(shí)驗(yàn)仿真及效果評(píng)價(jià)，證明了該加密算法的加密效果，在安全性和加密速度方面得到了一定的提升。

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作者簡介：方彪（2001—），男，漢族，江蘇徐州人，本科在讀，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)；龐恒鑫（2001—），男，漢族，江蘇徐州人，本科在讀，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)；王炫清（2000—），男，漢族，江蘇連云港人，本科，在讀，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)；通訊作者：燕善俊（1978—），男，漢族，江蘇沛縣人，副教授，碩士，主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與信息安全。

收稿日期：2022-11-08