基于Q-con非球面的折反射式全景光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

包晟，劉智穎，黃蘊(yùn)涵，張禛

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院 光電測(cè)控與光信息傳輸技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130022）

0 引言

折反射式全景成像系統(tǒng)，最早是由SRINIVASAN M V 與Chahl J S 共同提出，在傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)中添加反射鏡用于獲得全景成像［1］。折反射式全景成像系統(tǒng)的成像方式不同于傳統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)遵從中心投影法，而是采用平面圓柱投影法，將位于圍繞光學(xué)系統(tǒng)光軸360°范圍內(nèi)、垂直視場(chǎng)一定角度內(nèi)的物通過(guò)反射鏡及中繼系統(tǒng)成像到二維平面上的圓環(huán)區(qū)域［2-3］。由于折反射式全景成像系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單、視場(chǎng)寬廣、畸變較小、成本較低等優(yōu)勢(shì)，同時(shí)能給人們帶來(lái)全新的視覺(jué)體驗(yàn)和交互感知，從而廣泛應(yīng)用于醫(yī)療衛(wèi)生［4］、無(wú)人機(jī)遙感［5］、勘測(cè)［6］等領(lǐng)域。

早期的反射鏡面型單一，僅有球面、圓錐面、拋物面、雙曲面等等，存在著視場(chǎng)較小、像質(zhì)較差、反射鏡口徑較大、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜等問(wèn)題，但是隨著折反射式全景成像系統(tǒng)的發(fā)展，對(duì)于系統(tǒng)簡(jiǎn)易化與緊湊化有了更高的要求，而達(dá)到更高要求一般從反射鏡的面型選擇出發(fā)。相對(duì)于球面，非球面可以提供更多的自由度，具有顯著的優(yōu)勢(shì)。同時(shí)由于單點(diǎn)金剛石車(chē)削技術(shù)的出現(xiàn)使得非球面的加工不再像以往那樣困難，于是許多新的面型描述方法引入光學(xué)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，比如非均勻有理B 樣條、Zernike 多項(xiàng)式［7-8］、XY 多項(xiàng)式、徑向基函數(shù)［9］、Q-type 多項(xiàng)式［10］和Bernstein［11］多項(xiàng)式等。其中近年來(lái)提出的Q-type 非球面引入的斜率約束可以使得非球面易于檢測(cè)，在設(shè)計(jì)的同時(shí)可以給予加工評(píng)價(jià)，有利于提高加工效率和檢測(cè)精度［12］，近年來(lái)已被成功應(yīng)用于魚(yú)眼鏡頭和全景環(huán)帶鏡頭［13］等設(shè)計(jì)中，并獲得很好的設(shè)計(jì)結(jié)果，有效的提升了鏡頭良率。目前鮮有將Q-type 非球面應(yīng)用于折反射式全景光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的有關(guān)報(bào)道。

本文介紹了Q-type 非球面中的Q-con 非球面，首先確定初始二次曲面反射鏡單元模型，并用Q-con 非球面進(jìn)行擬合替換，再將Q-con 非球面轉(zhuǎn)化為偶次非球面，對(duì)比了Q-con 非球面與偶次非球面的參數(shù)。最后為了進(jìn)一步分析Q-con 面型與偶次非球面面型，實(shí)際設(shè)計(jì)了一款與Q-con 非球面折反射式全景系統(tǒng)具有相同參數(shù)的偶次非球面折反射式全景系統(tǒng)，結(jié)果表明，相對(duì)于偶次非球面，采用Q-con 非球面不僅可以提高系統(tǒng)設(shè)計(jì)效率、加工精度、減小成本，也可以實(shí)現(xiàn)畸變更小、像質(zhì)更高、口徑更小的設(shè)計(jì)結(jié)果，體現(xiàn)了將Q-con非球面應(yīng)用于折反射式全景系統(tǒng)中的優(yōu)勢(shì)。

1 Q-con 非球面

冪級(jí)數(shù)非球面一直以來(lái)都是光學(xué)領(lǐng)域特別是光學(xué)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中最廣泛使用的，該面型表達(dá)式形式簡(jiǎn)單、使用方便。但是由于其各項(xiàng)系數(shù)之間非正交，尤其在應(yīng)用高次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，各項(xiàng)系數(shù)之間的相互干擾甚至抵消以及系數(shù)數(shù)量級(jí)嚴(yán)重偏小導(dǎo)致光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化效率低下的問(wèn)題更加突出。2007年，美國(guó)的FORBES G W博士提出了一種新型的函數(shù)多項(xiàng)式，具體可分為Q-con 型函數(shù)多項(xiàng)式（強(qiáng)效型）、Q-bfs 型函數(shù)多項(xiàng)式（溫和型）與Q-bfs 擴(kuò)展函數(shù)多項(xiàng)式三種表達(dá)形式［14-16］，光學(xué)領(lǐng)域?qū)⑵浣y(tǒng)稱(chēng)為Q-type 函數(shù)多項(xiàng)式。這三種函數(shù)多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)式中各項(xiàng)偏離基準(zhǔn)曲面系數(shù)項(xiàng)相互正交，克服了傳統(tǒng)冪級(jí)數(shù)非球面表達(dá)式由于各項(xiàng)系數(shù)非正交帶來(lái)的冗余干擾及精度缺失，提高了光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)效率，有利于得到更高質(zhì)量的設(shè)計(jì)結(jié)果，并且對(duì)于加工和檢測(cè)的難度沒(méi)有加大。

本文選擇Q-con 型非球面進(jìn)行研究設(shè)計(jì)，Q-con 型函數(shù)多項(xiàng)式是在二次曲面的基礎(chǔ)上加上新型多項(xiàng)式構(gòu)造的，其表征非球面的矢高表達(dá)式為

式中，{ρ，θ，z}為圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)，c為非球面近軸處曲率半徑，ρ為曲面某點(diǎn)到曲面軸心的距離，ρmax為曲面最大口徑處到曲面軸心的距離，ρ2=x2+y2，取值范圍為0 ≤ρ≤ρmax，k為圓錐系數(shù)，新型多項(xiàng)式Dcon(ρ/ρmax)為Q-con 非球面表達(dá)式與對(duì)應(yīng)基準(zhǔn)二次曲面的偏離，表達(dá)式為

式中，u為歸一化坐標(biāo)，?1 ≤u=ρ/ρmax≤1，am為對(duì)應(yīng)的正交多項(xiàng)式系數(shù)，Qconm(x) 為正交多項(xiàng)式集｛Qconm(x)；m=0，1，…，M｝，既要滿足式（1）使其能夠更加準(zhǔn)確的描述一個(gè)曲面面型，同時(shí)也要滿足在求解正交項(xiàng)系數(shù)時(shí)能夠最大程度的避免出現(xiàn)數(shù)值病態(tài)。

對(duì)于任意的曲面z=f(ρ)，其與式（1）中的二次曲面的差異即為多次項(xiàng)g(ρ)，將其與（1）式中的多次項(xiàng)進(jìn)行擬合

進(jìn)行擬合的過(guò)程就是令E2(a1，a2，…，am)的梯度等于0 的過(guò)程，式（3）尖括號(hào)表示對(duì)括號(hào)內(nèi)函數(shù)的積分或和的加權(quán)平均，此時(shí)會(huì)得到最優(yōu)化表達(dá)式

由格拉姆矩陣（Gram matrix）的性質(zhì)得知Gmn為格拉姆矩陣，所以Gmn也是一個(gè)半正定的對(duì)稱(chēng)矩陣。為了避免曲面擬合時(shí)數(shù)值病態(tài)，出現(xiàn)錯(cuò)誤，需要將格拉姆矩陣正交從而轉(zhuǎn)化為對(duì)角矩陣，因?yàn)閷?duì)角矩陣的性質(zhì)為主對(duì)角線之外的元素均為0而其余元素不全為0，于是將式（5）構(gòu)造為如式（6）所示結(jié)果從而轉(zhuǎn)化成一個(gè)對(duì)角矩陣。

又有，雅可比（Jacobi）多項(xiàng)式(x)是在（?1，1）上關(guān)于權(quán)函數(shù)組成正交多項(xiàng)式，有

對(duì)比式（6）與式（7），發(fā)現(xiàn)兩式結(jié)構(gòu)類(lèi)似，為了讓兩式能夠相互轉(zhuǎn)化，于是將（7）式進(jìn)行改造，將其積分上下限變換為0～1，變換結(jié)果為

再將式（6）與式（8）進(jìn)行對(duì)比，（1?x）次方值為0，x的次方值為4，于是得出α=0，β=4，又有Qconm(x)=(2x?1)，所以(x)推導(dǎo)的最終表達(dá)式為

對(duì)于(x)的計(jì)算，其為特殊的雅可比多項(xiàng)式，于是可以通過(guò)計(jì)算對(duì)應(yīng)的雅可比多項(xiàng)式(x)而得出，于是有

式中，α=0，β=4，令權(quán)函數(shù)w(x)=(1 ?x)α(1+x)β為零，于是通過(guò)計(jì)算，前六項(xiàng)可寫(xiě)為

盡管當(dāng)式（3）的均方根誤差計(jì)算為一個(gè)有限和，基底（10）仍然為一個(gè)良好的選擇，雖然Gram 矩陣可能不是一個(gè)完全精確的對(duì)角矩陣，但是其仍能通過(guò)保持良好的數(shù)值對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行約束限制，進(jìn)而避免數(shù)值病態(tài)的發(fā)生。

綜上所述，Q-con 函數(shù)多項(xiàng)式的基底多項(xiàng)式相互正交，避免了非正交帶來(lái)的冗余干擾、精度缺失與數(shù)值病態(tài)的問(wèn)題，并且提供了更多的有效數(shù)字，提高了光學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)效率及可加工性。因此本文將Q-con 非球面應(yīng)用于折反射式全景光學(xué)系統(tǒng)的反射鏡單元，以提高系統(tǒng)設(shè)計(jì)效率的同時(shí)獲得成像質(zhì)量更高的設(shè)計(jì)結(jié)果。

2 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)

設(shè)計(jì)的折反射式全景光學(xué)系統(tǒng)根據(jù)使用要求，光譜范圍為可見(jiàn)光波段，視場(chǎng)角為（65°～115°）×360°，擬采用1/1.6 inch CMOS 傳感器接收，傳感器有效像面尺寸為8 mm×6 mm，像元尺寸5.4 μm×5.4 μm。依據(jù)等距投影的映射原理，通過(guò)目標(biāo)視場(chǎng)以及CMOS 傳感器尺寸大小，再考慮f-θ畸變，將焦距目標(biāo)值設(shè)置為1.24 mm，具體設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 折反射式全景光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Specifications of the catadioptric panoramic optical system

2.2 折反射式全景系統(tǒng)尺寸的確定

折反射式全景成像系統(tǒng)主要包括反射鏡單元、中繼系統(tǒng)、CCD，其中反射鏡單元起到擴(kuò)大系統(tǒng)成像視場(chǎng)的作用，能夠?qū)⒐饩€轉(zhuǎn)入到后面的中繼系統(tǒng)中，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)視場(chǎng)角大于180°的全景成像。其系統(tǒng)尺寸主要由中繼系統(tǒng)到反射鏡單元最大口徑處的軸向距離h和反射鏡單元口徑D所決定。如圖1 所示為折反射式全景光學(xué)系統(tǒng)的尺寸關(guān)系，其中虛線表示該光學(xué)系統(tǒng)最大視場(chǎng)的主光線，該系統(tǒng)相對(duì)于光軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)。圖中y為系統(tǒng)的全像高，f為中繼系統(tǒng)焦距，光線通過(guò)反射鏡壓縮后視場(chǎng)角為θ。則有

圖1 折反射全景成像系統(tǒng)的尺寸關(guān)系Fig.1 Calculating size of catadioptric panoramic optical system

式（12）即為該折反射式全景成像系統(tǒng)的系統(tǒng)口徑、中繼系統(tǒng)視場(chǎng)角與靶面尺寸之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)實(shí)際應(yīng)用選擇合適的視場(chǎng)角θ、中繼系統(tǒng)焦距f及全像高，并確定合理的反射鏡口徑D和中繼系統(tǒng)到反射鏡單元最大口徑處的軸向距離h。

2.3 反射鏡單元初始結(jié)構(gòu)建模

對(duì)反射鏡單元進(jìn)行初始結(jié)構(gòu)建模的過(guò)程中首先要知道其光線走向，大視場(chǎng)光線通過(guò)反射鏡反射折轉(zhuǎn)進(jìn)入中繼系統(tǒng)中，中繼系統(tǒng)將光線會(huì)聚到靶面上。折反射式全景光學(xué)系統(tǒng)由中繼系統(tǒng)校正場(chǎng)曲，所以在反射鏡單元建立的過(guò)程中，不考慮場(chǎng)曲的校正，設(shè)計(jì)時(shí)將像面彎曲，在中繼系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)讓像面反方向彎曲，從而讓反射鏡單元與中繼系統(tǒng)的匹茲伐場(chǎng)曲相互抵消從而達(dá)到校正場(chǎng)曲的目的，即有

式中，PRelay為中繼系統(tǒng)的匹茲伐和，Pmirror為反射鏡單元的匹茲伐和，對(duì)于含有多個(gè)光學(xué)表面的光學(xué)系統(tǒng)而言，其匹茲伐和可以寫(xiě)為

式中，J是拉氏不變量，ni和n′i分別是表面前后介質(zhì)的折射率，ci是此面的曲率半徑。由于反射鏡單元前后介質(zhì)均為空氣，折射率為1，所以反射鏡單元的匹茲伐和為

在反射鏡單元會(huì)產(chǎn)生場(chǎng)曲的情況下，在反射鏡單元建模時(shí)應(yīng)將像面彎曲設(shè)計(jì)，曲率半徑為匹茲伐半徑，來(lái)保證之后整體的場(chǎng)曲補(bǔ)償。為了實(shí)現(xiàn)建模整體性，在進(jìn)行反射鏡單元建模時(shí)使用近軸透鏡代替中繼系統(tǒng)，并將光闌設(shè)置在近軸透鏡前。建模后的反射鏡初始結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 反射鏡單元初始結(jié)構(gòu)建模結(jié)果Fig.2 The results of modeling the initial structure of the mirror element

2.4 反射鏡單元的Q-con 非球面的擬合替換與優(yōu)化

初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)完成后，需要將反射鏡二次曲面面型擬合為Q-con 非球面。光線在二次曲面反射鏡單元反射時(shí)的半口徑值Y坐標(biāo)范圍為9.75 mm～26.75 mm。通過(guò)ZEMAX 將反射鏡單元面型替換為Q-con 面型后優(yōu)化，光線在Q-con 非球面反射鏡單元反射時(shí)的半口徑值Y坐標(biāo)范圍為9.75 mm～26.25 mm。ZEMAX軟件中SSAG 操作數(shù)可以獲取任意表面在半口徑值Y坐標(biāo)下對(duì)應(yīng)的矢高值（Saggital depth，SAG），為了獲得二次曲面反射鏡單元及Q-con 非球面反射鏡單元面型曲線，將半口徑Y(jié)值步長(zhǎng)設(shè)置為0.25 mm，得到反射鏡單元在半口徑值Y坐標(biāo)下對(duì)應(yīng)的矢高值。將數(shù)據(jù)導(dǎo)出并以曲線圖表示如圖3 所示。

圖3 二次曲面面型及Q-con 非球面面型的反射鏡單元的Y-SAG 曲線Fig.3 H-SAG curves of mirror elements with quadratic surface and Q-con aspheric surface

圖4 曲面擬合結(jié)果Fig.4 The results of surface fitting.

完成反射鏡單元Q-con 非球面的優(yōu)化與擬合后，將得到的反射鏡面型替換為擬合后的Q-con 曲面，替換后的Q-con 反射鏡單元點(diǎn)列圖、調(diào)制傳遞函數(shù)曲線圖如圖5 所示。Q-con 反射鏡單元不考慮場(chǎng)曲的校正，因此其場(chǎng)曲大小可以由像方彎曲程度所體現(xiàn)，該反射鏡單元像面半徑為10.218 mm。

圖5 Q-con 非球面反射鏡單元成像性能Fig.5 Performances of Q-con aspheric mirror element

2.5 中繼系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

完成反射鏡單元設(shè)計(jì)后，對(duì)中繼系統(tǒng)的設(shè)計(jì)進(jìn)行分析。中繼系統(tǒng)的作用是收集反射鏡反射的光線會(huì)聚到靶面上。由于反射鏡單元與中繼系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)，最后拼接，所以依據(jù)光瞳銜接原則，反射鏡單元的出瞳等于中繼系統(tǒng)的入瞳，同時(shí)將光闌放置在中繼系統(tǒng)的最前側(cè)。反射鏡單元出瞳直徑Dmirror為3 mm，所以中繼系統(tǒng)入瞳直徑Drelay也設(shè)置為3 mm。同時(shí)通過(guò)Q-con 非球面反射鏡單元初始結(jié)構(gòu)建模得知，近軸面焦距fparaxial為9 mm，所以中繼系統(tǒng)焦距也為9 mm。再通過(guò)像距l(xiāng)′、近軸面口徑D、以及近軸面焦距fparaxial可以計(jì)算出NAparaxial=0.018 93 后，中繼系統(tǒng)物方NArelay大小需要與NAparaxial相同，有如下關(guān)系式

中繼系統(tǒng)的設(shè)計(jì)除了滿足式（16），匹茲伐場(chǎng)曲還需要滿足式（13），即中繼系統(tǒng)的像面彎曲要與反射鏡設(shè)計(jì)的像面彎曲大小相等，方向相反，從而使得匹茲伐場(chǎng)曲相互抵消，得到校正。

從像差理論出發(fā)，根據(jù)消色差原理以及合理的光焦度分配，決定采用經(jīng)典的H-ZF1、ZK9B，H-ZK9B、ZF7L 消色差玻璃組合，以及低折射率低色散玻璃材料H-FK71 進(jìn)一步消色差。經(jīng)過(guò)反復(fù)的修改優(yōu)化，最終的中繼系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果如圖6 所示。點(diǎn)列圖、調(diào)制傳遞函數(shù)曲線圖如圖7 所示。

圖6 中繼系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.6 Design results of relay system

圖7 中繼系統(tǒng)成像性能Fig.7 Performances of relay system

3 折反射式全景成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果與分析

將反射鏡單元與中繼系統(tǒng)進(jìn)行拼接，拼接后的折反射式全景成像系統(tǒng)點(diǎn)列圖、調(diào)制傳遞函數(shù)曲線圖及場(chǎng)曲和畸變曲線如圖8 所示。

圖8 拼接后系統(tǒng)成像性能Fig.8 Performances after system splicing

可以看到，拼接后像質(zhì)雖然有所下降，但是場(chǎng)曲相互抵消得到校正，其小于±0.1 mm 范圍內(nèi)。為了提高像質(zhì)，滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，在此基礎(chǔ)上對(duì)該光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)一步優(yōu)化，為了提高優(yōu)化效率令透鏡厚度保持不變，限制中繼系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與總長(zhǎng)不產(chǎn)生過(guò)大變化。再通過(guò)TTHI、MNEG、MNCA 等操作數(shù)對(duì)中繼系統(tǒng)間距及邊緣厚度進(jìn)行限制，使得透鏡在合理的可加工及裝配的范圍之內(nèi)。

通過(guò)反復(fù)的調(diào)整與優(yōu)化，得到了視場(chǎng)為（65°～115°）×360°，可見(jiàn)光波段，焦距為1.24 mm，F(xiàn)數(shù)為3.5，光學(xué)系統(tǒng)總長(zhǎng)度為99.8 mm，后截距為5 mm 的折反射式全景成像光學(xué)系統(tǒng)。系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖9（a）所示，折反射式全景成像系統(tǒng)中反射鏡單元面型為Q-con 型非球面，中繼系統(tǒng)由三個(gè)雙膠合透鏡、一個(gè)場(chǎng)鏡、一個(gè)正透鏡組成來(lái)校正像差。該系統(tǒng)反射鏡單元極大的擴(kuò)大了系統(tǒng)的視場(chǎng)角，同時(shí)根據(jù)光學(xué)設(shè)計(jì)手冊(cè)得知，鏡組的最小中心厚度以及邊緣厚度、邊厚比、D/R等均在合理的可加工的范圍之內(nèi)。圖9（b）是該折反射式全景系統(tǒng)的環(huán)帶像面示意圖，環(huán)帶內(nèi)徑為1.318 mm，環(huán)帶外徑2.935 mm，盲區(qū)面積占大圓面積20%左右，傳感器像元利用率較高。

現(xiàn)代社會(huì)，人們?cè)谖幕?xí)俗、道德理念、價(jià)值觀念以及行為方式等方面普遍而深刻地存在著差異、分歧和沖突。這些差異、分歧、沖突并沒(méi)有明確有效的方式使其趨于融合。文化習(xí)俗、道德理念、價(jià)值觀念以及行為方式的多元性意味著存在多種合理的價(jià)值以及關(guān)于共同的善的合理觀念。社會(huì)各階層可以自由地采納其中一種價(jià)值觀念，或是從某種利益出發(fā)把不同的價(jià)值結(jié)合在一起，還可以自由地形成本階層關(guān)于良善生活的觀念?！安煌纳罘绞匠缟胁煌纳坪偷滦赃@一事實(shí)并非不完美的特征，而是人類(lèi)可以以不同的生活方式很好地生活的標(biāo)志”。[12]

圖9 設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.9 Design result

圖10（a）為折反射式全景系統(tǒng)的點(diǎn)列圖，可以看到全視場(chǎng)范圍內(nèi)均方根彌散斑半徑為2.093 μm，小于艾里斑半徑2.58 μm；圖10（b）為系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)曲線圖，在尼奎斯特空間頻率93l p/mm 處，最大視場(chǎng)調(diào)制傳遞函數(shù)大于0.4，其余視場(chǎng)均大于0.5，接近衍射極限；圖10（c）為系統(tǒng)的場(chǎng)曲和畸變曲線，可以看到，該系統(tǒng)最大畸變小于12%。

圖10 Q-con 非球面折反射式全景系統(tǒng)成像性能Fig.10 Performances of the designed Q-con aspheric catadioptric panoramic optical system

通過(guò)ZEMAX 的Surface Conversion Tool 將反射鏡單元Q-con 非球面轉(zhuǎn)換為最高級(jí)次為14 次的偶次非球面，使其與Q-con 非球面多項(xiàng)式級(jí)次相等。反射鏡單元Q-con 表達(dá)式中的全部8 個(gè)參數(shù)和轉(zhuǎn)化后的偶次非球面表達(dá)式的8 個(gè)參數(shù)如表2。

表2 反射鏡單元Q-con 非球面參數(shù)與對(duì)應(yīng)的偶次非球面參數(shù)Table 2 Parameters of the designed mirror element Q-con aspheres and corresponding even aspheres

由表可以看出Q-con 多項(xiàng)式系數(shù)am（a0～a5）的數(shù)量級(jí)在10?5以?xún)?nèi)；而轉(zhuǎn)換后的偶次非球面多項(xiàng)式系數(shù)a4～a14數(shù)量級(jí)達(dá)到了10?21，比對(duì)應(yīng)的Q-con 多項(xiàng)式系數(shù)小5～16 個(gè)數(shù)量級(jí)，這表明了在同樣的的計(jì)算平臺(tái)下，Q-con 多項(xiàng)式系數(shù)具有更大的數(shù)量級(jí)，可以保留更多的有效數(shù)字。

進(jìn)一步對(duì)比兩種非球面面型，從共同的初始結(jié)構(gòu)模型出發(fā)，采用與Q-con 非球面面型的反射鏡單元相近的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了偶次非球面面型的反射鏡單元。系統(tǒng)中使用的透鏡材料、數(shù)量、位置均與Q-con 折反射式全景成像系統(tǒng)相同，最終設(shè)計(jì)的反射鏡單元偶次非球面面型數(shù)據(jù)如表3 所示。從表中數(shù)據(jù)可知，偶次非球面系數(shù)數(shù)量級(jí)10?6～10?22，比對(duì)應(yīng)的Q-con 多項(xiàng)式系數(shù)小5～17 個(gè)數(shù)量級(jí)，驗(yàn)證了表二的分析結(jié)果。

表3 反射鏡單元偶次非球面面型參數(shù)Table 3 Parameters of the designed mirror element even aspheres

一方面，相對(duì)于傳統(tǒng)的偶次非球面表達(dá)式，Q-con 非球面表達(dá)式可以保留更多的有效數(shù)字從而提高光學(xué)元件可加工性與加工精度。另一方面，由于Q-con 多項(xiàng)式各系數(shù)項(xiàng)互相正交，避免了傳統(tǒng)偶次非球面各項(xiàng)系數(shù)相互影響的弱點(diǎn)從而可以提高優(yōu)化效率，所以采用Q-con 非球面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可以在達(dá)到更高像質(zhì)的同時(shí)也具有更高的可加工性。

為了更直觀的對(duì)比兩種面型的可加工性，采用反射鏡單元面型與其基準(zhǔn)二次曲面面型的矢高偏離程度作為衡量加工難易程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算了兩種面型與其基準(zhǔn)二次曲面之間的矢高偏離量。如圖11 所示即為Q-con 非球面和偶次非球面與其基準(zhǔn)二次曲面的矢高偏離量?？梢钥吹絈-con 非球面的矢高偏移量最大為250 μm，而偶次非球面的矢高偏移量最大為806 μm，是Q-con 非球面矢高偏移量最大值的三倍以上。說(shuō)明采用Q-con 非球面的反射鏡單元具有更好的可加工性。

圖11 矢高偏離量Fig.11 SAG departure

圖12（a）為折反射式全景系統(tǒng)的點(diǎn)列圖，可以看到在全視場(chǎng)范圍內(nèi)均方根彌散斑半徑為2.675 μm，比Q-con 非球面設(shè)計(jì)的彌散斑半徑2.093 μm 高出27.8%；圖12（b）為系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)曲線圖，在尼奎斯特空間頻率93l p/mm 處，最大視場(chǎng)調(diào)制傳遞函數(shù)接近0.4，其余視場(chǎng)均大于0.5，略低于Q-con 非球面設(shè)計(jì)結(jié)果；圖12（c）為系統(tǒng)的場(chǎng)曲和畸變曲線，可以看到，該系統(tǒng)最大畸變15%，比Q-con 非球面設(shè)計(jì)的畸變12%高出25%；同時(shí)該反射鏡單元尺寸50 mm，比Q-con 非球面設(shè)計(jì)的反射鏡單元尺寸45 mm 高出11.1%。綜上所述，采用Q-con 非球面面型在提高系統(tǒng)的設(shè)計(jì)效率、加工精度、減小成本的同時(shí)也可以實(shí)現(xiàn)畸變更小、像質(zhì)更高、口徑更小的設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖12 偶次非球面折反射式全景系統(tǒng)成像性能Fig.12 Performances of the designed even aspheric catadioptric panoramic optical system

4 結(jié)論

利用Q-con 非球面設(shè)計(jì)了一款可見(jiàn)光工作波段，視場(chǎng)大小為（65°～115°）×360°，焦距為1.24 mm，F(xiàn)數(shù)為3.5，總長(zhǎng)為100 mm 的折反射式全景成像系統(tǒng)。該系統(tǒng)反射鏡單元采用Q-con 非球面面型，成像質(zhì)量接近衍射極限。將Q-con 非球面轉(zhuǎn)化為偶次非球面，表明了Q-con 非球面系數(shù)相對(duì)于偶次非球面系數(shù)具有更大的數(shù)量級(jí)，可以保留更多的有效數(shù)字。最后，為了進(jìn)一步對(duì)比Q-con 面型與偶次非球面面型，實(shí)際設(shè)計(jì)了一款與Q-con 非球面折反射式全景系統(tǒng)具有相同參數(shù)的偶次非球面折反射式全景系統(tǒng)，對(duì)兩者進(jìn)行了分析比較。結(jié)果表明，相對(duì)于偶次非球面，采用Q-con 非球面不僅可以提高系統(tǒng)設(shè)計(jì)效率、加工精度、減小成本，也可以實(shí)現(xiàn)畸變更小、像質(zhì)更高、口徑更小的設(shè)計(jì)結(jié)果。