劉佳偉　宋楠　董文琦　曹玉波

摘 要 以一階直線倒立擺為研究對(duì)象，基于牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，在慣性坐標(biāo)系內(nèi)分析和建立倒立擺狀態(tài)空間表達(dá)式數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了基于經(jīng)典PID控制器、狀態(tài)反饋控制器和全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器的倒立擺控制系統(tǒng)。通過(guò)MATLAB腳本語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了倒立擺實(shí)時(shí)仿真與控制系統(tǒng)，結(jié)果表明：優(yōu)化后的全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器運(yùn)行效果更優(yōu)，仿真結(jié)果與實(shí)際設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)基本吻合。

關(guān)鍵詞 一階倒立擺 全維狀態(tài)觀測(cè)器 狀態(tài)反饋控制器 PID控制器 腳本編程 實(shí)時(shí)仿真

中圖分類(lèi)號(hào) TP273? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A? ?文章編號(hào) 1000-3932（2023）04-0453-06

倒立擺系統(tǒng)作為一類(lèi)經(jīng)典的非最小相位系統(tǒng)具有機(jī)械構(gòu)造簡(jiǎn)單、占用空間小及使用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，非常適合在經(jīng)費(fèi)與科研條件都有限的實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行控制實(shí)驗(yàn)［1］。其本身所具有的非線性、強(qiáng)耦合性及不穩(wěn)定性［2］等工程中十分普遍的特性，使其具備著一般非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)中非常重要的動(dòng)態(tài)性能［3］。在控制領(lǐng)域，許多經(jīng)典和現(xiàn)代的控制方法以及復(fù)雜系統(tǒng)的物理模型都可以近似到倒立擺系統(tǒng)中［4］，各種經(jīng)典控制理論和新穎的控制策略也可通過(guò)倒立擺進(jìn)行驗(yàn)證［5］，并且控制效果可以通過(guò)擺桿和小車(chē)的狀態(tài)直觀地體現(xiàn)出來(lái)，其相關(guān)控制算法已應(yīng)用于軍工、航天及機(jī)器人等諸多領(lǐng)域［6，7］。因此，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化不僅能將理論具體應(yīng)用到實(shí)際設(shè)備，同時(shí)也為探索、論證新理論的正確與否提供實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和實(shí)踐基礎(chǔ)。

1 倒立擺機(jī)理模型

直線倒立擺是經(jīng)典的倒立擺模型，針對(duì)直線倒立擺的實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛑庇^體現(xiàn)許多控制性能，如系統(tǒng)的能控能觀性、穩(wěn)定性及抗干擾性等［8］。本次設(shè)計(jì)根據(jù)經(jīng)典控制理論利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)分析，在忽略空氣阻力和摩擦力后，可以將其抽象為由小車(chē)和勻質(zhì)擺桿組成的剛性系統(tǒng)，如圖1所示。

直線一階倒立擺簡(jiǎn)化模型中的參數(shù)，均取自圖1a所示的實(shí)驗(yàn)室倒立擺裝置說(shuō)明書(shū)中提供的設(shè)備參數(shù)值，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

2 系統(tǒng)控制方案

2.1 經(jīng)典PID控制

PID作為最經(jīng)典的控制方法具有通俗易懂、簡(jiǎn)單有效等優(yōu)點(diǎn)，能夠很好地解決單輸入單輸出控制問(wèn)題，通常適用于對(duì)線性定常系統(tǒng)的研究。由第1節(jié)推導(dǎo)的倒立擺模型狀態(tài)方程可知，直線一階倒立擺是一個(gè)單輸入雙輸出系統(tǒng)，因此，需要在直立控制的基礎(chǔ)上添加正反饋以控制位置，形成雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，具體系統(tǒng)框圖如圖2所示。

2.2 狀態(tài)反饋控制器控制

通過(guò)狀態(tài)空間法，把高階常微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程，這樣可以解決多輸入多輸出問(wèn)題，同時(shí)適用于研究線性定常系統(tǒng)和非線性時(shí)變系統(tǒng)［9］。狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的原理如圖4所示，其中輸入r為小車(chē)位置的步進(jìn)命令，K為控制增益的矩陣。與經(jīng)典控制不同的是，狀態(tài)反饋控制器是反饋系統(tǒng)的所有狀態(tài)，而不是使用系統(tǒng)的輸出來(lái)反饋。

2.3 基于全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制

在狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)中，假設(shè)了狀態(tài)變量都可測(cè)量，然而在實(shí)際控制過(guò)程中并不是所有的狀態(tài)變量都是可測(cè)量，并且狀態(tài)反饋控制只能滿(mǎn)足瞬態(tài)要求，沒(méi)有考慮穩(wěn)態(tài)誤差［11］。為了解決以上問(wèn)題，必須利用可以觀測(cè)的量（輸入、輸出量）通過(guò)一個(gè)模型重新構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)以對(duì)所有狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)，該模型即狀態(tài)觀測(cè)器［12］。帶有全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制的原理如圖6所示，其中■、■分別為x、y的估計(jì)值。

3 倒立擺實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)設(shè)計(jì)

本次設(shè)計(jì)選用MATLAB/GUI進(jìn)行倒立擺仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的開(kāi)發(fā)［13］。利用GUI中的用戶(hù)圖形界面工具，在MATLAB/GUI自動(dòng)生成的.m文件中編寫(xiě)倒立擺模型程序、控制器程序和實(shí)時(shí)仿真程序。設(shè)計(jì)了模型參數(shù)設(shè)置、控制算法選擇及參數(shù)整定、實(shí)時(shí)仿真曲線及圖形動(dòng)態(tài)顯示等界面，使用戶(hù)能夠在仿真之前自由填寫(xiě)模型參數(shù)，在仿真過(guò)程中直觀地看到倒立擺的控制效果，并且仿真結(jié)束后可再次施加輕微擾動(dòng)，觀察控制效果，使仿真過(guò)程更加貼合實(shí)際控制效果。

倒立擺仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)時(shí)仿真效果如圖8所示，左側(cè)為倒立擺模型參數(shù)設(shè)計(jì)界面，用戶(hù)可以設(shè)置不同倒立擺的參數(shù)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)計(jì)算參數(shù)并生成倒立擺模型；在仿真設(shè)置中，用戶(hù)可以選擇不同的控制算法，包括經(jīng)典PID控制算法、LQR控制算法（狀態(tài)反饋控制器）和基于全維狀態(tài)觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制器算法，并填寫(xiě)相應(yīng)的控制參數(shù)，系統(tǒng)根據(jù)用戶(hù)設(shè)置的參數(shù)反饋相應(yīng)的增益矩陣數(shù)值。中間和右側(cè)分別為實(shí)時(shí)仿真曲線顯示界面和模型動(dòng)態(tài)顯示界面，且模型動(dòng)態(tài)顯示為運(yùn)行結(jié)果放大10倍的效果，用戶(hù)可以同時(shí)觀察仿真曲線和動(dòng)態(tài)模型，更加直觀地體會(huì)控制效果?？梢钥吹剑抡媲€與動(dòng)態(tài)模型是實(shí)時(shí)隨動(dòng)的，且反饋的增益矩陣與理論計(jì)算結(jié)果相同，證明了所設(shè)計(jì)控制器與控制系統(tǒng)的合理性和有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

在慣性坐標(biāo)系內(nèi)建立了直線一階倒立擺的數(shù)學(xué)模型，以該模型方程為被控對(duì)象，設(shè)計(jì)了經(jīng)典PID控制器、狀態(tài)反饋控制器和全維狀態(tài)觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制器。然后用MATLAB/GUI設(shè)計(jì)了倒立擺實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，編寫(xiě)了控制器程序、實(shí)時(shí)仿真程序及模型動(dòng)態(tài)顯示程序等。最后，利用實(shí)驗(yàn)室倒立擺設(shè)備的參數(shù)，分別使用3款控制器對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果表明：3款控制器都可以完成仿真控制實(shí)驗(yàn)，且基于全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器的控制效果最優(yōu)，證明了優(yōu)化的合理性與有效性。

參 考 文 獻(xiàn)

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（收稿日期：2022-11-25，修回日期：2023-05-14）

Optimization and Real-time Simulation of Inverted

Pendulum Control System

LIU Jia-weia， SONG Nanb， DONG Wen-qia， CAO Yu-boa

（a. College of Information and Control Engineering； b. College of Petrochemical Engineering，

Jilin Institute of Chemical Technology）

Abstract? ?Through taking a linear first-order inverted pendulum as the object of study and based on Newtons second law of motion，? the mathematical model of space expression for the inverted pendulum was established and analyzed in inertial coordinate system. On this basis， the simulation of inverted pendulum control system based on classical PID controller， state feedback controller and the state feedback controller of full-dimensional state observer was designed and implemented， including having MATLTB script language based to design a real-time simulation experiment platform for the inverted pendulum. Operating result indicates that， the state feedback controller of the optimized full-dimensional state observer has better control effect. The simulation results are in good agreement with the actual equipment running state

Key words? ?first-order inverted pendulum， full-dimensional state observer， state feedback controller， PID controller， scripting， real-time simulation