基于多薄壁圓管套裝假設(shè)的圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力-變形量分析

張居敏，王 鵬，鄧在京

（華中農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，湖北 武漢 430070）

受扭圓軸的切應(yīng)力-變形量理論公式在材料力學(xué)、工程力學(xué)等力學(xué)課程中占有重要地位，也是教學(xué)重難點［1-4］.當(dāng)前教材都采用楔形微體理論導(dǎo)出這些公式［5-9］，方法過于單一，過程有點抽象，初學(xué)者不易接受.

文 獻［1-4］給出了楔形微體理論在實際教學(xué)中的具體教法建議，指出了平面假設(shè)在該理論中的核心性地位.文獻［10］試圖用能量法推導(dǎo)受扭圓軸的切應(yīng)力-變形量理論公式，該方法理論價值高，但比較抽象、復(fù)雜，不便于課堂教學(xué).

筆者以薄壁圓管的切應(yīng)力-變形量理論及公式為基礎(chǔ)，基于多個薄壁圓管套裝假設(shè)，推導(dǎo)了厚壁圓管的切應(yīng)力-變形量公式，并指出厚壁圓管的切應(yīng)力-變形量公式完全適用于薄壁圓管，最后以薄壁圓管為例闡述了切應(yīng)變γ角的物理含義及具體測量方法，為剪切胡克定律公式的正確性提供了實驗驗證方法 .研究結(jié)果有助于提升圓軸扭轉(zhuǎn)理論的內(nèi)在邏輯關(guān)系，有助于課堂教學(xué).

文內(nèi)涉及的所有軸和圓管，其材質(zhì)及受力都與教材文獻［5-9］中圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力-變形量理論公式的適用對象相同，即滿足：均勻性、連續(xù)性、各向同性、線性小變形等諸多條件.

1 薄壁圓管

1.1 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分析在材料力學(xué)、工程力學(xué)等教材中一般都有講解［5-9］，為保持本文整體上的獨立可讀性與完整性，并方便論文后半部分對其引用，現(xiàn)做簡要介紹.

圓管外圓半徑與內(nèi)圓半徑的平均值稱為平均半徑，用R0表示；圓管厚度即外圓半徑與內(nèi)圓半徑的差值用δ表示，通常把δ/R0≤1/10的圓管稱為薄壁圓管，否則為厚壁圓管.設(shè)某薄壁圓管兩端受到扭矩T的作用，受扭前后分別如圖1所示.在圖1b中沿垂直軸線的1-1截面假想截斷后取左邊半圓管為研究對象，并讓左邊仍然保持截斷前的靜力學(xué)平衡狀態(tài).設(shè)左邊環(huán)形斷茬面上受到均勻切應(yīng)力τ的作用，如圖1c所示，由于壁很薄，可以近似認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚均勻分布.

圖1 薄壁圓管受扭前后對比及橫截面上切應(yīng)力分布

圖1中T表示圓管兩端面上受到的扭矩；R0表示圓管平均半徑；δ表示圓管厚度.

在圖1c中，環(huán)形切應(yīng)力流形成的力系向截面圓心O點簡化，力系主矢為零（對稱），主矩等于外扭矩T.如圖1d所示，

這就是薄壁圓管受扭時橫截面上切應(yīng)力計算公式.

1.2 扭轉(zhuǎn)變形在圖1b中，沿1-1截面右側(cè)截取長度為dx的一段圓環(huán)，放大后如圖2a所示.設(shè)受扭后圓環(huán)右端面相對于左端面轉(zhuǎn)過的角度為dφ，微體abcd距離觀察者最近，設(shè)該微體上邊緣轉(zhuǎn)過的角度為γ，如圖2b所示（已再次放大）.微體abcd受扭后為abc＇d＇.根據(jù)觀察知道γ角（即切應(yīng)變）很小，于是有

圖2 薄壁圓管扭轉(zhuǎn)變形

式（2）帶入剪切胡克定律公式即τ=G·γ，則有τ=GR0·，帶入式（1）得

式（3）反應(yīng)了薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時的變形情況，等號左邊為薄壁圓管單位長度扭轉(zhuǎn)角.

2 厚壁圓管

2.1 扭轉(zhuǎn)變形如圖3所示，假設(shè)厚壁圓管是多個薄壁圓管的套裝組合，其受扭處都存在一個垂直于軸線的剛性圓片，剛性圓片與各薄壁圓管都焊接在一起，外部扭矩作用在剛性圓片上，剛性圓片把外部扭矩分配到各套裝薄壁圓管上.各薄壁圓管對應(yīng)的單位長度扭轉(zhuǎn)角都由式（3）確定，由于各薄壁圓管都焊接在剛性圓片上，所以受扭后其變形步調(diào)一致，即單位長度扭轉(zhuǎn)角必然相等，于是由式（3）得

圖3 厚壁圓管扭轉(zhuǎn)

其中，T1，T2，T3，…，Tn分別表示第1，2，3，…，n個薄壁圓管端面上受到的剛性圓片分配的扭矩；R1，R2，R3，…，Rn分別表示第1，2，3，…，n個薄壁圓管的平均半徑；dR表示各薄壁圓管的統(tǒng)一厚度.

2.2 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力厚壁圓管由多個薄壁圓管套裝而成，設(shè)其中第i個薄壁圓管橫截面上的切應(yīng)力為τi，由式（1）得

式（5）為厚壁圓管扭轉(zhuǎn)時的變形量即單位長度扭轉(zhuǎn)角計算公式；式（7）和（8）同屬切應(yīng)力計算公式，這些公式與教材上基于楔形微體理論推導(dǎo)出的公式相同［5-9］.這種相同性并非偶然，因為2 種推理方法都滿足扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)，即圓軸受扭變形后橫截面仍然保持平面，其形狀、大小、間距都不改變，而且半徑仍然為直線段［5-9］.筆者把厚壁圓管看作由多個薄壁圓管套裝在一起，這些薄壁圓管受扭后變形步調(diào)一致，即單位長度扭轉(zhuǎn)角相同，所以各薄壁圓管之間沒有相對運動，也就沒有摩擦力.或者說不計摩擦，把厚壁圓管直接看作由多個光滑的薄壁圓管套裝在一起.

另外，扭轉(zhuǎn)平面假設(shè)提到圓軸受扭后形狀、大小、間距都不變，即直徑不變、軸向長度不變，說明直徑方向和軸線方向的正應(yīng)變都為零，由公式σ=E·ε（即正應(yīng)力等于彈性模量乘以正應(yīng)變）可知：這2 個方向的正應(yīng)力都為零.再由公式σ=F/A（即正應(yīng)力等于拉力或壓力除以受力面積）可知，受扭后圓軸在直徑方向和軸線方向都不受力，說明將厚壁圓管看作由多個薄壁圓管套裝在一起時，各薄壁圓管之間不存在直徑方向上的相互壓力或拉力，沒有壓力就沒有摩擦力，即各薄壁圓管相互之間沒有摩擦力.

3 厚壁圓管切應(yīng)力-變形量公式對薄壁圓管的適用性分析

薄壁圓管切應(yīng)力-變形量計算由式（1）和（3）確定；厚壁圓管切應(yīng)力-變形量計算由式（5）、（7）和（8）確定.實際上式（5）和（8）不但適用于厚壁圓管，也適用于薄壁圓管.

例1 設(shè)某薄壁圓管平均半徑為R0，壁厚為δ，兩端受到扭矩T作用.試分別按薄壁圓管和厚壁圓管計算切應(yīng)力-變形量，并比較2種算法的差距.

解 令δ/R0=λ即δ=λR0，λ為常數(shù).按厚壁圓管處理時內(nèi)外直徑及IP、WP依次為

其中，ξτ表示2種算法應(yīng)力差值在厚壁圓管最大切應(yīng)力中所占百分比.

再由式（3）和（5）得2種算法的單位長度扭轉(zhuǎn)角

由式（9）和（10）可知，λ趨近零時ξτ，ξφ也都趨近零.這說明薄壁圓管管壁越來越薄時，無論用薄壁圓管公式還是用厚壁圓管公式，由此計算出的切應(yīng)力及單位長度扭轉(zhuǎn)角差距都會越來越小.表1 列出了不同λ值時的ξτ和ξφ值，進一步證實了此觀點.

表1 不同λ值時的ξτ、ξφ值

由于假設(shè)薄壁圓管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿壁厚均勻分布，所以管壁越薄則薄壁圓管的切應(yīng)力-變形量公式就越準(zhǔn)確.厚壁圓管的切應(yīng)力-變形量公式是由積分得到的：把圓管劃分為無窮多個厚度無限趨近零的薄壁圓管，再依次用薄壁圓管公式計算切應(yīng)力-變形量，然后疊加.因此有理由認(rèn)為，厚壁圓管切應(yīng)力-變形量公式也適用于薄壁圓管，而且計算精度更高.

例2 兩圓管套裝在一起，內(nèi)管內(nèi)外直徑依次為d、d1，外管內(nèi)外直徑依次為d1、D.兩圓管長度相等、切變模量都為G，兩圓管左端面焊接在同一個剛性端蓋上、右端面焊接在另一個剛性端蓋上，在兩端剛性端蓋上各加一個旋向相反的扭矩T.求：1）右端蓋相對于左端蓋繞圓管軸線轉(zhuǎn)過的角度；2）圓管的最大切應(yīng)力.

解 1）內(nèi)外圓管右端面相對于左端面繞軸線轉(zhuǎn)過的角度相同，所以兩者的單位長度扭轉(zhuǎn)角相同.由式（5）得

其中，T1和T2分別表示內(nèi)、外圓管受到的扭矩，IP1和IP2分別表示內(nèi)、外圓管的極慣性矩

從例2計算結(jié)果即式（12）和（13）可知，2個圓管套裝后的單位長度扭轉(zhuǎn)角和最大切應(yīng)力，等同于套裝后整體上作為一個圓管的單位長度扭轉(zhuǎn)角和最大切應(yīng)力.同理，多個圓管套裝后整體上等同于一個圓管，或者說一個厚壁圓管可以分解為多個（甚至無窮多個）薄壁圓管的套裝組合.例2 間接驗證了“基于多個薄壁圓管套裝假設(shè)的圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力-變形量分析”理論及公式的正確性.

4 用薄壁圓管扭轉(zhuǎn)實驗檢驗剪切胡克定律的正確性

設(shè)某薄壁圓管兩端受到扭矩T作用，如圖4a 所示，受扭前圓管表面平行于軸線的母線如圖中虛線所示，受扭后母線如圖中實線所示，變?yōu)槁菪€.薄壁圓管切應(yīng)變即γ角如圖4a所示，大小由式（2）確定.由式（2）可知，切應(yīng)變γ角實際上就是母線在薄壁圓管受扭后所形成螺旋線的螺旋角正切值，由于其很小，故γ角近似等于其正切值.如圖4b所示，在直角三角形ABC中，AB邊代表薄壁圓管的軸向長度L，令BC=R0·φ，φ角表示受扭后薄壁圓管右端面相對于左端面繞軸線轉(zhuǎn)過的角度，結(jié)合式（2），則有

圖4 薄壁圓管扭轉(zhuǎn)后的切應(yīng)變γ角

當(dāng)φ=2π 時，L就等于螺旋線的螺距H，即γ≈tanγ=可以想象，螺距H相對于平均半徑R0而言是很大的.

當(dāng)前教材一般都沒有給出切應(yīng)變參數(shù)的測量方法，也沒有給出切應(yīng)變與切應(yīng)力之間符合正比例關(guān)系即剪切胡克定律公式的正確性驗證方法，而是直接理所當(dāng)然地給出剪切胡克定律公式并加以引用［5-9］.由于缺乏必要的驗證性實驗，而讓切應(yīng)變這一物理參數(shù)顯得很抽象，甚至有初學(xué)者懷疑該參數(shù)的實際可測性.從式（14）即切應(yīng)變γ角的表達式可以看出，該參數(shù)看得見、摸得著，是可以實際測量的.

若把圖4b所示直角三角形ABC紙片粘貼在圖4a所示薄壁圓管的圓柱面上，讓直角邊AB與受扭前圓柱母線重合，則貼合后斜邊AC就與薄壁圓管受扭后母線形成的螺旋線重合.

材料力學(xué)課程實驗一般有2 個：拉伸和扭轉(zhuǎn).建議把扭轉(zhuǎn)試驗中的實心圓軸改為薄壁圓管或另外增加薄壁圓管扭轉(zhuǎn)實驗.在可行性方面，文獻［11］報道了用百分表測量鋁制薄壁圓管剪切模量G的方法；文獻［12］提到對圓管兩端加柱塞，以輔助裝夾圓管.式（1）為薄壁圓管受扭后橫截面上切應(yīng)力τ的計算公式；式（14）為薄壁圓管受扭后切應(yīng)變γ角的計算公式.由剪切胡克定律可知τ與γ成正比，比例系數(shù)即為材料的切變模量G.因此，可以用薄壁圓管扭轉(zhuǎn)實驗測量切應(yīng)變γ角和切應(yīng)力τ各自的具體值、可以檢驗剪切胡克定律的正確性、可以測量材料的切變模量G.如果再結(jié)合材料力學(xué)中拉伸實驗所測的彈性模量E、泊松比μ的值［13］，還可以檢驗參數(shù)G、E、μ三者之間的關(guān)系，即式（15）的正確性.

5 用薄壁圓管輔助證明切應(yīng)力互等定理

設(shè)某薄壁圓管兩端受到扭矩T作用，如圖1b 所示，沿1-1 截面假想截取長度為dx的圓環(huán)微段，放大后如圖2a 所示.再假想割取距觀察者最近的微體abcd，該微體割取前后受力平衡，如圖5所示（微體已放大）.微體左、右兩側(cè)面受到的切應(yīng)力τ大小由式（1）確定、方向則相反，切應(yīng)力乘以側(cè)面面積得切力，于是左、右兩側(cè)面的切力大小相等、方向相反，形成順時針力偶.為使微體受力平衡，頂面和底面必有反向切力形成逆時針力偶，設(shè)頂面和底面的切應(yīng)力為τ1，則有

圖5 切應(yīng)力互等定理

即

其中，dx，dy，δ分別表示微體的長度、寬度和厚度；dv表示微體體積，dv=dx·dy·δ.

式（16）即為切應(yīng)力互等定理表達式，即在微體互垂截面上，垂直于截面交線的切應(yīng)力大小相等，方向都指向或背離交線.圖5中微體左、右兩側(cè)面上的切應(yīng)力τ由式（1）確定；頂面和底面上的切應(yīng)力τ1是通過靜力學(xué)平衡理論求解得到.如果τ1不存在即τ1=0，則微體將不再受力平衡而必將加速運動，這與客觀現(xiàn)實不相符，因此τ1必然存在.對微體列靜力學(xué)平衡方程，求解得τ1=τ，從而得出切應(yīng)力互等定理.整個邏輯推理過程理順成章，很有說服力，易于被初學(xué)者接受.有些教材在完全忽略圖1b、圖2a情況下直接在緒論中利用圖5所示微體證明切應(yīng)力互等定理［7-8］，此做法可能不便于學(xué)生自主學(xué)習(xí).

6 小 結(jié)

1）以薄壁圓管的切應(yīng)力-變形量理論公式為基礎(chǔ)，把厚壁圓管和實心圓軸看作是由多個薄壁圓管套裝在一起，由此導(dǎo)出了厚壁圓管和實心圓軸的切應(yīng)力-變形量公式，結(jié)果與教材中基于楔形微體理論導(dǎo)出的公式相同.

2）厚壁圓管的切應(yīng)力-變形量公式也適用于薄壁圓管，而且計算精度更高.

3）對于當(dāng)前材料力學(xué)課程中的扭轉(zhuǎn)實驗，建議用薄壁圓管替代實心圓軸，或另外增加薄壁圓管扭轉(zhuǎn)實驗.這樣可以驗證剪切胡克定律的正確性，可以測量切應(yīng)力、切應(yīng)變及材料切變模量G.切應(yīng)變γ角是薄壁圓管母線在圓管受扭后所形成螺旋線的螺旋角.

4）建議用受扭薄壁圓管輔助證明切應(yīng)力互等定理，否則會讓證明過程中涉及到的微體成為無本之木、無源之水，初學(xué)者甚至?xí)岩蛇@種微體在工程實際中的客觀存在性.