點子圖讓“理”更透徹

楊凌會

【摘 要】點子圖在乘法學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用，它通過數(shù)形結(jié)合，深刻揭示了乘法的意義和算理。這種對深度理解的追求，使得它成為教學(xué)中的難點。從乘法的直觀模型，到乘法口訣的關(guān)系、多位數(shù)乘法的算理、乘法分配律以及倍數(shù)與因數(shù)，點子圖的應(yīng)用加深了這些知識間的聯(lián)系，凸顯了大概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的統(tǒng)領(lǐng)作用，有利于幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的可遷移的能力，其意義和價值是不容忽視的。

【關(guān)鍵詞】點子圖 直觀模型 幾何直觀

北師大版數(shù)學(xué)教材會使用點子圖幫助學(xué)生理解算理。但很多一線教師反映，不用點子圖，僅用橫式展示計算過程，大部分學(xué)生能夠掌握計算方法并正確計算，用了點子圖后有的學(xué)生反而會覺得更難，尤其是讓學(xué)生獨立在點子圖上圈一圈，再寫出相應(yīng)的計算過程時，經(jīng)常會出現(xiàn)“牛頭不對馬嘴”的現(xiàn)象。教材中為什么要加入點子圖？在點子圖上花時間值得嗎？本文將從結(jié)構(gòu)化的角度，梳理北師大版數(shù)學(xué)教材中運用的點子圖的類型，分析點子圖在整數(shù)乘法教學(xué)中的意義與價值。

一、整數(shù)乘法教學(xué)運用點子圖的類型

（一）乘法意義的直觀表達

在二年級上冊“分一分與除法”這個單元里，學(xué)生初步認識乘法后，教材專門安排了“有多少點子”一課，建立乘法的直觀模型，幫助學(xué)生進一步鞏固對乘法意義的理解。從生活中的實物到點子圖，雖然都是直觀的表達方式，但點子圖是對具體事物的抽象表達，一個實物用一個點子表示，一個點子可以代表各類事物。點子圖的表達更具一般性，是具體事物抽象到數(shù)學(xué)符號的過渡，也是對數(shù)學(xué)模型的直觀表達。乘法是求幾個相同加數(shù)連加和的簡便運算，點子按照每行、每列數(shù)量相同的方式排列，是幾個相同加數(shù)連加的直觀表達。如7行4列，既可以表示7個4相加，也可以表示4個7相加，它們的得數(shù)相同。這不僅可以幫助學(xué)生直觀感知“交換兩個乘數(shù)的位置，積不變”，也可以讓學(xué)生直觀感知“積”的實際大小。此外，點子圖還可以把生活中的乘法問題抽象化，幫助學(xué)生建立乘法模型，如“1支鉛筆2元錢，5支鉛筆多少錢”，學(xué)生可以將2元錢用2個點子表示，5支鉛筆多少錢就可以用5行2列的點子表示。學(xué)生可以將其畫出來，也可以在腦中想象，從而發(fā)現(xiàn)這是一個可以用乘法解決的問題。

（二）乘法口訣關(guān)系的直觀表達

在學(xué)習(xí)6的乘法口訣時，教材中運用點子圖來推算“6×7”的結(jié)果，也就是用“五六三十”和“二六十二”兩句乘法口訣推算出“六七四十二”，實質(zhì)上也就是建立“6×5”和“6×2”這兩個乘法算式與“6×7”之間的關(guān)系。從表面上看，這是為了尋找記憶“六七四十二”這句口訣的方法，實質(zhì)上，一方面這是對乘法意義的鞏固理解；另一方面也是對乘法分配律的滲透。通過把一句乘法口訣拆分成兩句口訣，讓學(xué)生感知乘法可以將一個乘數(shù)拆分成兩個（或多個）部分，然后分別用乘法算出每個部分的結(jié)果，最后再把每個部分的積加起來。學(xué)習(xí)這樣拆分的方法，如果沒有點子圖的幫助，大部分學(xué)生只能機械地掌握拆分再算的過程，而對其意義缺乏真正的理解。這種“囫圇吞棗”的學(xué)習(xí)所造成的影響，在后面乘法分配律的理解和應(yīng)用中顯露無遺。在這個例子中，將“6×7”拆分為“6×5”和“6×2”，是在建立式與式之間的關(guān)系，用一個式子與另一個式子相加，得到一個新的式子，與原來只是針對數(shù)進行計算相比，對二年級學(xué)生來說，是認識上的飛躍，有一定的難度。但正是點子圖的直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生在動態(tài)演示的過程中，看到了分的過程和分的結(jié)果，建立了式子與點子圖之間的聯(lián)系，使學(xué)生對拆分過程有了更加深刻的理解。同時，學(xué)生在這個過程中所積累的經(jīng)驗為后續(xù)多位數(shù)乘法和運算律的學(xué)習(xí)奠定了堅實的基礎(chǔ)。

（三）多位數(shù)乘法算理的直觀表達

在兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的內(nèi)容中，教材都使用了點子圖，用直觀的方式表達多位數(shù)乘法的算理，即可以把一個整體拆分成若干個部分，分別算出每個部分的數(shù)量，然后再把每個部分加起來。用點子圖展示算理，一方面能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同的算法，使其能結(jié)合直觀圖解釋算法的合理性；另一方面，能讓學(xué)生從多種方法的“異中求同”中感悟運算中的“通理通性”，突出多位數(shù)乘法算理的本質(zhì)，即“先分后乘再合”。這個過程也充分體現(xiàn)了運算律在多位數(shù)乘法計算中的重要作用。例如，“14×12=14×6×2”運用了乘法結(jié)合律，而“14×12=14×10+14×2”則運用了乘法分配律。在多位數(shù)乘法豎式的教學(xué)中，將點子圖與豎式的每一步一一對應(yīng)，會使學(xué)生對豎式的算理理解更加深刻，從而能將兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法拓展到兩位數(shù)乘兩位數(shù)、多位數(shù)乘兩位數(shù)，直至學(xué)生領(lǐng)悟多位數(shù)乘多位數(shù)的通法，實現(xiàn)學(xué)習(xí)的融會貫通。

（四）乘法運算律的直觀表達

在學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律時，教材再次用畫點子圖的方式說明乘法分配律是成立的。在之前乘法口訣以及多位數(shù)乘法的學(xué)習(xí)中，教材已經(jīng)多次滲透乘法分配律，學(xué)生對這個規(guī)律已經(jīng)建立了豐富的活動經(jīng)驗。因此，用點子圖解釋乘法分配律，是調(diào)動學(xué)生的已有經(jīng)驗，讓學(xué)生從意義上理解乘法分配律，突破學(xué)習(xí)的難點。乘法分配律是乘法運算中蘊含的規(guī)律，它的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生對乘法意義的理解，以及對“拆分后先乘再加”這一方法的感悟上，如果在前面的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)積累了相關(guān)經(jīng)驗，那么其學(xué)習(xí)乘法分配律就沒有那么困難了。在這個過程中，點子圖功不可沒。從作為乘法的直觀模型入手，點子圖始終在幫助學(xué)生從乘法的意義的角度，理解運算的算理，探索運算的方法，直到學(xué)生可以用點子圖反過來解釋發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。可以說，點子圖是學(xué)生深度理解的推手。

（五）倍數(shù)與因數(shù)關(guān)系的直觀表達

在倍數(shù)與因數(shù)的學(xué)習(xí)中，點子圖溝通了倍數(shù)與因數(shù)和乘法之間的關(guān)系。教材從一個在二年級就已經(jīng)學(xué)過的乘法問題引入，點子圖所代表的乘法模型對學(xué)生來說已經(jīng)很熟悉了，而這一次關(guān)注的不僅是乘法的意義，還包括兩個乘數(shù)與積之間的關(guān)系。乘法算式用等號連接算式和積，表示兩者相等的關(guān)系，點子圖則直觀地展示了兩個乘數(shù)與積相互依存的關(guān)系，而這也正好是倍數(shù)與因數(shù)的本質(zhì)特征。點子圖既是乘法的直觀模型，也是倍數(shù)與因數(shù)的直觀模型，凡是具有倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系的數(shù)都能用點子圖的模型表示。用點子圖表示倍數(shù)與因數(shù)的關(guān)系，有利于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中與倍數(shù)、因數(shù)有關(guān)的問題。

以上案例列舉了點子圖在小學(xué)乘法學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，這些內(nèi)容相互關(guān)聯(lián)，螺旋上升，體現(xiàn)了乘法作為數(shù)學(xué)大概念在與之相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)中的統(tǒng)領(lǐng)作用，表現(xiàn)出知識學(xué)習(xí)的一致性，從結(jié)構(gòu)化的角度展示了點子圖在乘法學(xué)習(xí)中的作用。

二、整數(shù)乘法教學(xué)中運用點子圖的意義

新課程標準倡導(dǎo)學(xué)科實踐，利用點子圖等直觀方式探索數(shù)學(xué)問題，就是一種典型的數(shù)學(xué)實踐方式。它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，尤其是在小學(xué)階段，有著舉足輕重的作用。

（一）透過現(xiàn)象看本質(zhì)

乘法是“數(shù)的認識和數(shù)的運算”主題的核心概念，對乘法意義的理解是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，很多知識的學(xué)習(xí)都與乘法意義有緊密的聯(lián)系，很多問題的解決需要運用乘法的意義尋找解決的方法。將點子圖作為乘法的直觀模型，為以乘法為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)提供了實踐的支架，教師和學(xué)生可以借助點子圖，探索知識形成的過程，發(fā)掘知識的本質(zhì)。以兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法為例，它的思路可以用“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”表示。這種方法如果只是用算式表示，學(xué)生可以學(xué)會拆分和計算的過程，但對于其中的道理卻很難理解。有了點子圖（如圖1）的幫助，則使圖形和計算過程一一對應(yīng)。學(xué)生可以清晰地看到：當(dāng)兩個乘數(shù)分別被拆分成兩個數(shù)后，整體被分成了四個部分，其中每個部分正好是拆分后的數(shù)兩兩相乘的結(jié)果。這時學(xué)生就真正明白了這種方法背后蘊藏的道理，對多位數(shù)乘法拆分后先乘后加的“通性通理”有了更加深入的理解。

對這種方法的理解，也影響到學(xué)生后續(xù)小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)。下面是小數(shù)乘法中的一個問題，圖2中所展示的學(xué)生的方法，看似很有道理，但其實是錯的。如何說明它是錯誤的？錯在哪里呢？將上面點子圖所呈現(xiàn)的方法遷移到這里，用面積模型來解釋，能夠讓學(xué)生清晰地看到，這樣計算的過程缺失了兩個部分沒有算，所以導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤。在小學(xué)階段，考慮到學(xué)生以形象思維為主的特點，沒有揭示形如“（a+b）×（c+d）=a×c+a×d+b×c+b×d”的公式，但在實際的計算中，會遇到與它相關(guān)的問題。利用直觀的點子圖和面積模型不僅可以解釋學(xué)生的疑惑，幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解算理，而且為其第三學(xué)段抽象出公式積累豐富的經(jīng)驗。

（二）發(fā)展可遷移的能力

新課標倡導(dǎo)素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂，將發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作為課堂教學(xué)的主要目標。核心素養(yǎng)是可遷移的能力，這種能力可被用于學(xué)習(xí)新知識和解決新問題，而且不會被遺忘。將點子圖引入“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，建構(gòu)數(shù)與形的聯(lián)系，一方面能幫助學(xué)生理解、解釋與數(shù)相關(guān)的概念、數(shù)的運算律和法則，幫助學(xué)生感悟其本質(zhì)；另一方面也能幫助學(xué)生掌握利用圖形去探究、描述、分析和解決問題的方法，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。在小學(xué)階段，除了點子圖以外，還有諸如數(shù)線、面積模型等多種直觀模型。這些直觀的方式為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)的腳手架，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點和難點，也為學(xué)生分析和解決問題提供了方法與策略。例如，教學(xué)用乘法口訣求商時，由于學(xué)生已經(jīng)有用點子圖計算乘法、用數(shù)線計算減法的經(jīng)驗，在提出“‘20÷4怎樣計算”這個問題之后，學(xué)生會想到用點子圖圈一圈的方法解決問題，也可以想到用數(shù)線減一減的方法解決問題。在運用了這些直觀的解決問題的方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計算“20÷4”等于多少，就是求20里面有幾個4，也就是4×（ ）=20，從而發(fā)現(xiàn)乘法與除法之間的聯(lián)系，找到用乘法口訣求商的方法。

點子圖溝通了數(shù)與形的聯(lián)系，引導(dǎo)教師和學(xué)生追求理解本質(zhì)的深度學(xué)習(xí)，對促進學(xué)生掌握學(xué)科的基本概念、基本思想和基本方法發(fā)揮了重要的作用，這種幾何直觀能力對學(xué)生的終身學(xué)習(xí)都將產(chǎn)生深刻的影響。點子圖引入到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以使學(xué)習(xí)變得更加深入。