摘?要：四足機(jī)械在運(yùn)動(dòng)采用三次樣條插值過(guò)程中足端與地面接觸的瞬間，會(huì)使機(jī)械發(fā)生一定量的震動(dòng)。為進(jìn)一步減輕這種震動(dòng)量提高穩(wěn)定性，本文采用串聯(lián)式仿蜘蛛機(jī)械腿，利用擺線方程進(jìn)行軌跡規(guī)劃、速度、加速度。在優(yōu)化擺線方程的基礎(chǔ)上，采用Matlab進(jìn)行設(shè)計(jì)仿真腿型，模擬串聯(lián)式機(jī)械腿在平穩(wěn)路面的軌跡，因而驗(yàn)證四足機(jī)械在采用優(yōu)化過(guò)的擺線方程軌跡，可以進(jìn)一步提高其穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：四足機(jī)械；三次樣條插值；軌跡規(guī)劃；串聯(lián)式機(jī)械腿

1?概述

本文研究“四足機(jī)器的單腿運(yùn)動(dòng)軌跡、速度與加速度仿真”，想法來(lái)源于國(guó)內(nèi)四足機(jī)器不斷發(fā)展，足態(tài)運(yùn)動(dòng)必須得到改善。本文研究目標(biāo)是四足仿生機(jī)器、昆蟲(chóng)節(jié)肢動(dòng)物式串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)械腿型，針對(duì)四足機(jī)器在前行、左右以及轉(zhuǎn)向時(shí)機(jī)械腿與機(jī)體發(fā)生的震動(dòng)現(xiàn)象。主要是進(jìn)行控制理論與仿真軟件的研究，為串聯(lián)式結(jié)構(gòu)提供穩(wěn)定、流暢、動(dòng)態(tài)平衡的控制方法，從而使四足機(jī)器應(yīng)用更加平穩(wěn)、高效。

1.1?研究背景及研究意義

四足機(jī)械是最早的仿生機(jī)械，其仿生對(duì)象以哺乳動(dòng)物與截肢昆蟲(chóng)為主，隨著電子領(lǐng)域、數(shù)學(xué)方法、機(jī)械控制、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域進(jìn)入高速發(fā)展，具有不同功能的機(jī)械層出不窮。作為世界頂流機(jī)器人研究公司Boston?Dynamics公司，主要代表作有BigDog、WildCat。他們的作品，可以完成相對(duì)速度較小的跑動(dòng)和簡(jiǎn)單的平衡能力。日本東京大學(xué)研發(fā)的四足機(jī)器PLGORAS，其最大特點(diǎn)可以通過(guò)模擬神經(jīng)系統(tǒng)自主移動(dòng)，不需要進(jìn)行動(dòng)作編程。基于以上情況，本文針對(duì)四足機(jī)器單足串聯(lián)式機(jī)械腿的軌跡規(guī)劃、速度、加速度進(jìn)行Matlab仿真實(shí)驗(yàn)研究，最終是為四足機(jī)器人提供可靠的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度與加速度的控制方法，從而為科研人員提供可靠的參考。

1.2?步態(tài)規(guī)劃與穩(wěn)定性研究現(xiàn)狀

足式機(jī)器人作為機(jī)器人的重要分支，具有較高的機(jī)動(dòng)性能，足部步態(tài)與軌跡控制得當(dāng)，可實(shí)現(xiàn)攀爬、奔跑、跳躍、越障等動(dòng)作，為提高性能、移動(dòng)速度、跳躍高度進(jìn)行各種研究。國(guó)內(nèi)研究中以各個(gè)高校最為活躍，其中主要研究單位有哈爾濱工業(yè)大學(xué)、清華大學(xué)，代表了我國(guó)四足機(jī)器研究的最高水平。其中“四足機(jī)器人全向運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法與穩(wěn)定性研究”［1］，其主要研究的是哺乳動(dòng)物的四足仿生機(jī)械結(jié)構(gòu)、液壓系統(tǒng)與傳感器組成的機(jī)械，提出了基于浮動(dòng)機(jī)體的運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，在不規(guī)則地形條件下全向運(yùn)動(dòng)規(guī)劃法。還有上海大學(xué)的王興興研制出一款A(yù)liengo機(jī)器人，該機(jī)器特點(diǎn)是首個(gè)國(guó)內(nèi)實(shí)現(xiàn)后空翻的四足機(jī)器人。從機(jī)器人演示視頻、發(fā)表論文與期刊等控制依舊與世界最頂尖的存在差距，這些差距主要存在于材料、控制。

2?四足單腿機(jī)械結(jié)構(gòu)

2.1?引言

四足機(jī)器人的單腿設(shè)計(jì)原理是仿生學(xué)原理，本文單腿運(yùn)動(dòng)建立在三自由度的腿部機(jī)械結(jié)構(gòu)，足部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化滿足基本運(yùn)動(dòng)需求即可，而腿部結(jié)構(gòu)根據(jù)具體需求進(jìn)行添加緩沖結(jié)構(gòu)優(yōu)化，以及不同的運(yùn)動(dòng)方式改動(dòng)機(jī)械結(jié)構(gòu)。

四足機(jī)器單腿采用串聯(lián)式其特點(diǎn)有以下方面：

特點(diǎn)1：可實(shí)現(xiàn)跨越矮小障礙物。

特點(diǎn)2：運(yùn)動(dòng)軌跡與地面形成非連續(xù)型離散點(diǎn)，雖有一定規(guī)律和可預(yù)測(cè)性，相對(duì)來(lái)說(shuō)，不需要連續(xù)接觸地面。

特點(diǎn)3：靈活性強(qiáng)，自由度多，繼而控制困難。

以上特點(diǎn)可以使足式機(jī)器人工作在復(fù)雜地形，例如山區(qū)和坑洼地帶。

2.2?四足機(jī)械按腿部分類

存在的腿部形式只有兩種，一種是串聯(lián)式類似于昆蟲(chóng)類型腿部機(jī)械結(jié)構(gòu)，串聯(lián)式昆蟲(chóng)腿部仿真機(jī)械類型，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示：

圖1?昆蟲(chóng)機(jī)械仿真腿簡(jiǎn)圖

另一種為并聯(lián)式機(jī)械結(jié)構(gòu)，兩種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是都是連桿與舵機(jī)組合，而串聯(lián)式、大腿連桿、小腿連桿、基部連接桿以及舵機(jī)組合，主要由三自由度到一自由度以下組合，自由度越高控制越困難，自由度越低控制越簡(jiǎn)單，本文主要研究以及仿真三自由運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。

3?四足單腿規(guī)劃研究

3.1?運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解單腿末點(diǎn)坐標(biāo)

針對(duì)單腿運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解就是已知初始足端點(diǎn)位置和三個(gè)轉(zhuǎn)角大小，求解足端點(diǎn)末位置。因此可以采用DH算法即可。

3.2?DH算法

使用DH方法在單腿建立坐標(biāo)系，相鄰關(guān)節(jié)的DH變換矩陣為：

Ai-1i=cθi－sθicαisθisαiaicθi

sθicθicαi－cθisαiaisθi

0sαicαidi

0001（1）

變換矩陣為（2）：

T03=A01A12A23=cθ1cθ2cθ3－cθ1sθ2sθ3－cθ1cθ2sθ3－cθ1sθ2cθ3－sθ1l1cθ1+l2cθ1cθ2+l3cθ1cθ2cθ3

sθ1cθ2cθ3－sθ1sθ2sθ3－sθ1cθ2sθ3－sθ1sθ2cθ3cθ1l1sθ1+l2sθ1cθ2+l3sθ1cθ2cθ3

－sθ2cθ3－cθ2sθ3sθ2sθ3－cθ2cθ30－l2sθ2－l3sθ2sθ3

0001（2）

足端點(diǎn)位置如下式所示（3）：

px

py

pz=l1cθ1+l2cθ1cθ2+l3cθ1cθ2cθ3

l1sθ1+l2sθ1cθ2+l3sθ1cθ2cθ3

－l2sθ2－l3sθ2sθ3（3）

3.3?逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，得到腿部足端點(diǎn)與各個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)系式，現(xiàn)對(duì)左右兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，就可以得到速度與關(guān)節(jié)角速度的關(guān)系（4）：

x·=j（q）q·（4）

單腿具有三自由度，即三個(gè)舵機(jī)，其雅可比矩陣是6×3階矩陣，前三行代表足端線速度的傳送比，后三行代表足端角速度的傳送比。

j（q）=－sθ1（l3cθ2cθ3+l2cθ2+l1）cθ1（－l3sθ2sθ3－l2sθ2）－l3cθ1sθ2sθ3

cθ1（l3cθ2cθ3+l2cθ2+l1）sθ1（－l3sθ2sθ3－l2sθ2）－l3sθ1sθ2sθ3

0－l3cθ2cθ3－l2cθ2－l3cθ2cθ3（5）

3.4?單腿擺線軌跡規(guī)劃

單腿的運(yùn)動(dòng)軌跡采用擺線的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行初步規(guī)劃，其函數(shù)如式（6）所示：曲線如圖2所示：

x=r（t－sint）

y=r（1－cost）（6）

根據(jù)擺線軌跡公式，與時(shí)間的計(jì)算方式可以將曲線化成多個(gè)點(diǎn)，即通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)的運(yùn)算方式可以推導(dǎo)出連桿之間的轉(zhuǎn)角，繼而可以使單腿的運(yùn)動(dòng)形成相似的軌跡。

圖2?擺線圖

為達(dá)到類似于擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)有X方向與y方向位置有一定的要求，即式（7）與式（8）所示：

x|t=0=0

x|t=T2=S

x|t=T=0??（7）????y|t=0=0

y|t=T/2=H

y=0?T/2

T（8）

基于式（6）～式（8）所示一個(gè)周期內(nèi)完成從零到S的x距離的動(dòng)作只需要半個(gè)周期，剩下半個(gè)周期返回到零的位置，因此對(duì)其半個(gè)周期進(jìn)行軌跡研究，從而推導(dǎo)出復(fù)合擺線，修改后的擺線方程公式為：

x=s［t/Tm－sin（2πt/Tm）/2π］

y=H［1/2－cos（2πt/Tm）/2］（9）

其中s為步長(zhǎng)，H為抬足高，Tm為擺動(dòng)周期的T/2。

3.5?速度與加速度的計(jì)算

對(duì)與單腿運(yùn)動(dòng)速度的計(jì)算只需將式（9）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到公式為：

dx=s（1－cos（2πt/Tm））/Tm

dy=Hπsin（2πt/Tm）/Tm（10）

在得到的速度公式（10）后對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)得到加速度公式為：

dx¨=2πssin（2πt/Tm）/T2m

dy¨=2π2cos（2πt/Tm）/T2m（11）

我們可以觀察位置、速度、加速度的時(shí)間圖：y方向的加速度在t=0時(shí)刻與t=Tm時(shí)會(huì)發(fā)生加速的階躍變化，根據(jù)牛頓定律F=ma，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)與落地時(shí)力會(huì)發(fā)生突變，因此需要對(duì)y方向的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化。

圖3?位置、速度、加速度

3.6?y方向的速度與加速度優(yōu)化計(jì)算

最好的加速度圖像是正弦函數(shù)圖即式（12）所示：

dy¨=Asin（nπt/Tm）（12）

對(duì)其進(jìn)行積分得到函數(shù)公式（13）：

dy=（ATm（－cos（nπt/Tm））/nπ）+C1（13）

對(duì)其擺線對(duì)速度約束如式（14）所示：

dy|t=0=0

dy|t=T/2=0

dy=0?T/2

T（14）

求得常數(shù)項(xiàng)C1=ATm/nπ。

對(duì)速度函數(shù)進(jìn)行積分求得位移函數(shù)為式（15）所示：

y=（ATm［t－Tmsin（nπt/Tm）/nπ］/nπ）+C2（15）

根據(jù)擺線位置、速度、加速度無(wú)法確定A與C2，因此采用分段函數(shù)與式（8）即可得到曲線如式（16）所示：

y=2H［（t/Tm）－sin（nπt/Tm）］0

Tm/2

2H［1－（t/Tm）+sin（nπt/Tm）/nπ］Tm/2

Tm（16）

n值根據(jù)圖4所示，n取4最為合適。

3.7?采用Matlab進(jìn)行仿真測(cè)試

已知軌跡，對(duì)其位置、速度與加速進(jìn)行Matlab仿真可得到如下所示：DH參數(shù)設(shè)置為：

初始點(diǎn)位置根據(jù)三個(gè)軸角設(shè)定為：-90°、0°、0°。則初始點(diǎn)位置為：0，-57，0;末端點(diǎn)位置設(shè)置為：-40，-56，0。

曲線紅色代表運(yùn)動(dòng)軌跡

4?結(jié)論與展望

4.1?結(jié)論

采用正運(yùn)動(dòng)學(xué)、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)與機(jī)械臂相關(guān)知識(shí)，得到初始足端點(diǎn)到達(dá)已定的位置時(shí)，各個(gè)舵機(jī)轉(zhuǎn)角可計(jì)算出一定的參數(shù)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。運(yùn)動(dòng)軌跡方程選擇復(fù)合擺線方程、速度和加速度進(jìn)行優(yōu)化后實(shí)現(xiàn)沖擊小、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、軌跡光滑的軌跡曲線，使其能夠恰當(dāng)?shù)嘏c四足機(jī)器的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而采用Matlab進(jìn)行仿真。

4.2?展望與不足

本文串聯(lián)的足軌跡局限于平地與斜面，對(duì)于復(fù)雜地形需要感知系統(tǒng)，從而在進(jìn)行實(shí)時(shí)規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡，足抬高以及步長(zhǎng)的實(shí)時(shí)設(shè)定，足抬高步長(zhǎng)改動(dòng)后，速度、加速度都有所改變。運(yùn)動(dòng)仿真過(guò)程中采用Matlab仿真沒(méi)有具體的參考真實(shí)的數(shù)據(jù)，控制參數(shù)都是在模擬情況下進(jìn)行的，缺乏真實(shí)情況以及實(shí)驗(yàn)參數(shù)。仿真出來(lái)的數(shù)據(jù)以及軌跡未能在四足機(jī)器真實(shí)應(yīng)用，缺少驗(yàn)證，復(fù)雜地面單足軌跡規(guī)劃將成為后續(xù)研究?jī)?nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：翟雨（1997—?），男，漢族，陜西咸陽(yáng)人，碩士，研究方向：機(jī)械。