李桃

［摘? 要］ 文章以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)為例，踐行章建躍博士提出的“兩個(gè)過程”合理性理念，即數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性以及學(xué)生認(rèn)知過程的合理性，設(shè)計(jì)出知識(shí)生成環(huán)節(jié)的多條教學(xué)活動(dòng)路線，與同行專家探討.

［關(guān)鍵詞］ 兩個(gè)過程；合理性；優(yōu)效教學(xué)；等差數(shù)列求和

問題緣起

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，教師要為“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”提供優(yōu)質(zhì)的、可供學(xué)生多樣選擇的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源［1］. 換言之，優(yōu)質(zhì)高效的教學(xué)應(yīng)確保不同水平的學(xué)生都能學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)、都能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、都能提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).章建躍博士提出的“兩個(gè)過程”合理性理念，正好體現(xiàn)并落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念和育人目標(biāo)要求. 具體來說，在教學(xué)中做到“兩個(gè)過程”合理性，即在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性以及學(xué)生認(rèn)知過程的合理性上加強(qiáng)思考，這是讓不同層次的學(xué)生都能發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn). 鑒于新課程新課標(biāo)新高考背景下，高中學(xué)校實(shí)施學(xué)科分層教學(xué)的現(xiàn)狀，筆者基于“兩個(gè)過程”合理性理念，對等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的生成過程進(jìn)行了多樣化教學(xué)設(shè)計(jì).

教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)

前n項(xiàng)和公式是等差數(shù)列的又一重要性質(zhì)，是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等差數(shù)列函數(shù)特性的又一重要角度，是感受等差數(shù)列與一次函數(shù)、一元二次函數(shù)的關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)整體性的又一重要載體.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式不僅是等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式和有關(guān)性質(zhì)的延續(xù)，而且為后面類比等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式提供了學(xué)習(xí)內(nèi)容、思維方法，是數(shù)列單元承上啟下的重要內(nèi)容［2］.

尋找合適的算理、算法是推導(dǎo)公式的基本線索. 推導(dǎo)過程可以從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般，歷史與現(xiàn)實(shí)有機(jī)結(jié)合，算法與性質(zhì)交融并進(jìn). 怎樣讓等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程能夠自然地呈現(xiàn)出來，是學(xué)生理解公式推導(dǎo)過程合理性的關(guān)鍵.

設(shè)計(jì)路線的思考

對于人教A版（2019年）教材的設(shè)計(jì)，筆者認(rèn)為：（1）教材以高斯巧算1到100的連續(xù)整數(shù)之和為基本問題，這是四年級就出現(xiàn)的題目，可想而知，這并不符合大部分學(xué)生的認(rèn)知水平. （2）在推導(dǎo)過程中，教材從特殊（1到100的連續(xù)整數(shù)求和）到一般（1到n的前n個(gè)連續(xù)整數(shù)求和），再讓學(xué)生思考如何避免討論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，在此引出“倒序相加法”. 該推導(dǎo)路徑冗長、跨度大，有待優(yōu)化. 既然已經(jīng)完成1到n的前n個(gè)連續(xù)整數(shù)求和，可以自然地推導(dǎo)公式S=na+d.足見，教材所設(shè)計(jì)的知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程是否合理有待商榷. 鑒于此，筆者從“直面難點(diǎn)”“淡化難點(diǎn)”“回避難點(diǎn)”這三個(gè)層次對等差數(shù)列前項(xiàng)n和公式的生成階段進(jìn)行了教學(xué)新設(shè)計(jì).

1. “直面難點(diǎn)”的技術(shù)路線

采用問題解決型命題教學(xué)模式，其基本思想是把命題還原為一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)問題，通過解決問題而得到命題. 解題過程對發(fā)展學(xué)生的直覺思維，提高學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)有積極作用［3］.

環(huán)節(jié)1 提出數(shù)學(xué)問題.

如圖3所示，設(shè)想有另外一堆同樣的草，將其倒置，并和原來的草堆拼在一起，這樣草堆就共有8×9=72（束），因此原來的草堆共有36束.

環(huán)節(jié)2 探究算理：請學(xué)生分析此巧妙算法的應(yīng)用前提和推廣價(jià)值.

教師鼓勵(lì)學(xué)生各抒己見，明確關(guān)鍵因素是各行的數(shù)量構(gòu)成等差數(shù)列，即可以采用“平行倒置”的策略.

環(huán)節(jié)3 遷移應(yīng)用：請學(xué)生自行推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，易得S=. 教師指出這種方法叫做倒序相加法.

5. “回避難點(diǎn)”的技術(shù)路線

采用呈現(xiàn)型命題教學(xué)模式，教師直接給出公式S=，然后要求學(xué)生證明公式.

這就回避了“公式發(fā)現(xiàn)”，降低了問題的難度，但還留有“公式證明”的時(shí)間和空間. 學(xué)生可以采用分析法、綜合法進(jìn)行證明，在證明的過程中運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行分析，體會(huì)“倒序相加法”，依然能夠滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).

以上基于學(xué)生的起點(diǎn)能力、認(rèn)知特點(diǎn)不盡相同，構(gòu)建了不同的技術(shù)路線和知識(shí)生成過程. 課堂教學(xué)的流程雖然不同，但都能讓學(xué)生達(dá)到課程的目標(biāo)和要求，能夠有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)高效教學(xué)要求教師正視學(xué)生知識(shí)水平和認(rèn)知能力的差異性，注重因材施教，致力于學(xué)生的“可持續(xù)發(fā)展”，強(qiáng)調(diào)學(xué)生理性思維、核心素養(yǎng)以及創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)和發(fā)展，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的形成以及數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，關(guān)注課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成，追求課堂教學(xué)的優(yōu)質(zhì)高效［4］. 因此，一方面，教師要基于對數(shù)學(xué)及學(xué)生的理解和認(rèn)識(shí)，著眼于“兩個(gè)過程”合理性，設(shè)計(jì)適合學(xué)生的教學(xué)方案；另一方面，教師要做好充分的教學(xué)預(yù)設(shè)，才能根據(jù)課堂教學(xué)的生成情況及時(shí)調(diào)整優(yōu)化教學(xué)方案，確保不同水平的學(xué)生都能學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)、都能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、都能提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書（數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 喻平. 數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.

［4］ 肖凌戇. 高中數(shù)學(xué)“優(yōu)效教學(xué)”的十年探索［J］，中國數(shù)學(xué)教育，2020（10）：20-25.