高觀點(diǎn)下探尋多邊形的內(nèi)角和與外角和

廣東省深圳市南山外國語學(xué)校(集團(tuán))科華學(xué)校 (518000) 葉 瑩

三角形的內(nèi)角和是一個(gè)重要的幾何量,在歐幾里得幾何學(xué)中,三角形的內(nèi)角和為180度.在證明這一定理的時(shí)候,中學(xué)教科書[1]采用的方法是這樣的:首先過三角形的某一個(gè)頂點(diǎn)作與對(duì)邊平行的輔助線,再利用內(nèi)錯(cuò)角相等得到三角形的內(nèi)角和為180度.而內(nèi)錯(cuò)角相等需要利用歐幾里得幾何的兩條公理:同位角相等和對(duì)頂角相等.由此可見,為了證明三角形的內(nèi)角和為180度,需要兩條公理.中學(xué)課本證明完三角形的內(nèi)角和為180度以后,再利用內(nèi)角和外角互補(bǔ)的關(guān)系,得到外角和為360度.

在講完三角形的內(nèi)角和與外角和以后,中學(xué)教材便開始講凸多邊形的內(nèi)角和,課本中的講法通常是這樣的:從凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以作(n-3)條對(duì)角線,從而把多邊形分成了(n-2)個(gè)三角形,多邊形的內(nèi)角和正好是這(n-2)個(gè)三角形的內(nèi)角和,因而是(n-2)×180°.相應(yīng)地,因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的外角和內(nèi)角互補(bǔ),所有內(nèi)角和與外角和的總和是n×180°,從而外角和是2×180°=360°,詳情可參考[1].一般的教材也就到此為止,即得到凸n邊性內(nèi)角和公式為(n-2)×180°,外角和為360°.以上的證明過程無疑是正確的,然而筆者認(rèn)為,許多很自然的問題還沒有解決:1.如果是非凸多邊形,它的內(nèi)角和應(yīng)該是多少,外角和應(yīng)該是多少? 2.為什么多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)有關(guān),而外角和與邊數(shù)無關(guān)?3.證明多邊形的內(nèi)角和公式和外角和公式,有沒有更加直觀和更加簡單的方法?筆者通過對(duì)這幾個(gè)問題的長期思考,結(jié)合現(xiàn)代微分幾何學(xué)的研究方法,認(rèn)為多邊形的外角和是比多邊形的內(nèi)角和更重要的幾何量.如果換一種方式來講解多邊形的內(nèi)角和與內(nèi)角和,則不但講解過程更加直觀,而且不需要任何公理,此外,該講解方法還適用于非凸多邊形,最后,該講解方法還可以很容易推廣到現(xiàn)代微分幾何學(xué)中的Gauss-Bonnet公式.下面筆者來詳細(xì)敘述這種直觀的講解方法.

我們來觀察一下三角形的制作過程.中學(xué)教科書中說,三條線段順次首尾相接就構(gòu)成一個(gè)三角形,實(shí)際上,我們只需要把一條線段折三次就能得到一個(gè)三角形,仔細(xì)觀察折疊的過程,就能得到三角形的外角和為360度的結(jié)論.下面,我們來看看具體的折疊步驟:

首先,取一條線段(如圖1).

圖1

第一步:將AB段不動(dòng),BE段繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度(如圖2).

圖2

第二步:將AB段、BC段不動(dòng),CE段繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角度,使得D、A、B三點(diǎn)在同一條直線上(如圖3).

圖3

第三步:將AB段、BC段、CD段都不動(dòng),DE段繞D點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)γ角度,使得DE與AB共線(如圖4).

圖4

通過上述三步,一個(gè)三角形就形成了.巧合的是α、β、γ剛好是ΔABC的外角,那么它們的和是多少度呢?觀察DE段,它在第一步逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了α,第二步逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了β,第三步逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了γ,最終繞了一圈,回到了原來的方向,既然是繞了一圈,也就是說旋轉(zhuǎn)了360°,即α+β+γ=360°,也即三角形的外角和是360°,得到了三角形的外角和為360°以后,因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角與外角互補(bǔ),所以內(nèi)角和與外角和的總和是3×180°,因而得到內(nèi)角和是180°.上述過程的實(shí)施非常簡單,不需要教材中的輔助線等工具,并且這種方法可以推廣到多邊形,包括凸多邊形和非凸多邊形的情況.

先來看看凸n邊形的內(nèi)角和與外角和,將一條線段分成(n+1)段,用同樣的方法,經(jīng)過n步將線段繞不同的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度,就可以得到一個(gè)凸多邊形(當(dāng)然要求旋轉(zhuǎn)的角度和線段的分段要適當(dāng)),因此凸n邊形的外角和360°,從而得到內(nèi)角和是(n-2)×180°.

從上面的分析可以看出,無論是構(gòu)造多少條邊的凸多邊形,其本質(zhì)都是最后一段旋轉(zhuǎn)了一圈,而每一次旋轉(zhuǎn)的角度都是多邊形的一個(gè)外角,因此凸n邊形的外角和總是360°,這就是對(duì)多邊形外角和的直觀認(rèn)識(shí),這樣理解外角和還有以下兩個(gè)好處.

圖5

綜上所述,在給中學(xué)生講述多邊形的內(nèi)角和與外角和時(shí),除了按照教科書中的講法來講之外,還可以從曲線彎曲的角度來先講外角和,再根據(jù)外角與內(nèi)角互補(bǔ)的關(guān)系,得到多邊形的內(nèi)角和公式.這樣講有幾個(gè)好處.第一個(gè)好處是非常直觀.不管是幾邊形,它都是一條線段經(jīng)過若干次彎曲以后,繞了一圈,重新回到原來的方向所得到的圖形.每一次彎曲對(duì)應(yīng)多邊形的一個(gè)外角,而繞一圈意味著多邊形的外角之和為2π,再由外角與內(nèi)角互補(bǔ),得到內(nèi)角和為nπ-2π=(n-2)π.第二個(gè)好處是,上述內(nèi)角和公式與外角和公式不僅適用與凸多邊形,也適用于非凸多邊形.凸多邊形的內(nèi)角和可通過三角剖分得到,而非凸多邊形的內(nèi)角和不能通過三角剖分得到,因而上述方法將凸多邊形的內(nèi)角和公式推廣到了任意多邊形.第三個(gè)好處是將外角理解為曲線的彎曲,可以將多邊形外角和公式推廣到按段光滑封閉曲線的Gauss-Bonnet公式,使得學(xué)生在學(xué)習(xí)微分幾何時(shí),可以快速地理解Gauss-Bonnet公式的直觀意義,從而發(fā)散學(xué)生的思維,供有余力的學(xué)生思考.第四個(gè)好處是可以讓學(xué)生知道,除了歐幾里得幾何以外,還有非歐幾里得幾何.在非歐幾里得幾何中,三角形的外角和與曲面的Gauss曲率相關(guān).