擁擠城市軌道交通線路列車時刻表與常態(tài)限流協(xié)同優(yōu)化研究

張星瑤

摘 要：針對城市軌道交通線路高峰時段客流壓力大、站內(nèi)過度擁擠等問題，文章從系統(tǒng)優(yōu)化的角度出發(fā)，將運輸服務(wù)供給與客流需求控制作為一個整體進行研究。首先，引入了列車時刻表變量與限流變量，以乘客等待總時間最小化為目標函數(shù)，以列車時刻表約束、乘客進站約束及上下車約束為條件，建立了列車時刻表與常態(tài)限流協(xié)同優(yōu)化模型。該模型動態(tài)刻畫了列車運行過程、車站限流過程和乘客與列車的交互過程，并運用0-1變量累計流的思想，詳細描述了乘客排隊進站及上車的過程，深刻貫徹了“先到先服務(wù)”的原則。通過采用CPLEX軟件編程求解，算例結(jié)果驗證了該模型的有效性——與列車時刻表或限流的單目標優(yōu)化相比，兩者協(xié)同優(yōu)化在減少乘客總等待時間方面具有明顯作用。其中，兩者協(xié)同優(yōu)化相較于僅考慮時刻表優(yōu)化，使乘客總等待時間減少了19.99%；相較于僅考慮限流優(yōu)化，使乘客總等待時間減少了16.66%。

關(guān)鍵詞：城市軌道交通；列車時刻表；限流；協(xié)同優(yōu)化

中圖分類號：F572；U231.29文獻標志碼：ADOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.10.024

Abstract： In response to the problems of high passenger flow pressure and overcrowding in urban rail transit during peak hours， this paper studies the control of transportation service supply and passenger flow demand as a whole from the perspective of system optimization. Firstly， the train schedule variables and flow limiting variables are introduced， with the objective function of minimizing the total waiting time of passengers. The train schedule constraints， passenger entry constraints， and boarding and alighting constraints are used as conditions to establish a collaborative optimization model for train schedules and normal flow limiting. This model dynamically depicts the train operation process， station flow restriction process， and passenger train interaction process， and adopts the idea of 0-1 variable cumulative flow to describe in detail the process of passengers queuing to enter and board the station， deeply implementing the principle of "first come， first served". By using CPLEX software programming to solve the problem， the effectiveness of the model is verified by the results of numerical examples; compared to single objective optimization of train schedules or flow limiting， the collaborative optimization of the two has a significant effect on reducing the total waiting time of passengers. Among them， compared to only considering timetable optimization， the total waiting time of passengers has been reduced by 19.99%. Compared to only considering flow restriction optimization， the total waiting time of passengers has been reduced by 16.66%.

Key words： ?urban rail transit; train timetable; passenger flow control; collaborative optimization

1 ? ?研究背景

近年來，隨著城市化進程的加快，城市人口不斷增加，乘客出行需求增長迅猛。在客流高峰時段，部分城市軌道交通線路的客流需求巨大，運輸服務(wù)供不應(yīng)求，形成了嚴重的客流擁塞，給乘客的人身安全和車站的正常運營帶來了巨大的威脅。

當(dāng)前，我國主要從供需兩個方面進行考慮，采取調(diào)整列車運行計劃和常態(tài)限流兩項措施來緩解高峰時段客流擁堵問題。在調(diào)整運輸供給方面，國內(nèi)外學(xué)者主要通過以客流需求為導(dǎo)向設(shè)計面向服務(wù)的列車時刻表，以滿足動態(tài)變化的客流需求。如?；菝竦萚1]考慮了乘客等待時間最小化，而Yin等考慮了以列車牽引能耗最小化為目標的面向服務(wù)列車時刻表優(yōu)化。

在調(diào)整運輸需求方面，政府主要采取限流的措施控制進站的客流量，以緩解站內(nèi)擁擠。從實施常態(tài)限流的車站數(shù)量與關(guān)系的角度出發(fā)，常態(tài)限流可劃分為車站限流、線路限流和路網(wǎng)限流。在研究車站級別的常態(tài)限流策略時，主要通過評估車站的擁塞狀態(tài)，觀察其是否達到限流的標準，從而對單個或多個不相關(guān)的車站進行限流。例如，禹丹丹等[2]通過視頻標識獲取擁擠車站關(guān)鍵區(qū)域客流密度，以判斷車站擁塞狀態(tài)；豆飛等[3]根據(jù)各類車站設(shè)施設(shè)備內(nèi)乘客聚集程度，提出了限流觸發(fā)判別方法。在研究線路級別的常態(tài)限流策略時，主要通過建立數(shù)學(xué)模型研究多站協(xié)同限流，從而求解最優(yōu)的限流措施。例如，趙鵬等[4]以乘客總等待時間最少和乘客周轉(zhuǎn)量最大為優(yōu)化目標，馬羽等[5]通過考慮各站乘客、各OD客流之間的公平性和均衡性建立了線路層車站間與時段間協(xié)同限流模型。在研究路網(wǎng)級別的常態(tài)限流策略時，權(quán)經(jīng)超[6]采用客流“溯源”的思想分析擁擠車站，以解決客流擁堵問題；謝麗平[7]以路網(wǎng)上車人數(shù)最大化和乘客總延誤時間最小化為目標、郇寧等[8]以列車平均運能利用率最大化和站臺乘客滯留比差異最小化為目標建立了多站協(xié)同限流模型。

相較于對列車時刻表和限流進行單目標優(yōu)化，當(dāng)前的研究將兩者緊密結(jié)合，協(xié)同優(yōu)化趨勢日益明顯，效果也更為突出。例如，李佳杰[9]構(gòu)建了換乘站站外限流與列車時刻表協(xié)同優(yōu)化模型；孟凡婷[10]等以提高列車運行效率、減少客流乘車延誤人數(shù)為優(yōu)化目標，建立了考慮跳停策略的列車運行圖與車站限流協(xié)同優(yōu)化模型；Shi等以最小化乘客等待總時間為目標建立了列車時刻表與精確限流協(xié)同優(yōu)化模型，該模型考慮在同一車站根據(jù)不同的OD分開限流。

通過上述分析，可以總結(jié)出當(dāng)前的研究主要存在以下問題：現(xiàn)有的研究對乘客進站和上車規(guī)則的刻畫不符合實際，且難以實現(xiàn)；還有一部分當(dāng)前的研究對不同目的地的乘客進行分開限流，然而其在實際車站中無法運用和操作。

為解決上述問題，本文基于“先到先服務(wù)”原則，以乘客總等待時間最小化為目標函數(shù)構(gòu)建列車時刻表與常態(tài)限流協(xié)同優(yōu)化模型。

2 ? ?問題描述

本文考慮具有座車站的雙向城市軌道交通線路，如圖1所示。設(shè)置列車運行方向集F={1，2}（下行方向f=1，上行方向f=2），并根據(jù)列車運行方向，定義車站集合S={1，...，2n}。在線路上，列車采用單一交路，上下行列車成對開行，使用集合I0={1，...，m}來表示下行方向的列車編號，I1={1，...，m}來表示上行方向的列車編號。

本文將研究時段T=[t1，t2]離散為k個時刻的集合，即T={t1，t1+1，...，t2}，t2-t1+1=k，其中t1和t2分別為研究時段T的開始和結(jié)束時刻，各離散時刻的精度記為σ，根據(jù)實際需要進行取值設(shè)置，可為15 s、30 s或1 min等；記t為時刻的索引，任意時段t=[t，t+1]開始于時刻t，結(jié)束于時刻t+1。同時，定義客流種類的集合為V，索引為v。

為方便模型的構(gòu)建，本文現(xiàn)提出以下假設(shè)。

在高峰時段，乘客不會因車站限流措施滯留站外而改變出行方式，即不計限流對客流損失的影響；列車嚴格按照運行圖運行，忽略干擾列車正常運行的因素；區(qū)間運行時間、停站時間固定，列車站站停且不允許越行；乘客進站、上下車遵循“先到先服務(wù)”原則，即先到達的乘客先進站，先進站的乘客先上車。

3 ? ?模型構(gòu)建

3.1 ? ?符號說明

為便于表述模型，本研究將需要使用的主要參數(shù)、變量的符號定義如下。

q、qin、qwait、qarr、pwait、pboard、palight、ponboard、prest分別表示到站、進站、站外等待、到達站臺、站臺等待、上車、下車、車內(nèi)、站臺滯留乘客數(shù)；ωv、α、β分別為客流v站外、總乘客站外、總乘客站臺等待時間權(quán)重系數(shù)；trun、tdwell、twalk、tdep、tarr、thead分別表示列車運行、列車停站、乘客換乘走行、列車到站、列車出發(fā)、列車發(fā)車間隔時間；e、rmin、ctrain、?max分別為各車場車底數(shù)、最小折返時間列車定員數(shù)及最大滿載率；[t1fleft，t1fright]表示第一列列車始發(fā)時間范圍；[hmin，hmax]表示相鄰兩列車發(fā)車時間范圍；▽t為截止時間t時，已經(jīng)進站乘客的最晚到達時間；△i為截止列車i發(fā)車時刻，已經(jīng)上車的乘客最晚到達站臺的時間。

3.2 ? ?目標函數(shù)

在客流高峰時段，乘客等待車輛到站時間作為乘客出行過程中時間成本的重要部分，直接決定了乘客服務(wù)水平。各到達站臺的乘客候車情況。

3.2.1 ? ?乘客站外總等待時間

3.2.2 ? ?乘客站臺總等待時間

目標函數(shù)即乘客總等待時間最小可表達為：minαZ1+βZ2。乘客站臺候車情況見圖2。

3.3 ? ?約束條件

3.3.1 ? ?列車時刻表約束

式（4）為第一列列車始發(fā)范圍約束；式（5）為列車始發(fā)時刻約束；式（6）為列車區(qū)間運行時間約束；式（7）為列車停站時間約束；式（8）為相鄰列車始發(fā)間隔約束；式（9）、式（10）為車底折返約束，車底折返示意圖如圖3所示。

3.3.2 ? ?車站限流約束

式（11）表示的是站外等待乘客數(shù)，在時間t內(nèi)（準確來講，是時間t末）站外等待的乘客數(shù)可由時間t-1內(nèi)的站外等待乘客數(shù)、時間t內(nèi)新到乘客數(shù)和進站乘客數(shù)計算得出；式（12）為允許進站乘客數(shù)，在允許乘客進站時，到達乘客按到站時間排隊，通過比較截止時間t和t-1，已知已經(jīng)進站乘客的最晚到達時間▽t和▽t+1，可以得到在時間范圍[▽t-1+1，▽t]內(nèi)到站的乘客在時間t內(nèi)進站；式（13）為進站時間不得早于到達時間的約束。

3.3.3 ? ?乘客與列車交互約束

式（14）為到達站臺乘客數(shù)，由進站乘客與站內(nèi)走行時間決定；式（15）為站臺候車乘客數(shù)，由與前一列車發(fā)車時間間隔內(nèi)站臺到達乘客數(shù)和受前列車運力限制而滯留站臺的乘客數(shù)決定；式（16）為上車乘客數(shù)，通過比較截止列車i、i-1發(fā)車，已知已經(jīng)上車的乘客最晚到達站臺的時間為△i、△i-1，可以得到在時間范圍[△i-1+1，△i]內(nèi)到達站臺的乘客可以登上列車i；式（17）為下車乘客數(shù)；式（18）、（19）為站臺滯留乘客數(shù)；式（20）保證研究時段內(nèi)到達的乘客均能上車；式（21）、（22）為列車區(qū)間滿載率約束。

4 ? ?算例分析

4.1 ? ?算例描述

本文考慮具有4座車站的雙向城市軌道交通線路，從下行方向開始依次命名為s1、s2、s3、s4。每個方向各運行5列列車，共有本線和換乘兩種客流需求。為建立整數(shù)線性規(guī)劃模型且便于計算，將整個研究時段劃分為41個研究時刻，每一時間間隔為σ=60s。假設(shè)各區(qū)間運行時間、各站臺停站時間一直固定，分別為240s、60s。其他參數(shù)設(shè)置如表1所示，客流需求如表2所示，且在研究時間范圍內(nèi)乘客到達服從正態(tài)分布。

4.2 ? ?結(jié)果分析

通過使用MATLAB調(diào)用Cplex軟件編程，上述規(guī)劃模型的最優(yōu)解在488s后計算得出。

4.2.1 ? ?列車時刻表分析

圖4展示了最優(yōu)解中的列車時刻表及乘客在站臺的候車情況，其中藍色（綠色）線條表示下行（上行）方向的列車，藍色（綠色）方框中的數(shù)字表示下行（上行）方向站臺內(nèi)候車的乘客，藍色（綠色）圓圈中的數(shù)字表示列車在下行（上行）方向上的區(qū)間載客數(shù)。由圖4可以看出，在客流需求大的時段，列車開車間隔小，這一安排與該時刻表是以客流需求為導(dǎo)向制定的理念相符。同時，結(jié)果數(shù)據(jù)表明列車3和4在區(qū)間s2—s3滿載率極高，且存在下行方向的乘客在車站s2、上行方向的乘客在車站s3因列車容量有限而滯留站臺的情況。

4.2.2 ? ?乘客進站分析

圖5展示了各車站的最佳進站乘客數(shù)和站外等待乘客數(shù)變化曲線。為避免乘客在站內(nèi)擁擠，在保證乘客服務(wù)水平的前提下，我們盡可能地安排乘客在站外等待。隨著乘客的到達，站外等待的乘客數(shù)逐漸增加；等到列車到站時，上車的乘客和受最大限流強度約束的乘客進站，站外等待乘客數(shù)減少；當(dāng)列車出發(fā)后，站外乘客又逐漸累積，如此循環(huán)，站外等待乘客數(shù)量隨著列車到發(fā)規(guī)律發(fā)生重復(fù)變化。以圖5（a）為例，當(dāng)t∈[9，11]時，到達乘客累積在站外等待。此后，為登上在時刻14到達的列車，乘客在時刻12和13陸續(xù)進站，站外等待乘客減少，但為保證下游乘客能夠順利上車，仍有部分站外等待乘客被限制進站，繼續(xù)在站外等待。

4.2.3 ? ?對比分析

為驗證協(xié)同優(yōu)化模型的有效性，本文將協(xié)同優(yōu)化后的效果同不限流，以及不考慮列車時刻表優(yōu)化下僅限流的效果進行對比，對比結(jié)果如表3所示。結(jié)果表明，在不設(shè)置限流措施時，乘客全部在站臺等待，站臺等待時間較協(xié)同優(yōu)化增加了99.95%，總時間增加了19.99%；而在僅考慮限流優(yōu)化時，雖然乘客被限制進站，乘客站臺等待時間較無限流措施時卻有了極大程度的減少，但與協(xié)同優(yōu)化相比仍增加了9.64%，總時間增加了15.29%。由此可知，列車時刻表與限流協(xié)同優(yōu)化對于減少乘客站臺等待時間和總等待時間具有顯著效果。除此之外，換乘乘客站外等待時間為0，表明在進站條件允許下，換乘客流先于本線客流進站，限流遵循“先限本線，后限換乘”的原則。

各時刻站臺聚集乘客數(shù)體現(xiàn)了站臺瞬時聚集的乘客量，包括站臺等待乘客數(shù)和列車到站下車乘客數(shù)，是站臺擁擠程度的直觀反映。本文以車站s1為例，將未采取限流措施、給定時刻表下限流和列車時刻表與限流協(xié)同優(yōu)化下的站臺聚集乘客數(shù)進行對比，結(jié)果如圖6所示。在不進行限流時，乘客在時刻13、14時大量聚集在站臺，站臺擁擠度最高。而僅限流時，雖然在一定程度上降低了站臺最大的聚集峰值，但推遲了部分乘客聚集的時間。相較之下，協(xié)同優(yōu)化整體既減少了站臺的聚集乘客數(shù)，又降低了站臺平均擁擠度，對緩解站臺擁擠具有重要作用。

5 ? ?結(jié) ? ?語

本文通過研究列車運行過程、車站限流過程和乘客與列車交互過程，構(gòu)建了以乘客總等待時間最小化為目標函數(shù)的列車時刻表與常態(tài)限流協(xié)同優(yōu)化模型，并采用小規(guī)模算例對模型進行實驗驗證，得出如下結(jié)論。

本文構(gòu)建的協(xié)同優(yōu)化模型從供需兩側(cè)出發(fā)，提高了列車運能與客流需求的匹配程度，相較于兩者單一優(yōu)化而言在減少乘客等待時間方面具有明顯作用。其中，較僅考慮時刻表優(yōu)化，乘客總等待時間減少了19.99%；較僅考慮限流優(yōu)化，乘客總等待時間減少了16.66%。

在協(xié)同優(yōu)化的研究中，要求到站乘客盡可能地在站外排隊等待，再根據(jù)列車到發(fā)規(guī)律排隊進站，從整體上降低了站臺乘客的聚集程度，緩解了站臺擁擠。

最大限流強度的取值決定了乘客的進站情況，進而影響到乘客服務(wù)水平和乘客等待時間，故合理確定最大限流強度對提高乘客服務(wù)水平、減少乘客等待時間具有重要意義。

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