一道奧賽不等式試題再探究

江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校 (225500) 陳 宇

題目(2021年塞浦路斯奧賽不等式試題)設(shè)x,y,z>0且滿足x2+y2+z2=3,求證:xyz(x+y+z)+2021≥2024xyz①.

筆者發(fā)現(xiàn),該不等式還可進(jìn)一步推廣,同時存在上界.

推廣1 設(shè)x,y,z>0且滿足x2+y2+z2=3,當(dāng)k>0,求證:(`k+3)xyz≤xyz(x+y+z)+k≤k+3 ③.

由(1),(2)可知,當(dāng)k>0時,不等式④成立.進(jìn)而不等式③,即推廣1成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時,兩邊同取“=”).

當(dāng)k=2021時,不等式③即為原賽題,故不等式①,同樣存在上界,即

2024xyz≤xyz(x+y+z)+2021≤2024.

由(3),(4)可知,k>0時,不等式⑥成立.進(jìn)而不等式⑤左邊成立.

即推廣2成立.(當(dāng)且僅當(dāng)xi=xi+1=1時,兩邊同取“=”,xn+1=x1.下同).

當(dāng)m=n,λi=1時,不等式⑦即為不等式⑤.

上述推廣(推論)由特殊到一般逐層推進(jìn),符合認(rèn)知一般規(guī)律.其證明主要運(yùn)用分析法,適當(dāng)放縮,分類及排除等數(shù)學(xué)方法;依據(jù)柯西不等式,均值不等式,指數(shù)函數(shù)單調(diào)性,及求解一元二次不等式等知識,從整體入手,進(jìn)行證明.