基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)例題教學(xué)策略

朱敏敏

［摘? 要］ 深度學(xué)習(xí)視角下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不只是解題，還應(yīng)探查知識背后的方法、思想，進(jìn)而浸染數(shù)學(xué)的思維方式、理性精神. 文章結(jié)合數(shù)學(xué)教材中的一道例題，從深度理解、深度體驗(yàn)、深度思維和深度評價四個方面，闡述了深度學(xué)習(xí)視角下數(shù)學(xué)例題教學(xué)的基本策略，這對學(xué)生深度理解知識、提升分析問題和解決問題的能力、促進(jìn)思維能力的進(jìn)階提供了有益的啟示.

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)例題；教學(xué)策略

深度學(xué)習(xí)，指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的知識和思想，將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延兄R遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學(xué)習(xí)［1］. 具體表現(xiàn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)不能僅停留在知識本身，還應(yīng)深入到知識背后，獲取背后所蘊(yùn)含的思維價值，實(shí)現(xiàn)知識、能力和思維的同步發(fā)展. 數(shù)學(xué)教材上的例題是知識呈現(xiàn)的重要載體，看似簡單的題目都是專家精心挑選的，不過受書面形式和篇幅的制約，試題呈現(xiàn)時隱藏了蘊(yùn)含在其中的思維過程. 面向核心素養(yǎng)時代的訴求，例題教學(xué)已不能僅停留在解決試題本身，還要體悟到專家的編寫意圖，還原知識的生長過程. 教師應(yīng)該讓例題教學(xué)成為學(xué)生深度學(xué)習(xí)的支撐點(diǎn)和生長點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)專家設(shè)計例題的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、探究問題的能力，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì). 下面，筆者結(jié)合蘇科版八年級上冊第157頁的例題，從深度理解、深度體驗(yàn)、深度思維和深度評價四個方面探究深度學(xué)習(xí)視角下的數(shù)學(xué)例題教學(xué)策略.

例題?某蔬菜基地要把一批新鮮蔬菜運(yùn)往外地，現(xiàn)有兩種運(yùn)輸方式可供選擇，主要參考數(shù)據(jù)如下：

請問：該基地選擇哪種運(yùn)輸方式更合適？

整合信息，深度理解

整合信息，是指學(xué)生與問題對話，對題目的文字進(jìn)行解讀. 也就是，逐字、逐詞、逐句地分析，圈出關(guān)鍵詞或關(guān)鍵信息，明確每個條件、每個數(shù)據(jù)的意義指向，把頭腦中的已有知識與試題信息加以整合，獲得新的發(fā)現(xiàn)，從而達(dá)到對問題的深度理解.

試題中的眾多信息之間具有一定的邏輯性、結(jié)構(gòu)性，學(xué)生可在教師的引導(dǎo)下，聯(lián)想、調(diào)動、激活已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以融會貫通的方式重新組織問題，弄清楚試題中各種量之間的關(guān)系. 問題“哪種運(yùn)輸方式更合適”是學(xué)生生活中常見的購物選擇問題，與實(shí)際聯(lián)系緊密；試題的條件以表格形式呈現(xiàn)，認(rèn)真分析表格，弄清每個數(shù)據(jù)表示的意義，有助于真正理解問題. 運(yùn)輸方式選擇的關(guān)鍵是比較汽車、火車兩種運(yùn)輸方式總費(fèi)用的多少. 由表格可知，運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用由裝卸費(fèi)和途中綜合費(fèi)用兩部分產(chǎn)生，裝卸費(fèi)是常量，不發(fā)生變化，但途中綜合費(fèi)用是變量，按小時收費(fèi)，與運(yùn)輸時間有關(guān)，運(yùn)輸時間又取決于運(yùn)輸路程的長短，這樣層層分析便能確定問題的關(guān)鍵量：運(yùn)輸路程. 這是學(xué)生突破認(rèn)知障礙的關(guān)鍵點(diǎn).

問題解決，深度體驗(yàn)

深層次的問題理解，能為下一步的問題解決做鋪墊. 問題解決強(qiáng)調(diào)學(xué)生深度參與，經(jīng)歷獨(dú)立思考、探索討論、質(zhì)疑觀點(diǎn)、形成共識的過程，從而獲得深度學(xué)習(xí)體驗(yàn). 其起點(diǎn)是獨(dú)立思考，自主認(rèn)知. 在這個環(huán)節(jié)，教師要留給學(xué)生充足的時間，讓他們思考、加工、書寫想法，從而培養(yǎng)學(xué)生的主動思考能力. 此外，教師還要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)置問題串，幫助有困難的學(xué)生小步前行.

問題1：運(yùn)輸路程為60 km時，選擇哪種運(yùn)輸方式更合適？運(yùn)輸路程為100 km呢？120 km呢？

問題2：設(shè)運(yùn)輸路程為x km，汽車、火車的運(yùn)輸總費(fèi)用分別為y1元、y2元，請分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

問題3：該基地到底選擇哪種運(yùn)輸方式更好？請給出你的方案.

問題是思維的引擎，學(xué)生課堂上的思維是圍繞問題展開的［2］. 漸進(jìn)式的問題設(shè)計，引領(lǐng)學(xué)生愿想、愿思、愿學(xué)、愿做，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，推進(jìn)了學(xué)生深度學(xué)習(xí)探索活動的開展. 學(xué)生帶著自己的思考成果，與同伴交流討論，教師則適時引導(dǎo)、點(diǎn)撥，給學(xué)生創(chuàng)造深度體驗(yàn)的學(xué)習(xí)氛圍.

“問題1”的設(shè)置面向全體學(xué)生，根據(jù)前面的信息整合，由已知運(yùn)輸路程可確定運(yùn)輸時間，進(jìn)而分別計算出汽車、火車兩種運(yùn)輸方式的總費(fèi)用，比較總費(fèi)用的多少從而做出選擇. 給出運(yùn)輸路程的具體數(shù)值，能幫助學(xué)生獲得對問題最初的直觀認(rèn)識，從而為后面問題的解答做鋪墊.

“問題2”的設(shè)置體現(xiàn)了從特殊到一般的思想——通過確定問題中的變量，建立函數(shù)模型. 在運(yùn)輸路程為x km的條件下，分別表示出汽車、火車兩種運(yùn)輸方式所用的時間，這對部分學(xué)生來講是個難點(diǎn). 表格中的信息體現(xiàn)了運(yùn)輸總費(fèi)用隨運(yùn)輸時間的變化而變化，所以在這個難點(diǎn)上教師可組織學(xué)生思考討論、交流觀點(diǎn)、深化認(rèn)識，從而得出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=4.5x+200，y2=2.4x+410.

“問題3”是本例的核心，涉及核心知識——建立數(shù)學(xué)模型，把生活問題數(shù)學(xué)化. 在已經(jīng)得知y1=4.5x+200，y2=2.4x+410的基礎(chǔ)上，如何進(jìn)行運(yùn)輸方式的選擇呢？此時可把思維過程再次還給學(xué)生，組織學(xué)生交流互助、討論爭辯，激發(fā)學(xué)生的靈感，從而產(chǎn)生新觀點(diǎn)、新思路，使理解走向深入. 運(yùn)輸方式的選擇就是比較兩個函數(shù)值的大小. 由“問題1”“問題2”的解答可知，y1，y2的大小關(guān)系并不固定，隨著x取值的不同，y1，y2的大小關(guān)系也隨之發(fā)生變化. 比較y1，y2的大小關(guān)系時，可采用如下兩種方法.

方法一，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，分段討論，可以獲取直觀的解釋，如圖1所示.

兩個函數(shù)圖象產(chǎn)生交點(diǎn)，即產(chǎn)生特殊值x=100. 接著，教師引導(dǎo)學(xué)生弄清楚x=100的實(shí)際意義，從而順利地將比較y1，y2的大小問題轉(zhuǎn)化為自變量x與特殊值100的大小關(guān)系，最終得出解決問題的方案：

當(dāng)x=100時，y1=y2，即當(dāng)運(yùn)輸路程為100 km時，兩種運(yùn)輸方式的總費(fèi)用相同，此時選擇汽車運(yùn)輸或火車運(yùn)輸均可；

當(dāng)x＜100時，y1＜y2，即當(dāng)運(yùn)輸路程不足100 km時，選擇汽車運(yùn)輸更劃算；

當(dāng)x＞100時，y1＞y2，即當(dāng)運(yùn)輸路程超過100 km時，選擇火車運(yùn)輸更劃算.

方法二，通過“作差法”來比較y1，y2的大小，即把y1，y2的比較大小問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元一次不等式，通過解方程和解不等式來求解. 這種方法不需要畫圖，通過運(yùn)算就能解決，操作過程簡捷，更受學(xué)生的歡迎.

當(dāng)y1-y2=0時，（4.5x+200）-（2.4x+410）=0，解得x=100. 所以，當(dāng)運(yùn)輸路程為100 km時，兩種運(yùn)輸方式的總費(fèi)用相同，此時選擇汽車運(yùn)輸或火車運(yùn)輸均可；

當(dāng)y1-y2＜0時，（4.5x+200）-（2.4x+410）＜0，解得x＜100. 所以，當(dāng)運(yùn)輸路程不足100 km時，選擇汽車運(yùn)輸更劃算；

當(dāng)y1-y2＞0時，（4.5x+200）-（2.4x+410）＞0，解得x＞100. 所以，當(dāng)運(yùn)輸路程超過100 km時，選擇火車運(yùn)輸更劃算.

核心問題承載著學(xué)生對知識的整體建構(gòu)，其他外圍問題是在幫助學(xué)生逼近核心知識，最終消化理解，體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的著力點(diǎn). 問題解決的過程，體現(xiàn)出課堂因“賦權(quán)”而“增能”，學(xué)生在完成問題解決和知識建構(gòu)的同時，能力、思維和情感都得到了發(fā)展，從深度學(xué)習(xí)的角度來看，學(xué)生獲得了更為深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn).

遷移應(yīng)用，深度思維

在課堂學(xué)習(xí)中，核心知識具有很強(qiáng)的再生力. 核心知識的習(xí)得能夠幫助學(xué)生獲得解決一類問題的能力［3］，這就是我們常說的遷移應(yīng)用能力. 遷移應(yīng)用需要學(xué)生具有綜合能力和實(shí)踐創(chuàng)新意識. 學(xué)生通過問題的解決，快速整合資源產(chǎn)生新的問題，這是遷移，遷移是經(jīng)驗(yàn)的擴(kuò)展與提升. 教師的追問可以幫助學(xué)生遷移出更多的問題，引發(fā)學(xué)生更多的想法，增大學(xué)生的思維容量，促進(jìn)思維的進(jìn)階發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生批判性思維和創(chuàng)新能力的發(fā)展. 學(xué)生能在聽懂的基礎(chǔ)上，利用所學(xué)知識解決新生問題，這是應(yīng)用. 應(yīng)用是將內(nèi)化的知識外顯化，是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的體現(xiàn).

問題4：若飛機(jī)的運(yùn)輸速度為500 km/h，裝卸費(fèi)為500元，途中綜合費(fèi)用為3600元/h，此時應(yīng)怎樣選擇呢？

問題5：結(jié)合自己生活中熟悉的方案選擇問題，如購物、配送、上網(wǎng)等，利用數(shù)學(xué)知識分析最佳方案的選擇，寫出有關(guān)的活動報告.

有價值的問題能不斷地轉(zhuǎn)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)鋪設(shè)臺階. 給出問題4之后，教師要把時間留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生帶著剛收獲的經(jīng)驗(yàn)再判斷，再思考，再交流，再討論.

“問題4”的設(shè)計鏈接了新情境，形成了新任務(wù)，能讓學(xué)生積累新經(jīng)驗(yàn). 航空運(yùn)輸方式的介入讓學(xué)生感到新奇，解答“問題4”能很好地反映學(xué)生對剛剛習(xí)得知識的掌握情況，且能讓學(xué)生進(jìn)一步體會、感悟函數(shù)圖象法和代數(shù)作差法兩種思想. 設(shè)運(yùn)輸路程為x km，飛機(jī)的運(yùn)輸總費(fèi)用為y3元. 由題意得y3=7.2x+500. 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y1，y2，y3的圖象，如圖2所示. 觀察圖象，發(fā)現(xiàn)直線y3與直線y1，y2并沒有交點(diǎn)，此時教師可組織學(xué)生結(jié)合實(shí)際生活想想這是為什么，并讓他們說說汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸方式的優(yōu)缺點(diǎn). 函數(shù)圖象直觀地告訴我們，飛機(jī)運(yùn)輸雖然速度快，但費(fèi)用明顯高于汽車運(yùn)輸和火車運(yùn)輸，這點(diǎn)與實(shí)際生活情境一致. 三種運(yùn)輸方式的選擇同“問題3”的答案. 此時教師還可以讓學(xué)生通過作差法驗(yàn)證結(jié)論，再次感受到函數(shù)圖象法與代數(shù)作差法都可以作為解決購物選擇類問題的通法. 從而體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活.

“問題5”要求學(xué)生類比例題，自編自解，目的是引導(dǎo)學(xué)生在生活中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中思考，在思考中樹立正確的價值判斷. 受課堂時間的限制，“問題5”留在課后解決，教師第二天收集每個學(xué)生的活動報告，并張貼在教室，供全班交流、評議.

例題學(xué)習(xí)的背后蘊(yùn)含著豐富的思維和智慧. 實(shí)際問題的解決，能讓學(xué)生體會到函數(shù)在解決實(shí)際問題中的建模作用；用函數(shù)圖象法解題，能強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，并從新的高度挖掘?qū)W生的思維潛能，促進(jìn)學(xué)生形成勇于創(chuàng)新的思維品質(zhì). 在平時的教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生遷移所學(xué)，創(chuàng)造性地解決問題，讓學(xué)生在“學(xué)會”和“會學(xué)”上有所提升，從而引領(lǐng)學(xué)生走向深度學(xué)習(xí). 深度學(xué)習(xí)重視學(xué)生的實(shí)踐意識和遷移應(yīng)用能力. 遷移應(yīng)用能激活和增進(jìn)學(xué)生的深度理解，其價值取向是將獲取的核心知識當(dāng)作一粒種子，使其生發(fā)出思維的生長力，這也正是問題背后所蘊(yùn)含的價值.

反思認(rèn)知，深度評價

深度學(xué)習(xí)本身具有反思特征. 學(xué)生對學(xué)習(xí)過程保持良好的批判精神，有利于深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn). 質(zhì)疑是為了更好地相信，反思是為了更健康地成長. 一些教師總認(rèn)為反思是學(xué)生自己的事，其實(shí)要使反思增值，作為教師，要善于捕捉課堂上的各種信息，重視學(xué)生對各種方法的理解，傾聽他們的想法，感受他們想法的由來，以此作為引導(dǎo)學(xué)生反思的途徑，從而培養(yǎng)學(xué)生的反思能力和自我批評能力.

“基于例題的解決過程，你能用自己的語言，敘述學(xué)習(xí)過程中的收獲嗎？”“在問題解決的過程中，你是否關(guān)注到了重要信息并合理應(yīng)用？”“今天的例題學(xué)習(xí)涉及以前所學(xué)的什么知識？蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想？”“在學(xué)習(xí)過程中，你是如何調(diào)動已有經(jīng)驗(yàn)的？”“面對問題，你是否會主動地思考？”“你的一些新奇想法是在他人想法基礎(chǔ)上的改進(jìn)還是自己的創(chuàng)新？”“你們小組成員合作得如何？在挑戰(zhàn)性的問題下你為小組活動做了哪些貢獻(xiàn)？”……隨著反思的不斷深入，學(xué)生對知識的理解更加深刻，思維能力更加深廣，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育更深、更實(shí).

數(shù)學(xué)素以簡捷美而著稱. 數(shù)學(xué)教材中的例題雖然形式簡單、呆板，卻是數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)的主要載體，其背后蘊(yùn)含著深刻的思維. 在平時的教學(xué)中，教師只有鉆得深，研得透，方能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)得深，學(xué)得透，給學(xué)生帶來更加滿意的學(xué)習(xí)體驗(yàn). 深度學(xué)習(xí)是“真”的教學(xué)，內(nèi)含學(xué)生積極主動地學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生深層次的思考，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑之一. 問題情境、知識建構(gòu)、問題解決、遷移應(yīng)用、反思改進(jìn)的過程，能促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識上的高層次認(rèn)知目標(biāo)，達(dá)到思維上的進(jìn)階. 深度學(xué)習(xí)是“好”的教學(xué)，每一位教師都要致力于教學(xué)態(tài)度上一往情深，教學(xué)方法上探索創(chuàng)新，教學(xué)過程上體驗(yàn)動心，教學(xué)效果上喚醒求真. 要讓學(xué)生的深度學(xué)習(xí)在課堂上真正發(fā)生！教育需要“阿凡達(dá)”，去開啟學(xué)生眼中的“創(chuàng)新亮光”.

參考文獻(xiàn)：

［1］何玲，黎加厚. 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)［J］. 現(xiàn)代教學(xué)，2005（05）：29-30.

［2］余文森. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)［M］. 上海：上海教育出版社，2017.

［3］龍寶新. 走向核心知識教學(xué)：高效課堂教學(xué)的時代意蘊(yùn)［J］. 全球教育展望，2012，41（03）：19-24+62.