基于空間受力性能最優(yōu)化的箱梁帶斜梁空間剛架模型*

宋泰宇 鄭信光 孫旭霞 白志娟

(1.同濟(jì)大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院(集團(tuán))有限公司, 上海 200092; 2.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院, 上海 200092)

0 引 言

混凝土箱梁橋廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外橋梁建設(shè)中,在混凝土箱梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和分析中,目前一般采用有限元模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,常用的有限元模型(表1)主要包括:1)6自由度梁?jiǎn)卧Ｐ?工程中一般稱為“單梁模型”,單梁模型在截面的豎向、橫向均不離散化,因此模型無法考慮箱梁的空間效應(yīng),工程設(shè)計(jì)中一般通過橫向分布系數(shù)、剪力滯系數(shù)等放大系數(shù)將由箱梁空間效應(yīng)帶來的受力不均勻性“包絡(luò)住”[1];2)實(shí)體(或板殼)模型,實(shí)體模型中結(jié)構(gòu)在縱、豎、橫三個(gè)正交方向上均離散化,因此可以完全不受平截面假定的限制,自動(dòng)反映結(jié)構(gòu)所有空間效應(yīng),模型計(jì)算結(jié)果中同時(shí)包含整體效應(yīng)和局部效應(yīng),但由于實(shí)體模型的計(jì)算結(jié)果難以直接交付到構(gòu)件設(shè)計(jì)層面,因此目前工程中多用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的局部受力分析;3)以單梁模型和實(shí)體模型作為上、下界,介于二者之間的其他類型有限元模型的復(fù)雜程度和計(jì)算精度也相應(yīng)地介于單梁和實(shí)體模型之間。例如:梁格模型沿截面橫向有離散化,因此可以考慮箱梁各腹板受力不均勻和剪力滯效應(yīng),但由于梁格模型沿截面豎向沒有離散化,即箱梁頂、底板沒有分離,因此不能準(zhǔn)確考慮箱梁的薄壁效應(yīng),梁格模型本質(zhì)上可以視為橫向分片的單梁模型[2]。

表1 箱梁結(jié)構(gòu)數(shù)值分析常用有限元模型對(duì)比Table 1 Comparison between different FEA models commonly used for analyzing box-section girders

混凝土箱梁(不論單箱或多箱)結(jié)構(gòu)上一般由腹板、頂板、底板組成,如圖1所示,箱梁板厚方向的尺寸一般遠(yuǎn)小于其在縱橋向、橫橋向的尺寸,因此屬于典型的板殼結(jié)構(gòu),要準(zhǔn)確且高效地模擬混凝土箱梁,最為直接、有效的途徑是將箱梁離散為平板單元,進(jìn)而采用板殼模型進(jìn)行有限元模擬和分析[3];而另一方面,為了與現(xiàn)行的混凝土箱梁配筋設(shè)計(jì)規(guī)范相聯(lián)系,工程設(shè)計(jì)用模型一般仍限于基于桿系單元(桿單元或梁?jiǎn)卧?的有限元模型。

圖1 典型的混凝土箱梁結(jié)構(gòu)Fig.1 A typical concrete box-section girder

鑒于上述這兩方面,不同學(xué)者提出了由平板等效而來的桿系單元模型,典型的有兩種:平面桁架模型[4-10]和空間剛架模型[11-14],如圖2所示。平面桁架模型(圖2a)是將平板單元用鉸接的3自由度桿單元進(jìn)行等效,模型中的桿單元只能承受軸力(二力桿),節(jié)點(diǎn)無面外自由度,因此平面桁架模型適用于平面結(jié)構(gòu)分析,部分學(xué)者還將平面桁架模型進(jìn)一步拓展到非線性分析領(lǐng)域[8-10];空間剛架模型(圖2b)是將平板單元用剛接的正交6自由度梁?jiǎn)卧M(jìn)行等效,由于空間剛架模型對(duì)箱梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了三維離散化,且模型中正交梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)具有承受面外彎矩的自由度,因此空間剛架模型可以反映結(jié)構(gòu)空間效應(yīng)。

a—平面桁架模型; b—空間剛架模型。圖2 兩種由平板等效而來的桿系模型示意Fig.2 Two beam or truss element models used to simulate plate

文章旨在建立一個(gè)以平板為結(jié)構(gòu)基本組成單元的等效數(shù)值分析模型,可以準(zhǔn)確且高效地對(duì)混凝土箱梁進(jìn)行精細(xì)化數(shù)值分析,具體來說,建立的模型需要能夠考慮箱梁的空間效應(yīng),準(zhǔn)確反映箱梁各板件的面內(nèi)、面外效應(yīng),特別是準(zhǔn)確模擬板件的面內(nèi)剪切性能,這要求建立的模型同時(shí)滿足兩個(gè)條件:1)在箱梁橫截面的豎向和橫向上均須離散化;2)模型基本組成單位須是桿系單元,以方便解決預(yù)應(yīng)力、車道荷載施加以及內(nèi)力提取等橋梁模型的典型前后處理問題。

為了同時(shí)滿足上述要求,結(jié)合平面桁架模型和空間剛架模型的優(yōu)點(diǎn),提出了一種新型的帶斜梁空間剛架模型,如圖3所示,提出的新模型在空間剛架模型的基礎(chǔ)上增設(shè)了沿斜向布置的梁?jiǎn)卧?該帶斜梁空間剛架模型中,正交縱橫梁和斜向梁均為6自由度梁?jiǎn)卧?節(jié)點(diǎn)可承受面外彎矩,因此該模型可用于三維結(jié)構(gòu)的空間分析;同時(shí),斜梁參與結(jié)構(gòu)的整體剪、扭受力,直接提供(補(bǔ)充)了平板的面內(nèi)剪切剛度,斜梁的分析結(jié)果可直接反映出受剪板件在主應(yīng)力方向的受力性能,進(jìn)而可以準(zhǔn)確、高效地判斷和分析混凝土箱梁各板面上由主拉應(yīng)力引發(fā)的斜裂縫。

圖3 提出的帶斜梁空間剛架模型示意Fig.3 Proposed spatial grid model with diagonal beam elements

1 帶斜梁空間剛架模型的建立

1.1 模型建立轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題

與平面桁架模型和空間剛架模型類似的,提出的帶斜梁空間剛架模型中各桿件的參數(shù)也須通過和平板單元建立剛度等效關(guān)系來確定。對(duì)于平面桁架模型,其各桿件的唯一參數(shù),即軸向剛度可通過面內(nèi)剛度等效原則[4-5]或能量法[6-7]確定;對(duì)于空間剛架模型,其中正交的梁?jiǎn)卧孛鏋槠桨鍐卧慕孛鎇11-12],因而模型的面內(nèi)軸向剛度和面外抗彎剛度與平板自動(dòng)等效,分析可得其面內(nèi)剪切剛度與平板剪切剛度的比值恰為1+μ(μ為結(jié)構(gòu)材料的泊松比)。但是與上述兩個(gè)已有等效模型不同的是,對(duì)于帶斜梁空間剛架模型來說,由于斜梁和正交縱橫梁之間相互影響,節(jié)點(diǎn)力(或力矩)在交叉節(jié)點(diǎn)處按剛度分配,使得帶斜梁空間剛架模型中各桿件的受力狀態(tài)較為復(fù)雜,難以采用應(yīng)變能守恒等理論方法推導(dǎo)得到各桿件參數(shù)的顯示表達(dá)式,因此只能通過規(guī)劃方法給出該模型中桿件參數(shù)的最優(yōu)值。

如圖1和圖3所示,箱梁結(jié)構(gòu)可以分解為若干平板,即平板單元可視為箱梁的基本組成單位。箱梁結(jié)構(gòu)在各類橋梁靜力外荷載作用下,平板單元的受力狀態(tài)可以視為面內(nèi)軸壓、面內(nèi)純剪、面外純彎這三種基本荷載作用形式的不同組合,因此文中箱梁等效模型的建立可以轉(zhuǎn)化為平板單元在這三種基本荷載作用下的剛度等效問題。

a—面內(nèi)軸壓作用; b—面內(nèi)純剪作用; c—面外純彎作用。圖4 三種基本荷載作用下的正方形平板單元Fig.4 Square plate elements under three basic types of loads

(1c)

式中:目標(biāo)函數(shù)xc、xs、xb分別為軸壓、純剪、純彎下帶斜梁空間剛架模型與平板變形量的相對(duì)誤差。由式(1)可以看出,該最優(yōu)化問題含有3個(gè)目標(biāo)函數(shù)和2個(gè)參數(shù)變量(hvh、hdia),即為多參數(shù)、多目標(biāo)值最優(yōu)化問題。若3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的絕對(duì)值均可取到零時(shí),說明對(duì)應(yīng)的參數(shù)為該問題的最優(yōu)解;若3個(gè)目標(biāo)函數(shù)絕對(duì)值不能均取到零時(shí),說明該問題不存在最優(yōu)解,只存在條件最優(yōu)解[15]。當(dāng)只存在條件最優(yōu)解時(shí),可設(shè)置一個(gè)大于零的容許誤差值(Error),使目標(biāo)函數(shù)xc、xs和xb的絕對(duì)值均小于該Error值,顯然,設(shè)置的Error值越接近零,對(duì)應(yīng)的條件最優(yōu)解也就越優(yōu)秀。

1.2 多目標(biāo)值、多參數(shù)最優(yōu)化問題求解

為了求解上述多目標(biāo)值、多參數(shù)最優(yōu)化問題,以圖4所示的正方形平板為例,平板邊長l=1.0 m,板厚t=0.025 m,平板的材料彈性模量E=3.45×107kN/m2,泊松比μ=0.2。平板分別受面內(nèi)均布軸壓作用(每一邊上軸壓合力N=2.5×103kN)、面內(nèi)均布純剪作用(每一邊上剪力合力V=2.5×103kN)和面外均布純彎作用(每一邊上彎矩合力M=2.0 kN·m)。根據(jù)上述給定參數(shù)值,可計(jì)算得平板在這三種基本荷載作用下的理論變形值Δc、Δs和Δb分別為[16-17]:

(2a)

(2b)

(2c)

A=lt

式中:G為平板的剪切剛度;A為均布軸壓和剪切荷載作用面面積;D為(薄)板的抗彎剛度[17-18]。

圖5 模型參數(shù)最優(yōu)化求解流程Fig.5 Flowchart of optimization of parameters in the model

圖6 平板轉(zhuǎn)化為8×8帶斜梁空間剛架模型示意Fig.6 Translation from a plate to the 8×8 spatial grid model with diagonal beam elements

圖7為在三種基本荷載作用(面內(nèi)軸壓、面內(nèi)純剪、面外純彎)下,帶斜梁空間剛架模型程序計(jì)算的變形值與對(duì)應(yīng)理論值的相對(duì)誤差(即式(1)中目標(biāo)函數(shù)xc、xs、xb)隨模型參數(shù)(hvh、hdia)的變化曲面,另外,各圖中還給出了目標(biāo)函數(shù)xc、xs、xb的絕對(duì)值小于0.1的對(duì)應(yīng)參數(shù)位置,用黑色×標(biāo)志示出。由圖中可以看出,在三種基本荷載作用下,隨著參數(shù)(hvh、hdia)的減小,帶斜梁空間剛架模型的結(jié)構(gòu)剛度逐漸下降,對(duì)應(yīng)的變形值逐漸增大,因此模型計(jì)算值和理論值的相對(duì)誤差由小于零逐漸過渡為大于零,形成了三個(gè)穿越了參考面(x=0)的變化曲面,這表明在三種基本荷載下,均存在目標(biāo)函數(shù)絕對(duì)值小于0.1的參數(shù),也說明兩個(gè)參數(shù)設(shè)定的可行域是合理的。另外,對(duì)比各圖還可以看出,在斜向梁的梁高(hdia)逐漸減小過程中,純剪作用下模型計(jì)算變形值的增大速度明顯大于另外兩種基本荷載形式,說明斜梁在帶斜梁空間剛架模型中對(duì)抗剪剛度的貢獻(xiàn)明顯大于其對(duì)抗壓、抗彎剛度的貢獻(xiàn),這與力學(xué)判斷的結(jié)果也是相符的。

a—面內(nèi)均布軸壓作用(圖4a); b—面內(nèi)均布純剪作用(圖4b); c—面外均布純彎作用(圖4c)。圖7b中只示出了x<10的部分。圖7 三種基本荷載作用下目標(biāo)函數(shù)隨參數(shù)的變化Fig.7 Variations of objective functions with different parameters under three basic types of loads

將圖7中三種基本荷載作用對(duì)應(yīng)的3個(gè)目標(biāo)函數(shù)xc、xs、xb絕對(duì)值均小于0.1的參數(shù)點(diǎn)同時(shí)疊置于同一平面上,如圖8a所示,其中,×標(biāo)記(黑色)、o標(biāo)記(紅色)和+標(biāo)記(藍(lán)色)分別對(duì)應(yīng)面內(nèi)軸壓、面內(nèi)純剪和面外彎曲作用下的參數(shù)點(diǎn),那么可知,這三類標(biāo)志的重合點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值即為式(1)滿足容許誤差Error=0.1時(shí)的條件最優(yōu)解。由圖8a可以看出,三種基本荷載作用下存在重合點(diǎn)且不唯一,說明式(1)存在多個(gè)對(duì)應(yīng)Error=0.1的條件最優(yōu)解。為了找到更為優(yōu)秀的條件最優(yōu)解,將容許誤差Error以0.5%為一級(jí)逐級(jí)下調(diào),由圖8b可以看出,當(dāng)Error=0.065時(shí),式(1)存在唯一條件最優(yōu)解,對(duì)應(yīng)參數(shù)值為hvh=102.50 mm、hdia=31.875 mm;由圖8c可知,當(dāng)Error=0.060時(shí),無重合點(diǎn),說明式(1)已不存在條件最優(yōu)解。

a—Error=0.1; b—Error=0.065; c—Error=0.060; d—Error=0.01。圖8 不同允許誤差(Error)下三種基本荷載作用對(duì)應(yīng)的條件最優(yōu)解Fig.8 Conditional optimal solutions corresponding to three basic types of loads under different allowable errors

綜上所述,可以確定hvh=102.50 mm、hdia=31.875 mm為文中最優(yōu)化問題,即式(1)的最佳條件最優(yōu)解,對(duì)應(yīng)的Error=0.065,說明采用該參數(shù)值建立的帶斜梁空間剛架模型在三類基本荷載作用下計(jì)算變形值與理論值的相對(duì)誤差均在±6.5%以內(nèi)。

下面給出不失一般性的帶斜梁空間剛架模型的建立方法,首先將分析結(jié)構(gòu)拆散為任意多個(gè)正方形平板的組合,對(duì)于任意邊長為l和板厚為t的正方形平板(t/l應(yīng)不大于1/10),在將平板單元等效轉(zhuǎn)化為n(縱梁)×n(橫梁)的帶斜梁空間剛架模型時(shí),正交縱橫梁和斜向梁的梁寬b均取平板的實(shí)際板厚,即b=t;正交縱橫梁的梁高h(yuǎn)vh取102.50/125=0.82倍的縱橫梁實(shí)際截面寬度,即hvh=0.82·l/n;斜向梁梁高h(yuǎn)dia取31.875/125=0.255倍的縱橫梁實(shí)際截面寬度,即hdia=0.255·l/n。

2 帶斜梁空間剛架模型的示例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述提出的基于空間受力性能最優(yōu)化的帶斜梁空間剛架模型的準(zhǔn)確性和適用性,采用下面兩個(gè)典型結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算和分析作為示例驗(yàn)證。

2.1 自由端受集中力的懸臂梁

本示例采用圖9所示的矩形截面懸臂梁,懸臂梁一端固接、一端自由,自由端受一集中力P作用,梁高為10 mm,梁寬為1 mm。計(jì)算兩種情況下自由端的撓度:1)梁長L=100 mm,P=10 N;2)L=20 mm,P=103N。懸臂梁的彈性模量E=3.45×107kN/m2,泊松比μ=0.2。

圖9 自由端受集中力的懸臂梁 mmFig.9 Cantilever beam subjected to a concentrated load at the free edge

分別采用材料力學(xué)(分為不計(jì)剪切變形和計(jì)入剪切變形)[16]、實(shí)體有限元模型以及本文提出的帶斜梁空間剛架模型四種方法進(jìn)行計(jì)算。其中,實(shí)體有限元模型中,單元特征尺寸取1 mm,帶斜梁空間剛架模型中,縱橫梁網(wǎng)格尺寸取2.5 mm,則hvh=0.82×2.5=2.05 mm,hdia=0.255×2.5=0.637 5 mm。

帶斜梁空間剛架模型計(jì)算得的懸臂梁(L=20 mm)變形如圖10所示,四種方法計(jì)算得的懸臂梁自由端截面形心處豎向撓度如表2所示。以計(jì)入剪切變形的材料力學(xué)的計(jì)算結(jié)果(同彈性力學(xué)結(jié)果)作為標(biāo)準(zhǔn)值,對(duì)比可以看出,不計(jì)剪切變形的材料力學(xué)方法計(jì)算結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)值偏小,且偏差隨梁長的減小而增大,這是因?yàn)榱洪L縮短后剪切變形占總變形的比例增大,梁長L=20 mm時(shí),剪切變形占比達(dá)到了15%。實(shí)體模型不論梁長的大小,其結(jié)果均與標(biāo)準(zhǔn)值非常接近,實(shí)體模型不受平截面假定的限制,可以考慮剪切變形的影響。帶斜梁空間剛架模型的計(jì)算結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)值略偏大,主要是由于上述基于三種基本荷載下變形得到的最優(yōu)化參數(shù)解在軸壓和純彎下剛度略偏小,從而導(dǎo)致模擬的懸臂梁在彎曲作用下整體剛度偏小、變形偏大,可以看出,當(dāng)梁長縮短后,由于剪切變形占比增加,帶斜梁空間剛架模型的相對(duì)偏差隨之減小,L在20 mm到100 mm范圍內(nèi)變化時(shí),帶斜梁空間剛架模型的相對(duì)偏差應(yīng)在5%到8%之間,這與上述的條件最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的允許誤差6.5%相對(duì)應(yīng)。

圖10 懸臂梁(L=20 mm)帶斜梁空間剛架模型計(jì)算的豎向撓度 mmFig.10 Deflections calculated from the spatial grid model with diagonal beam elements for the cantilever beam (L=20 mm)

表2 懸臂梁自由端截面形心處豎向撓度對(duì)比Table 2 Comparison of the deflections at the free edge of cantilever beam mm

2.2 受均布荷載作用的簡(jiǎn)支箱梁

示例采用圖11所示的箱形截面簡(jiǎn)支梁,簡(jiǎn)支箱梁在全梁長受均布荷載q,梁高162 mm,箱梁的頂、底板板厚12 mm,腹板厚20 mm。計(jì)算兩種情況下跨中截面的撓度:1)梁長L=3 000 mm,q=10 N/mm;2)梁長L=1 500 mm,q=100 N/mm。簡(jiǎn)支箱梁的彈性模量E=3.45×107kN/m2,泊松比μ=0.2。

圖11 受均布荷載的簡(jiǎn)支箱梁 mmFig.11 Simply supported box-section girder subjected to uniform loads

同樣采用材料力學(xué)(分為不計(jì)剪切變形和計(jì)入剪切變形)[16]、實(shí)體有限元模型以及本文提出的帶斜梁空間剛架模型四種方法進(jìn)行計(jì)算。其中,實(shí)體有限元模型中,單元特征尺寸為10 mm,帶斜梁空間剛架模型中,縱橫梁網(wǎng)格尺寸選取為50 mm,則hvh=0.82×50=41 mm,hdia=0.255×50=12.75 mm。簡(jiǎn)支箱梁(L=1 500 mm)對(duì)應(yīng)的帶斜梁空間剛架模型如圖12所示。

圖12 簡(jiǎn)支箱梁(L=1 500 mm)對(duì)應(yīng)的帶斜梁空間剛架模型Fig.12 Spatial grid model with diagonal beam elements for the simply supported box-section girder (L=1 500 mm)

各方法計(jì)算得到的簡(jiǎn)支箱梁跨中截面腹板處豎向撓度如表3所示。同樣以計(jì)入剪切變形的材料力學(xué)計(jì)算結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)值,對(duì)比可以看出:不計(jì)剪切變形的材料力學(xué)方法給出的結(jié)果與上示例的規(guī)律一致,當(dāng)梁長L縮短到1 500 mm時(shí),剪切變形占比上升到15%。實(shí)體有限元模型在L=3 000 mm時(shí),其計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值基本一致,而當(dāng)L縮短到1 500 mm時(shí),實(shí)體模型計(jì)算的撓度較標(biāo)準(zhǔn)值偏大約12%,其原因主要是:實(shí)體模型支座處的約束是梁底邊緣上的線約束,因此存在應(yīng)力集中,支承附近局部存在變形較大的畸形單元,且由于梁長較短,導(dǎo)致該部分局部變形占總變形的比例較大。當(dāng)將實(shí)體模型支承處加入剛性墊板(實(shí)體有限元模型*)時(shí),支承附近的應(yīng)力集中效應(yīng)顯著減弱,該實(shí)體模型的計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值較為接近。

表3 簡(jiǎn)支箱梁跨中截面腹板處豎向撓度對(duì)比Table 3 Comparison of deflections at the midspan section of simply supported box-section girder mm

與上示例相同的,帶斜梁空間剛架模型的計(jì)算結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)值略偏大,相對(duì)偏差應(yīng)在6%到8%之間。另外還需指出的是,受豎向均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁內(nèi)存在豎向正應(yīng)力,豎向正應(yīng)力隨梁長縮短而逐漸顯著,當(dāng)梁長縮短到深梁范疇時(shí),豎向正應(yīng)力可達(dá)到與縱向正應(yīng)力(彎曲應(yīng)力)同一數(shù)量級(jí)[17-18]。材料力學(xué)方法(計(jì)入或不計(jì)入剪切變形)無法考慮由豎向正應(yīng)力引起的變形,而帶斜梁空間剛架模型和實(shí)體模型可以考慮,因此二者的豎向撓度中實(shí)際上還包含了豎向正應(yīng)力對(duì)變形的影響,但鑒于該部分引起的變形量遠(yuǎn)小于彎曲效應(yīng)引起的變形量,因此本示例中仍以材料力學(xué)(計(jì)入剪切變形)方法的計(jì)算結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)值。

3 結(jié) 論

1)基于空間受力性能最優(yōu)化,建立一種新型的帶斜梁空間剛架模型,可用于箱梁等板殼類型空間結(jié)構(gòu)的模擬和分析。

2)針對(duì)提出的帶斜梁空間剛架模型,采用懸臂矩形梁和簡(jiǎn)支箱梁進(jìn)行了示例驗(yàn)證,驗(yàn)證結(jié)果表明帶斜梁空間剛架模型計(jì)算結(jié)果與理論結(jié)果基本吻合。

3)建議帶斜梁空間剛架模型采用較為密集的縱橫梁網(wǎng)格密度。

4)需要指出的是,本文提出的模型等效方法對(duì)于平板單元的長寬比具有一定局限性。