■河南省鄭州第一〇一中學(xué) 馮連福

數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型來解決問題的過程。高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)進(jìn)行考查的形式主要體現(xiàn)在概率與統(tǒng)計(jì)試題?！吨袊呖紙?bào)告(2023)》再次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)試題將會(huì)以復(fù)雜情景的形式呈現(xiàn),信息識(shí)別與加工會(huì)更加明顯。下面我們將概率中典型例題進(jìn)行一一分析,同學(xué)們要學(xué)會(huì)收集信息→加工信息→數(shù)學(xué)建模→運(yùn)算求解→解決問題;舉一反三,提高自己科學(xué)探究與思維建模、邏輯推理能力。

類型一、兩點(diǎn)分布

例1某大學(xué)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課,學(xué)生是否選修哪門課互不影響。已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08,只選修甲和乙的概率是0.12,至少選修一門的概率是0.88,用ξ表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積。

(1)記“函數(shù)f(x)=x3+ξ為R 上的奇函數(shù)”為事件A,求事件A的概率;

(2)求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望。

分析:(1)由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則ξ=0,表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒選,可求事件A的概率;(2)由已知可得ξ=0或2,則ξ的分布列可求。

解:設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z。

(1)若函數(shù)f(x)=x3+ξ為R 上的奇函數(shù),則ξ=0。

當(dāng)ξ=0時(shí),表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒選。

故P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.5×0.6+(1-0.4)×(1-0.5)×(1-0.6)=0.24。

事件A的概率為0.24。

(2)依題意知ξ=0或2,則ξ的概率分布如表1所示。

表1

因此,ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×0.24+2×0.76=1.52。

類型二、超幾何分布

例2已知10件不同的產(chǎn)品中共有3件次品,現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試,直到找出所有3件次品為止。

(1)求恰好在第5 次測(cè)試時(shí)3 件次品全部被測(cè)出的概率;

(2)記恰好在第k次測(cè)試時(shí)3 件次品全部被測(cè)出的概率為f(k),求f(k)的最大值和最小值。

分析:(1)恰好在第5次測(cè)試時(shí)次品全部被測(cè)出,則第5次取次品,前4次中取2件次品、2件正品;(2)恰好在第k次測(cè)試時(shí)次品全部被測(cè)出需分類討論。

(2)根據(jù)題意,分析可得k的范圍是3≤k≤9。

當(dāng)3≤k≤6時(shí),若恰好在第k次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出,則第k次取出第3 件次品,前k-1次中有2次是次品,k-3次是正品。而從10 件產(chǎn)品中順序取出k件,有種情況。

當(dāng)k=7時(shí),即恰好在第7次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出,有兩種情況,一是第7次取出第3件次品,前6次中有2次是次品,4次是正品;二是前7次沒有取出次品,此時(shí)也可以測(cè)出三件次品。

當(dāng)k=8時(shí),即恰好在第8次測(cè)試時(shí)3件次品全部被測(cè)出,有兩種情況,一是第8次取出第3件次品,前7次中有2次是次品,5次是正品;二是前7次恰有一次次品,第8次取出為合格品。

類型三、二項(xiàng)分布

例3我國的5G 研發(fā)在世界處于領(lǐng)先地位,到2022年底已開通5G 基站超過231 萬個(gè),占全球比例超過60%。某科技公司為基站使用的某種裝置生產(chǎn)電子元件,該裝置由元件A和元件B按如圖1的方式連接而成。已知元件A至少有一個(gè)正常工作,且元件B正常工作,則該裝置正常工作。據(jù)統(tǒng)計(jì),元件A和元件B正常工作超過10 000小時(shí)的概率分別為。

圖1

(1)求該裝置正常工作超過10 000小時(shí)的概率;

(2)某城市5G 基站建設(shè)需購進(jìn)1 200臺(tái)該裝置,估計(jì)該批裝置能正常工作超過10 000小時(shí)的件數(shù)。

分析:(1)三個(gè)元件A為并聯(lián),再與元件B串聯(lián),進(jìn)而求出該裝置正常工作超過10 000小時(shí)的概率;(2)該批裝置服從二項(xiàng)分布,故可以估計(jì)出該批裝置能正常工作超過10 000小時(shí)的件數(shù)。

類型四、正態(tài)分布

例 4“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗。2023 年春節(jié)前夕,A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃作樣本,檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖,如圖2所示。

圖2

(1)求所抽取的100 包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。

(2)若該品牌的速凍水餃的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)Z服從正態(tài)分布N(u,σ2),其中u近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2。

①求Z落在(14.55,50.40)內(nèi)的概率;

② 若某人從某超市購買了1 包這種品牌的速凍水餃,發(fā)現(xiàn)該包速凍水餃某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值為55,根據(jù)3σ原則判斷該包速凍水餃某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值是否正常。

②若Z~N(u,σ2),則P(u-σ

解:(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)￣x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5。

方差s2=(-21.5)2×0.1+(-11.5)2×0.2+(-1.5)2×0.3+(8.5)2×0.25 +(18.5)2×0.15≈142.75。

根據(jù)3σ原則判斷該包速凍水餃某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值是正常的。

類型五、決策問題

例5某公司準(zhǔn)備將1 000 萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中,現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇,若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤為ξ1(萬元)的概率分布列如表2所示。

表2

且ξ1的期望E(ξ1)=120。

若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān),在生產(chǎn)的過程中,公司將根據(jù)成本情況決定是否受第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整,兩次調(diào)整相互獨(dú)立,且調(diào)整的概率分別為p(0

表3

(1)求m,n的值;

(2)求ξ2的分布列;

(3)根據(jù)投資回報(bào)率的大小請(qǐng)你為公司決策:當(dāng)p在什么范圍時(shí)選擇投資乙項(xiàng)目,并預(yù)測(cè)投資乙項(xiàng)目的最大投資回報(bào)率是多少。(投資回報(bào)率=年均利潤/投資總額×100%)

分析:(1)由E(ξ1)=120和m+0.4+n=1 求出m,n;(2)先由ξ2的可能取值為41.2,117.6,204.0,求出每一個(gè)的概率;(3)投資回報(bào)率最大即為期望最大。

解:(1)由題意得:

解得m=0.5,n=0.1。

(2)ξ2的可能取值為41.2,117.6,204.0。

P(ξ2=41.2)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p);

P(ξ2=117.6)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2;

P(ξ2=204.0)=p(1-p)。

所以ξ2的分布列如表4所示。

表4

(3)由(2)可得:

根據(jù)投資回報(bào)率的計(jì)算辦法,如果選擇投資乙項(xiàng)目,只需E(ξ1)

即120<-10p2+10p+117.6,解得0.4

因?yàn)镋(ξ2)=-10p2+10p+117.6,所以當(dāng)時(shí),E(ξ2)取到最大值為120.1,即預(yù)測(cè)投資回報(bào)率的最大值為12.01%。

類型六、概率最值問題

例6某芯片代加工工廠生產(chǎn)某型號(hào)芯片每盒12片,每批生產(chǎn)若干盒,每片成本1元,每盒芯片需檢驗(yàn)合格后方可出廠。檢驗(yàn)方案是從每盒芯片隨機(jī)取3 片檢驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)次品,就要把全盒12 片產(chǎn)品全部檢驗(yàn),然后用合格品替換掉不合格品,方可出廠;若無次品,則認(rèn)定該盒芯片合格,不再檢驗(yàn),可出廠。

(1)若某盒芯片中有9片合格,3片不合格,求該盒芯片經(jīng)一次檢驗(yàn)即可出廠的概率。

(2)若每片芯片售價(jià)10 元,每片芯片檢驗(yàn)費(fèi)用1元,次品到達(dá)組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后,每片需由代工廠退賠10元,并補(bǔ)償1片經(jīng)檢驗(yàn)合格的芯片給組裝廠。設(shè)每片芯片不合格的概率為p(0

①若某盒12 片芯片中恰有3 片次品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0;

②若以①中的p0作為p的值,由于質(zhì)檢員操作疏忽,有一盒芯片未經(jīng)檢驗(yàn)就被貼上合格標(biāo)簽出廠到組裝工廠,試確定這盒芯片最終利潤X(單位:元)的期望。

分析:(1)該盒芯片經(jīng)一次檢驗(yàn)即可出廠即取3片檢驗(yàn)都是正品,為二項(xiàng)分布;(2)先求出f(p),再用基本不等式或?qū)?shù)求出最大值;(3)X服從二項(xiàng)分布。

則E(X)=120-12-30-3×2=72。

這盒芯片最終利潤X的期望是72元。

類型七、比賽問題

例7世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為:90 min 內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝,如果參賽雙方在90 min內(nèi)無法決出勝負(fù)(踢成平局),將進(jìn)行30 min的加時(shí)賽,若加時(shí)賽階段兩隊(duì)仍未分出勝負(fù),則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)”。點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則如下:①兩隊(duì)各派五名隊(duì)員,雙方輪流踢點(diǎn)球,累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝;②如果再踢滿五球前,一隊(duì)進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)可能踢中的球數(shù),則該隊(duì)勝出,譬如:第四輪結(jié)束時(shí),雙方進(jìn)球數(shù)為2∶0,則不需踢第5輪了;③若前五輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中,雙方進(jìn)球數(shù)持平,則采用“突然死亡法”決出勝負(fù),即從第6輪起,雙方每輪各派一人踢點(diǎn)球,若均進(jìn)球或均不進(jìn)球,則繼續(xù)下一輪。直到出現(xiàn)一隊(duì)進(jìn)球另一隊(duì)不進(jìn)球的情況,進(jìn)球方勝。

現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇,雙方勢(shì)均力敵, 120 min(含加時(shí)賽)仍未分出勝負(fù),須采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決定勝負(fù)。設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為,乙隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為。每輪點(diǎn)球結(jié)果互不影響。

(1)設(shè)甲隊(duì)踢了5球,X為射進(jìn)點(diǎn)球的個(gè)數(shù),求X的分布列與期望;

(2)若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢,求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí),乙隊(duì)進(jìn)了四個(gè)球并剛好勝出的概率。

分析:(1)先分析出X服從二項(xiàng)分布,進(jìn)而寫出分布列;(2)由點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則分析出甲乙兩隊(duì)四輪比分為2∶4為關(guān)鍵之處。

所以X的分布列如表5所示。

表5

(2)設(shè)“第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí),乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并勝出”為事件A。

法一:由題意知,“甲乙兩隊(duì)前三輪比分為1∶3且第四輪甲隊(duì)進(jìn)球”為事件A1。

“甲乙兩隊(duì)前三輪比分為2∶3且第四輪甲隊(duì)不進(jìn)球”為事件A2。

法二:則甲乙兩隊(duì)四輪比分為2∶4。

類型八、條件概率型

例8某學(xué)校要對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)全面測(cè)試,對(duì)每位學(xué)生都要進(jìn)行9選3 考核(即共9 項(xiàng)測(cè)試,隨機(jī)選取3 項(xiàng)),若全部合格,則頒發(fā)合格證;若不合格,則重新參加下期的9選3 考核,直至合格為止。若學(xué)生小李抽到“引體向上”一項(xiàng),則第一次參加考試合格的概率為,第二次參加考試合格的概率為,第三次參加考試合格的概率為,若第四次抽到可要求調(diào)換項(xiàng)目,其他選項(xiàng)小李均可一次性通過。

(1)求小李第一次考試即通過的概率P;

(2)求小李參加考核的次數(shù)ξ分布列。

分析:(1)小李能夠通過考試的概率取決于是否能夠抽到“引體向上”這個(gè)項(xiàng)目,如果沒有抽到,則必能通過;若抽到“引體向上”則通過的概率為。后面通過測(cè)試的概率受到前面抽簽的影響,要利用條件概率進(jìn)行解決。(2)顯然ξ=1,2,3,4,在參加下一次考核時(shí),意味著前幾次考核失敗,所以當(dāng)ξ取2,3,4時(shí),要考慮前面考核失敗的情況與該次考核成功兩個(gè)方面同時(shí)成立。

故ξ的分布列如表6所示。

表6

例9為激發(fā)學(xué)生加強(qiáng)體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長,某校開展了校級(jí)排球比賽,現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0 分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2 分或打滿8 局時(shí)停止。設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立。已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為。

(1)求p的值;

(2)設(shè)X表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)。

解:(1)依題意,當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí),第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止。

(2)依題意知,X的所有可能值為2,4,6,8。

所以隨機(jī)變量X的分布列如表7所示。

表7