還原法在小學數(shù)學解題教學中的運用

☉周鳳仙

還原法是以新數(shù)為基礎(chǔ)，按運算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法也被稱為逆推法。在小學數(shù)學解題教學中，采用還原法進行訓練，能夠幫助學生在潛移默化中提高自身的解題能力和邏輯思維能力，對學生日后成長發(fā)展大有裨益。因此，教師應及時轉(zhuǎn)變自身教育理念，重視還原法在小學數(shù)學解題教學中的滲透，幫助學生梳理解題思路，在解題中感受數(shù)學的魅力，探尋數(shù)學知識的潛在規(guī)律，實現(xiàn)他們核心素養(yǎng)的生成與發(fā)展。

一、還原法闡述

數(shù)學還原法是一種利用數(shù)學規(guī)則和方法，通過已知問題逆向推導求出答案的便捷計算方法。通俗而言，還原法就是在知道一個數(shù)的變化過程和最后的結(jié)果后，運用逆向思維，解答還原問題，求得原來的數(shù)。例如：小明、小紅、小麗三個人各有一些漫畫書，小明給小紅三本，小紅給小麗五本，此時三個人的本數(shù)同樣多。求：小紅原來比小麗多幾本漫畫書？在這道問題中，包含了多個主語，而且數(shù)量發(fā)生了一定的變化。要想解決這一問題，應該考慮對兩個對象分別進行倒推，從而求出數(shù)值。倘若按照常規(guī)方法計算，此類問題需耗費較長時間，且容易使學生陷入思維誤區(qū)，被題目中的各項信息所干擾。因而，還原法這種通過已知條件，從后向前推算出結(jié)果的解題方法，能夠幫助學生利用互逆關(guān)系輕松突破重點難點，快速求得答案［1］。

二、還原法在小學數(shù)學解題教學中的運用策略

通過對還原法的解讀可知，還原即為逆向推理，在實際解題教學中如何滲透還原法已成為廣大教師所共同關(guān)注的一個問題。筆者結(jié)合多年實踐教學經(jīng)驗，對還原法在小學數(shù)學解題教學中的運用進行總結(jié)，并提出合理化建議，以供廣大教師借鑒參考。

（一）單個對象，循序漸進

“單個”即為一個、單一。此類問題是還原法解題中的基礎(chǔ)性問題，題干中有且只有一個主語，且數(shù)量不變，最終所求的對象還是這個主語的總量。在面對此部分題目時，教師應遵循循序漸進的原則，指導學生解讀關(guān)鍵題目信息，理清思路，而后再運用還原法解決問題［2］。

以蘇教版六年級上冊《分數(shù)乘法》課題為例，有典型題目：文具店老板采購了一批文具，第一次老板將文具總數(shù)的1/2 出售給客戶，客戶使用后覺得產(chǎn)品質(zhì)量很好，又在老板處購買了剩下文具的1/2 和另外的二十套，第三次，老板將剩余文具的1/2 少了5 套賣給另一名顧客，此時文具店還剩余30 套文具，求文具店老板一共采購多少套文具？面對這一問題，許多學生被購買的數(shù)量以及購買次數(shù)等復雜的線索困擾，理不清頭緒。在還原法的指導下，教師可以按照分析主語—列舉流程—繪制流程圖—逆向倒推的步驟進行解題講解。

1.分析主語

教師帶領(lǐng)學生朗讀題目線索，并提出問題：“同學們，這道問題讓我們求的是什么？”在問題的指引下，學生細致閱讀題目信息，通過線索1：文具店采購一批文具；線索2：第一次出售；線索3：第二次出售；線索4：第三次出售，分析并整理出主語線索?？偨Y(jié)：問題求“文具總數(shù)”，且此道問題主語應為“文具”，其中數(shù)量與采購人員不論如何變化，最終所求總量仍舊不變。

2.列舉流程

在主語分析明確后，學生已經(jīng)掌握了本道題目的大致方向。為使學生能夠解決這一問題，并梳理思路，教師應帶領(lǐng)大家反復咀嚼題干內(nèi)容，以談話的方式分析整道題目的流程。第一步：確定事件，即為文具店老板采購一批文具。第二步：整理線索，題中分別闡述了文具店老板三次出售文具的經(jīng)過。第一次，老板出售了總數(shù)的1/2，第二次出售第一次剩余總數(shù)的1/2 又多20 套，第三次又將第二次剩余總數(shù)的1/2 少5 套出售。在流程列舉完畢后，學生心中已經(jīng)有了大體的計算步驟。

3.繪制流程圖

“數(shù)形結(jié)合”顧名思義是在數(shù)學問題的基礎(chǔ)上采用數(shù)學圖形的模式進行解析，使數(shù)學問題變得更加簡單的一種學習方法。在流程列舉完畢后，為幫助學生梳理思路，教師可以運用數(shù)形結(jié)合的方法，帶領(lǐng)學生繪制流程圖，為后續(xù)還原解題做好準備：

上述流程圖中淺色箭頭表示常規(guī)計算流程，深色箭頭則表示根據(jù)已知結(jié)果和變化量進行逆向倒推的步驟。

4.逆向倒推

在流程圖繪制完畢后，許多學生無法理解為何要將符號進行轉(zhuǎn)換。這時教師應有意識地指導學生進行思考，從前向后進行計算即為傳統(tǒng)流程，但從后向前推導意為將傳統(tǒng)計算流程翻轉(zhuǎn)，所以變加為減、變減為加、變除為乘。最后，通過計算得出文具總數(shù)量為280 套。

如上，面對單個對象題目時，教師應遵循循序漸進的原則，有意識地指導學生按照具體步驟進行解析，從而掌握還原法的核心，提高自身解題效率。

（二）多個對象，明確關(guān)系

區(qū)別于單個對象，多個對象代指題目中的主語同時發(fā)生變化，并且總量較多，所求對象也不止一個。此類題目具有一定的難度，涉及多個量之間的關(guān)系，因而教師需要做的是，首先引導學生明確各變量之間的關(guān)系，從而梳理思路，完成還原計算。

以蘇教版六年級上冊《分數(shù)除法》課題為例，有典型例題如下：有甲、乙兩桶油，從甲桶倒出1/3 給乙桶后，又從乙桶中倒出了1/5 給甲桶，這時兩個桶中的油各有24 千克，求原來甲、乙兩桶中各有多少千克的油？面對此類問題時，教師首先帶領(lǐng)學生仿照單個對象題目的計算思路，梳理題目線索，并找到關(guān)鍵主語。通過觀察已知本道題目中的主語為甲、乙兩桶油，最終求這兩個桶中原有油的質(zhì)量。這種多個對象的還原應用題涉及多個量之間的關(guān)系，教師應基于學生的思維能力，帶領(lǐng)其共同梳理還原步驟。

共有48kg甲桶現(xiàn)有24kg向乙桶倒油后還剩：48-30 ＝18kg也就是向乙桶倒油后的量1－images/BZ_51_1451_2511_1481_2598.png＝images/BZ_51_1525_2513_1555_2598.png→向乙桶倒油前的油量：18÷images/BZ_51_1939_2513_1968_2598.png＝27（kg）↑↓乙桶現(xiàn)有24kg也就是向甲桶倒油前的1－images/BZ_51_446_2821_471_2904.png＝images/BZ_51_516_2819_544_2904.png→倒油前的油量：24÷images/BZ_51_1150_2784_1178_2868.png＝30（kg）原來的油量：48－27 ＝21（kg）

通過步驟的還原，教師應指導學生明確此類題目的解法應遵循：求的是原來的數(shù)量，那么現(xiàn)在的數(shù)量必須要還原，即“得到的必須減去，失去的必須加上”這一原則。在教師的指引下，學生能夠快速掌握多個對象的還原解題方法，切實提高自身解題能力。通過經(jīng)典例題的引入，能夠促使學生效仿在例題講解中教師所提供的思路，在明確各變量之間的關(guān)系后，利用還原法進行計算求解，得出答案。

如上，面對較為困難的多個對象還原求解，教師應首先指導學生明確各數(shù)量之間的關(guān)系，其次利用還原法進行計算，轉(zhuǎn)換思考角度，找到新的思路和方法，突破傳統(tǒng)思維模式的桎梏，逐漸形成屬于自己的解題思路。

（三）定變結(jié)合，確定核心

“不同對象”即為應用題中的主語不止一個。當題目中的多個對象既有定量又有變量時，許多學生就會無從下手，不知如何應對。這時，教師應以“核心”為抓手，引導學生通過細致觀察閱讀，找出題目中的定量與變量關(guān)系，使得問題解決的思路更加有章可循。

以蘇教版六年級上冊《分數(shù)除法》課題為例，有經(jīng)典例題如下：王師傅裝配件，經(jīng)過測量知道零件和箱子共重102 千克，上午小劉取走了1/2 零件，下午小張又取走了剩下零件的1/2，最后零件和箱子的重量是27 千克，請求出這箱零件最初的重量。結(jié)合此題目，教師首先帶領(lǐng)學生共同閱讀題目信息，并思考主語是誰。在問題的引導下，學生給出題目中“零件”是主語這一回答。根據(jù)大家所給出的答案，教師再次為學生讀題，強調(diào)零件以及箱子的重量，并使學生確定核心主語。接下來，利用還原法解決此題，教師應進一步地梳理題目中“定量”與“變量”的相關(guān)信息，分析并總結(jié)：零件的重量屬于變量，而箱子的重量不變，屬于定量。在教師的引導下，學生已經(jīng)理清了此道題目的重點與核心，并嘗試根據(jù)還原法做出如下推測：目前已知箱子與零件的重量為102 千克，由于箱子的重量是不變的，因此，重量的變化是由已經(jīng)拿走的零件所引起的，回推102－27 ＝75，即代表零件被拿走了75 千克，由題意可知75 千克為零件總數(shù)量的3/4，因此得出原有零件數(shù)量為100 千克，則箱子的重量為2 千克。

如上，通過核心因素的確定，能夠幫助學生掌握、挖掘題目中所蘊含的隱藏信息的技巧，更好地應對定量與變量結(jié)合的復雜題目。與此同時為防止大家在計算過程中出現(xiàn)失誤，教師也可以在實際教學中為學生普及示意圖的繪制方法，引導學生通過更加直觀的形式表達定量與變量之間的聯(lián)系，實現(xiàn)逆向思維的形成與發(fā)展。

（四）還原推導，驗證答案

德國物理學家勞厄曾說過：“教育重要的不是獲得知識，而是發(fā)展思維能力，教育無非是將一切已學過的東西都遺忘時所剩下來的東西?！边€原法在解題過程中是需要利用已知條件進行逆向推理，當學生利用還原法得出結(jié)果后，教師應有意識地引導學生再次利用還原法對所求答案進行驗證，檢驗自己在還原計算中是否存在疏漏，進而逐漸形成良好的反思與檢查習慣［3］。

以蘇教版六年級上冊《解決問題的策略》課題為例，有經(jīng)典例題如下：小紅、小麗、小剛?cè)齻€人共有人民幣168 元，第一次小紅拿出與小麗同樣的錢數(shù)給小麗，第二次，小麗拿出與小剛相同的錢數(shù)給小剛，第三次，小剛拿出這時與小紅相同的錢數(shù)給小紅。這時三人的錢數(shù)恰好相等，原先小紅比小麗多多少元？當學生求出答案為28 元后，教師指導學生根據(jù)答案進行還原推導：最后每人的錢數(shù)是：168÷3 ＝56（元），第二次拿完之后，小紅有：56÷2 ＝28（元）、小剛有：56 ＋28 ＝84（元）、小麗有：56 元；第一次拿完之后，小剛有：84÷2 ＝42（元）、小麗有：56 ＋42 ＝98（元）、小紅有：28 元；則原來小麗有：98÷2 ＝49（元）。即采用還原法進行倒推，檢驗最終結(jié)果。

如上，通過還原推導的手段，能夠進一步培養(yǎng)學生的逆向推理思維，在對答案進行驗證的過程中進一步鞏固所學知識，提高自身計算質(zhì)量。

綜上所述，還原法是培養(yǎng)學生解題能力、提高學生發(fā)散性思維以及逆向推理思維的重要手段，在小學數(shù)學解題教學過程中，教師應注重還原法的滲透，幫助學生掌握還原技巧，在數(shù)學學習中收獲良好體驗，在潛移默化中實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升與發(fā)展。