劉佳寧　司偉建

摘要：? ? ? 互質(zhì)陣列具有靈活的天線擺放形式， 相比于均勻陣列， 有更大的陣列孔徑， 可以獲得更高的自由度從而減少硬件資源成本， 因此受到廣泛的關(guān)注。 本文針對(duì)基于互質(zhì)陣列的空間平滑MUSIC算法（互質(zhì)SS-MUSIC算法）估計(jì)精度低、 計(jì)算量較大的問(wèn)題， 提出兩種基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法。 兩種算法均利用擴(kuò)展互質(zhì)陣列構(gòu)造虛擬陣列， 然后進(jìn)行協(xié)方差矩陣重構(gòu)， 重構(gòu)后的矩陣是Toeplitz矩陣， 對(duì)其進(jìn)行劃分， 對(duì)劃分后的矩陣進(jìn)行特征值分解， 求出信號(hào)子空間和噪聲子空間， 從而得到信號(hào)的入射角度。 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 兩種算法均能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)的欠定DOA估計(jì)， 與互質(zhì)SS-MUSIC算法相比， 兩種算法在低信噪比-5 dB時(shí)的測(cè)向誤差分別減少1.1°和0.5°， 具有更高的估計(jì)精度； 在相同條件下， 運(yùn)行時(shí)間分別減少45.9%和69.1%， 具有更低的計(jì)算復(fù)雜度。

關(guān)鍵詞：? ? ?陣列信號(hào)處理； DOA估計(jì)； 互質(zhì)陣列； Toeplitz矩陣； 矩陣重構(gòu)中圖分類號(hào)：? ? ? TJ760; V243.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：? ? A文章編號(hào)：? ? ?1673-5048（2023）02-0131-06

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0109

0引言

波達(dá)方向（Direction of Arrival， DOA）估計(jì)在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域占據(jù)重要的地位， 在雷達(dá)、 聲吶等眾多方面有著廣闊的應(yīng)用前景， 因此受到廣泛關(guān)注和研究。 為了盡可能提升DOA估計(jì)性能， 眾多算法被提出并且應(yīng)用于實(shí)際工程中， 如多重信號(hào)分類算法（MUSIC）［1］和旋轉(zhuǎn)不變子空間算法（ESPRIT）［2］等。 但這些算法能夠估計(jì)的信號(hào)源數(shù)目都不能超過(guò)利用的陣元數(shù)目， 因此， 想要估計(jì)多個(gè)信號(hào)源， 就要引入更多的天線， 這使得實(shí)際工程中硬件成本大大增加。 而稀疏陣列的出現(xiàn)可以很好地解決這一問(wèn)題， 互質(zhì)陣列是稀疏陣列的一種擺放形式， 相比于均勻陣列， 互質(zhì)陣列能夠增大陣列孔徑［3］， 獲得更高的自由度， 這意味著在陣元數(shù)相同的條件下， 利用互質(zhì)陣列進(jìn)行DOA估計(jì)比利用均勻陣列進(jìn)行DOA估計(jì)可獲得更高的性能指標(biāo)， 還能有效節(jié)省硬件資源， 降低成本。 因此， 互質(zhì)陣列估計(jì)憑借著這些優(yōu)勢(shì)吸引了廣大學(xué)者的關(guān)注， 一系列與之相關(guān)的研究成果被提出。 文獻(xiàn)［4］首次提出互質(zhì)陣列的概念， 互質(zhì)陣列具有靈活的擺放形式， 陣元間的間距可以大于入射信號(hào)的半波長(zhǎng)， 獲得更大的陣列孔徑。 文獻(xiàn)［5］提出基于互質(zhì)陣列的多重信號(hào)分類子空間算法（互質(zhì)SS-MUSIC算法）， 該算法利用虛擬陣列構(gòu)成的協(xié)方差矩陣， 對(duì)其進(jìn)行空間平滑， 通過(guò)譜峰搜索獲得信號(hào)的入射角度。 文獻(xiàn)［6］引入互質(zhì)ESPRIT算法， 利用信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變性， 對(duì)信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)， 避免了譜峰搜索等步驟， 減少了計(jì)算量。 文獻(xiàn)［7］提出基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的互質(zhì)DOA估計(jì)算法， 開(kāi)辟了利用互質(zhì)陣列進(jìn)行DOA估計(jì)的新思路。 文獻(xiàn)［8］ 通過(guò)凸優(yōu)化， 對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行矩陣重構(gòu)。 文獻(xiàn)［9］根據(jù)矩陣填充理論， 對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行擴(kuò)展， 利用其Toeplitz性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)低秩重構(gòu)矩陣， 可以解決陣元利用率不高的問(wèn)題。 為了進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度， 文獻(xiàn)［10］提出傳播算子算法（Propagator Method， PM）， 該算法不需要對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解， 主要通過(guò)矩陣的線性運(yùn)算來(lái)求得信號(hào)的信號(hào)子空間和噪聲子空間， 計(jì)算量明顯小于MUSIC和ESPRIT等子空間分解類算法， 因此可將該算法運(yùn)用到互質(zhì)陣列估計(jì)中。

本文為了提升估計(jì)精度并降低計(jì)算復(fù)雜度， 在文獻(xiàn)［7， 9-10］的基礎(chǔ)上， 提出兩種基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法。 一是基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的旋轉(zhuǎn)不變子空間（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，? ESPRIT）互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法（簡(jiǎn)稱互質(zhì)Toeplitz-ESPRIT算法）。 該算法利用虛擬陣列對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)， 該矩陣是一個(gè)Toeplitz矩陣， 與傳統(tǒng)ESPRIT算法不同， 本算法先對(duì)該矩陣進(jìn)行特征值分解獲得信號(hào)子空間， 對(duì)信號(hào)子空間進(jìn)行分塊， 利用旋轉(zhuǎn)不變因子計(jì)算出信號(hào)的入射角度。 二是基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的傳播算子（Propagator Method， PM）互質(zhì)陣列DOA估計(jì)算法（簡(jiǎn)稱互質(zhì)Toeplitz-PM算法）， 同樣是利用虛擬陣列構(gòu)造的Toeplitz矩陣， 以信號(hào)源數(shù)目作為分組， 將該矩陣進(jìn)行劃分， 引入傳播算子獲得信號(hào)的入射角度。 仿真表明： 相比于互質(zhì)SS-MUSIC算法， 在低信噪比和小快拍時(shí)， 互質(zhì)Toeplitz-ESPRIT算法估計(jì)性能更好； 互質(zhì)Toeplitz-PM算法的計(jì)算復(fù)雜度更低。

1互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)

2基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的DOA估計(jì)算法

2.1互質(zhì)Toeplitz-ESPRIT算法

2.2互質(zhì)Toeplitz-PM算法

2.3兩種算法的區(qū)別與聯(lián)系

兩種算法都是針對(duì)互質(zhì)SS-MUSIC算法估計(jì)精度低、 計(jì)算量大的問(wèn)題提出的。 互質(zhì)SS-MUSIC算法在譜峰搜索過(guò)程中， 通過(guò)獲取空間范圍內(nèi)空間譜的極大值作為目標(biāo)信號(hào)的入射角度， 在惡劣環(huán)境下會(huì)搜索出很多極大值， 對(duì)DOA估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響， 并且譜峰搜索會(huì)花費(fèi)很多時(shí)間， 增大了計(jì)算復(fù)雜度。 而本文所提兩種算法不需要譜峰搜索， 是對(duì)接收信號(hào)模型的協(xié)方差矩陣進(jìn)行操作， 計(jì)算得出入射角度， 只有一種估計(jì)結(jié)果， 因此估計(jì)精度更高， 計(jì)算復(fù)雜度更低。

兩種算法的區(qū)別是互質(zhì)Toeplitz-ESPRIT算法更側(cè)重于解決估計(jì)精度低的問(wèn)題， 在低信噪比和小快拍數(shù)時(shí)也有良好的估計(jì)性能， 而互質(zhì)Toeplitz-PM算法更側(cè)重于解決計(jì)算量大的問(wèn)題， 用線性運(yùn)算代替了特征值分解， 從而降低計(jì)算復(fù)雜度。

3仿真實(shí)驗(yàn)

4結(jié)論

本文提出兩種基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的互質(zhì)DOA估計(jì)算法， 利用擴(kuò)展互質(zhì)陣列構(gòu)造虛擬陣列， 構(gòu)造Toeplitz矩陣， 對(duì)其進(jìn)行不同處理， 實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)信號(hào)的DOA估計(jì)。 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的互質(zhì)ESPRIT算法在低信噪比和小快拍數(shù)時(shí)依舊能夠保持良好的估計(jì)精度； 基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的互質(zhì)PM算法計(jì)算復(fù)雜度更低， 解決了互質(zhì)SS-MUSIC算法估計(jì)精度低、 計(jì)算量大的問(wèn)題。 在實(shí)際應(yīng)用中， 可以根據(jù)不同的性能需求選擇不同的測(cè)向算法， 這兩種算法都可以推廣應(yīng)用至其他形式的互質(zhì)陣列中。

參考文獻(xiàn)：

［1］ Schmidt R. Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，? 1986，? 34（3）： 276-280.

［2］ Roy R，? Kailath T. ESPRIT-Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques［J］. IEEE Transactions on Acoustics，? Speech，? and Signal Processing，? 1989，? 37（7）： 984-995.

［3］ Li J F， Li Y X， Zhang X F. Direction of Arrival Estimation Using Combined Coprime and Nested Array［J］. Electronics Letters， 2019， 55（8）： 487-489.

［4］ Vaidyanathan P P， Pal P. Sparse Sensing with Co-Prime Samplers and Arrays［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2011， 59（2）： 573-586.

［5］ Pal P， Vaidyanathan P P. Coprime Sampling and the MUSIC Algorithm［C］∥Digital Signal Processing and Signal Processing Education Meeting （DSP/SPE），? ?2011： 289-294.

［6］ Zhou C W， Zhou J F. Direction-of-Arrival Estimation with Coarray ESPRIT for Coprime Array［J］. Sensors， 2017， 17（8）： 1779.

［7］ Cheng Z F， Zhao Y B， Li H， et al. Two-Dimensional DOA Estimation Algorithm with Co-Prime Array via Sparse Representation［J］. Electronics Letters， 2015， 51（25）： 2084-2086.

［8］ 盤敏容， 蔣留兵， 車?yán)?等. 基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)［J］. 雷達(dá)科學(xué)與技術(shù)， 2020， 18（1）： 1-6.Pan Minrong， Jiang Liubing， Che Li， et al. DOA Estimation of Coprime Array Based on Covariance Matrix Reconstruction［J］. Radar Science and Technology， 2020， 18（1）： 1-6.（in Chinese）

［9］ 孫兵， 阮懷林， 吳晨曦， 等. 基于Toeplitz協(xié)方差矩陣重構(gòu)的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)方法［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2019， 41（8）： 1924-1930.Sun Bing， Ruan Huailin， Wu Chenxi， et al. Direction of Arrival Estimation with Coprime Array Based on Toeplitz Covariance Matrix Reconstruction［J］. Journal of Electronics ＆ Information Technology， 2019， 41（8）： 1924-1930.（in Chinese）

［10］ Marcos S， Marsal A， Benidir M. The Propagator Method for Source Bearing Estimation［J］. Signal Processing， 1995， 42（2）： 121-138.

［11］ Qin S， Zhang Y D， Amin M G. Generalized Coprime Array Configurations for Direction-of-Arrival Estimation［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2015， 63（6）： 1377-1390.

［12］ 陳輝， 王永良. 基于空間平滑的矩陣分解算法［J］. 信號(hào)處理， 2002， 18（4）： 324-327.Chen Hui， Wang Yongliang. The Matrix Modified Method Based on Spatial Smoothing［J］. Signal Processing， 2002， 18（4）： 324-327.（in Chinese）

［13］ 韋娟， 嚴(yán)世安， 寧方立. 基于互質(zhì)陣虛擬陣列空間平滑的相干信號(hào)DOA估計(jì)方法［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2022， 44（4）： 1069-1077.Wei Juan， Yan Shian， Ning Fangli. DOA Estimation Method for Coherent Signals Based on Coprime Array Virtual Array Spatial Smoothing［J］. Systems Engineering and Electronics， 2022， 44（4）： 1069-1077.（in Chinese）

［14］ Chen Z， Fan C Y， Huang X T. Interpolation-Based Direction-of-Arrival Estimation for Coprime Arrays via Covariance Matrix Fitting［J］. IEEE Access， 2020， 8： 149133-149141.

［15］ 李興花， 郭沐然， 劉魯濤. 基于矩陣重構(gòu)的DOA陣元位置誤差校正方法［J］. 航空兵器， 2022， 29（1）： 79-83.Li Xinghua， Guo Muran， Liu Lutao. An Array Position Error Calibration Method Based on Matrix Reconstruction for DOA Estimation［J］. Aero Weaponry， 2022， 29（1）： 79-83.（in Chinese）

［16］ 王洪雁， 房云飛， 裴炳南. 基于矩陣補(bǔ)全的二階統(tǒng)計(jì)量重構(gòu)DOA估計(jì)方法［J］. 電子與信息學(xué)報(bào)， 2018， 40（6）： 1383-1389.Wang Hongyan， Fang Yunfei， Pei Bingnan. Matrix Completion Based Second Order Statistic Reconstruction DOA Estimation Method［J］. Journal of Electronics & Information Technology， 2018， 40（6）： 1383-1389.（in Chinese）

Direction of Arrival Estimation Algorithm Based on Coprime Array

Liu Jianing Si Weijian

（1. College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China;

2. Key Laboratory of Advanced Marine Communication and Information Technology， Ministry of Industry and

Information Technology， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： The coprime array has attracted extensive attention because of its flexible antenna placement form and larger array aperture compared with the uniform array， which can obtain higher degrees of freedom and reduce the cost of hardware resources. Aiming at the weak accuracy and large amount of computation of? SS-MUSIC algorithm， this paper proposes two DOA estimation algorithms with coprime array based on Toeplitz matrix reconstruction. Both algorithms use the virtual array formed by extended coprime array and reconstruct the covariance matrix. The reconstructed matrix is Toeplitz matrix， which is decomposed by eigenvalues to obtain the signal subspace and noise subspace， so as to obtain the incident angle of the signal. The simulation results show that the two algorithms can achieve underdetermined DOA estimation. Compared with the coprime SS-MUSIC algorithm， the direction finding errors of the two algorithms are reduced by 1.1 ° and 0.5 ° respectively at? low signal-to-noise ratio of -5 dB， and have higher estimation accuracy， the running time is reduced by 45.9% and 69.1% respectively in the same situations， with lower computational complexity.

Key words：? array signal processing; DOA estimation; coprime array; Toeplitz matrix; matrix reconstruction