文/黃維英

數(shù)學(xué)概念是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的“結(jié)果”，具有抽象性、復(fù)雜性[1]。在傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師應(yīng)用樣例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程，了解數(shù)學(xué)概念。同時(shí)，教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)概念中的關(guān)鍵內(nèi)容，并組織多樣的練習(xí)活動(dòng)，幫助學(xué)生認(rèn)知概念。但是在如此教學(xué)中，學(xué)生會(huì)在腦海中建立固定的概念意象，無(wú)法建立深刻認(rèn)知，在解決問(wèn)題時(shí)還會(huì)遇到諸多問(wèn)題。錯(cuò)誤樣例是數(shù)學(xué)樣例的重要類(lèi)型，是以學(xué)生概念學(xué)習(xí)中出現(xiàn)或可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，或概念中的關(guān)鍵點(diǎn)、重難點(diǎn)，或概念中的規(guī)則、知識(shí)外延等為依據(jù)，設(shè)計(jì)出的不正確的例子[2]。教師應(yīng)用錯(cuò)誤樣例實(shí)施數(shù)學(xué)概念，可以在彌補(bǔ)傳統(tǒng)概念教學(xué)不足的基礎(chǔ)上，助推學(xué)生扎實(shí)理解、掌握概念。對(duì)此，教師可進(jìn)行“應(yīng)用錯(cuò)誤樣例實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)”研究，著力探索錯(cuò)誤樣例的應(yīng)用價(jià)值、設(shè)計(jì)原則和應(yīng)用策略。

一、應(yīng)用錯(cuò)誤樣例實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)的價(jià)值

（一）促使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)不斷探索，從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性，繼而用簡(jiǎn)約、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言進(jìn)行描述。一般情況下，數(shù)學(xué)概念的含義是用一句話描述，這句話簡(jiǎn)約、嚴(yán)謹(jǐn)，反映著數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，學(xué)生不僅要認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，還要認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)特征。應(yīng)用錯(cuò)誤樣例的實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤、解釋錯(cuò)誤，由此辨析數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征。由此可見(jiàn)，教師通過(guò)應(yīng)用錯(cuò)誤樣實(shí)施概念教學(xué)，可以使學(xué)生從本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征入手，真正掌握數(shù)學(xué)概念。

（二）促使學(xué)生主動(dòng)參與概念教學(xué)

概念教學(xué)應(yīng)該是以生為本的活動(dòng)。在應(yīng)用錯(cuò)誤樣例時(shí)，學(xué)生會(huì)化被動(dòng)為主動(dòng)，自覺(jué)經(jīng)歷觀察、了解、辨析、總結(jié)這一過(guò)程，由淺入深地走進(jìn)數(shù)學(xué)概念深處，把握實(shí)質(zhì)，加深對(duì)概念的理解。同時(shí)，學(xué)生會(huì)因此積累概念學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，獲得概念學(xué)習(xí)滿(mǎn)足感，繼而自覺(jué)投入概念學(xué)習(xí)活動(dòng)中，遷移已有認(rèn)知，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、改正錯(cuò)誤、解釋錯(cuò)誤，實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)。在此過(guò)程中，學(xué)生會(huì)鍛煉思維能力、探究能力、抽象能力等，增強(qiáng)學(xué)習(xí)水平，助推概念教學(xué)提質(zhì)增效。

二、合理設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)概念錯(cuò)誤樣例的原則

（一）遵循針對(duì)性原則，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例

錯(cuò)誤樣例是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的助力，具有針對(duì)性。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，大部分學(xué)生會(huì)在關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)上遇到諸多問(wèn)題。這些問(wèn)題會(huì)阻礙學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念。教師可以遵循針對(duì)性原則，以關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)為入手點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例，“對(duì)癥下藥”，使學(xué)生通過(guò)改正、解釋錯(cuò)誤，掌握關(guān)鍵點(diǎn)內(nèi)容、易錯(cuò)點(diǎn)內(nèi)容，深刻認(rèn)知數(shù)學(xué)概念。

例如，在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的概念時(shí)，大部分學(xué)生會(huì)在百分?jǐn)?shù)的意義上犯錯(cuò)，認(rèn)為“百分?jǐn)?shù)就是分母是100的分?jǐn)?shù)”。對(duì)此，教師可設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例：

調(diào)酒師精心調(diào)出三杯雞尾酒。第一杯的酒精度是38%，第二杯的酒精度是25%，第三杯的酒精度是3%。其中，第一杯雞尾酒的酒精含量最高，可以用分?jǐn)?shù)表示為。這個(gè)分?jǐn)?shù)中分子表示38 毫升，分母表示100毫升。在該錯(cuò)誤樣例中，“分子表示38 毫升，分母表示100 毫升”這一答案是錯(cuò)誤的。但是，大部分學(xué)生在已有認(rèn)知作用下，很容易判對(duì)。正確答案應(yīng)當(dāng)是“分母100 表示將第一杯雞尾酒的總量看成100 份，分子38 表示純酒精占其中的38 份”。通過(guò)對(duì)比錯(cuò)誤和正確答案，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“百分?jǐn)?shù)就是分母是100 的分?jǐn)?shù)”的淺表認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，從而正確認(rèn)識(shí)百分?jǐn)?shù)的意義。

（二）遵循典型性原則，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例

應(yīng)用錯(cuò)誤樣例旨在幫助學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，大部分學(xué)生會(huì)因概念認(rèn)知不深刻，出現(xiàn)諸多錯(cuò)誤。部分錯(cuò)誤具有典型性，是大部分學(xué)生都會(huì)犯的錯(cuò)誤。對(duì)此，教師可以遵循典型性原則，審視學(xué)生的問(wèn)題解決情況，發(fā)現(xiàn)典型性問(wèn)題，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、改正、解釋錯(cuò)誤，加深對(duì)概念的理解，同時(shí)汲取經(jīng)驗(yàn)，避免此后犯同樣的錯(cuò)誤。

例如，在解決比例問(wèn)題時(shí)，部分學(xué)生會(huì)在比例后寫(xiě)上單位。針對(duì)此情況，教師設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例：

（1）紅紅的體重為20 kg，媽媽的體重為50 kg。紅紅和媽媽的體重比是2∶5。

（2）亮亮身高0.6 m，爸爸身高1.8 m。亮亮和爸爸的身高比是1∶3。

根據(jù)兩個(gè)題目，可以列出這樣的比例：20 kg∶50 kg=0.8 m∶2 m。

面對(duì)如此樣例，學(xué)生會(huì)認(rèn)真對(duì)比，發(fā)現(xiàn)第三個(gè)答案和前兩個(gè)答案的差異——帶上了單位。面對(duì)如此發(fā)現(xiàn)，教師鼓勵(lì)學(xué)生分析比例后是否要帶單位。在分析時(shí)，不少學(xué)生回顧比例的概念，探索關(guān)鍵信息——式子，確定比例后不帶單位。由此可見(jiàn)，學(xué)生借助錯(cuò)誤樣例，可以把握數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵信息，借此完善認(rèn)知，加深理解。

（三）遵循過(guò)程性原則，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例

數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有過(guò)程性。在學(xué)習(xí)概念的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)在個(gè)性認(rèn)知的作用下，出現(xiàn)諸多出人意料的問(wèn)題。這些問(wèn)題正是教師設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例的入手點(diǎn)。所以，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，教師可以遵循過(guò)程性原則，緊扣學(xué)生的問(wèn)題，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例。

例如，在學(xué)習(xí)比例概念時(shí)，有一個(gè)學(xué)生提出問(wèn)題：“比和比例是一樣的嗎？”部分學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后，給出肯定回答。教師把握時(shí)機(jī)，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例。

25 比10 表示25 除以10，這是一個(gè)比，比值是2.5。25 比10 記作25 ∶10，也可以寫(xiě)作25/10。在比例中，25比10 就等于分?jǐn)?shù)中的。

此錯(cuò)誤樣例中的概念等化是錯(cuò)誤的，但是很多學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)此錯(cuò)誤。教師把握時(shí)機(jī)，講述比和比值的概念。之后，教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀、分析錯(cuò)誤樣例，找出錯(cuò)誤答案。在已有認(rèn)知的支撐下，學(xué)生邊閱讀邊思考，自覺(jué)對(duì)比比和比值，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤答案。經(jīng)過(guò)一番分析、判斷，不少學(xué)生認(rèn)識(shí)到：“‘比值’可以用小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)來(lái)表示；‘比’有‘前項(xiàng)’‘后項(xiàng)’‘比號(hào)’同時(shí)存在，也可以用分?jǐn)?shù)形式表示。在用分?jǐn)?shù)形式進(jìn)行表示時(shí)，比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，比的后項(xiàng)相當(dāng)于分母”。學(xué)生通過(guò)分析錯(cuò)誤樣例，可以及時(shí)解決問(wèn)題，強(qiáng)化概念認(rèn)知。

三、應(yīng)用錯(cuò)誤樣例實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

數(shù)學(xué)概念教學(xué)由課堂導(dǎo)入、課堂講解和課堂練習(xí)這三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成。在實(shí)施概念教學(xué)時(shí)，教師可以這三個(gè)環(huán)節(jié)為立足點(diǎn)，聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用相應(yīng)的錯(cuò)誤樣例，使學(xué)生不斷體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、改正、解釋錯(cuò)誤這一活動(dòng)，由淺入深地認(rèn)知數(shù)學(xué)概念，鍛煉多樣能力。

（一）在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)應(yīng)用錯(cuò)誤樣例

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)是數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的起點(diǎn)。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)應(yīng)用錯(cuò)誤樣例有重要作用，如調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)儲(chǔ)備，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。又如，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)辨析數(shù)學(xué)概念，解決問(wèn)題，加深對(duì)概念的理解，同時(shí)進(jìn)入數(shù)學(xué)概念課堂，推動(dòng)課堂教學(xué)發(fā)展?；诖?，在實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，教師可以立足導(dǎo)入環(huán)節(jié)，應(yīng)用錯(cuò)誤樣例。

例如，在進(jìn)行倒數(shù)練習(xí)活動(dòng)之前，學(xué)生體驗(yàn)了概念學(xué)習(xí)活動(dòng)，了解了倒數(shù)概念。在練習(xí)活動(dòng)的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師先組織猜謎活動(dòng)。在活動(dòng)中，教師讀出字謎：“‘吞’字上下顛倒是什么字？”“‘呆’字上下顛倒是什么字？”此時(shí)，大部分學(xué)生高度集中注意力，積極思維，在腦海中想象顛倒前后的漢字，并踴躍作答。教師追問(wèn)：“根據(jù)顛倒前后的漢字，大家可以想到什么數(shù)學(xué)內(nèi)容？”在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知的支撐下，學(xué)生異口同聲地說(shuō)出“倒數(shù)”。教師就此進(jìn)行贊賞，并呈現(xiàn)錯(cuò)誤樣例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行判斷：（1）的倒數(shù)是；（2）的倒數(shù)是；（3）2.3 的倒數(shù)是3.2。

在判斷時(shí)，學(xué)生在第三個(gè)問(wèn)題上出現(xiàn)不同的看法。對(duì)此，教師鼓勵(lì)學(xué)生描述倒數(shù)的概念。有學(xué)生說(shuō)道：“兩個(gè)數(shù)相乘是1，這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)?！痹谠搶W(xué)生的描述下，其他學(xué)生改正自己的看法，加深對(duì)倒數(shù)概念的認(rèn)知，為進(jìn)行練習(xí)做好準(zhǔn)備。

教師如此應(yīng)用錯(cuò)誤樣例，既可以使學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，又可以使學(xué)生彌補(bǔ)概念認(rèn)知不足，明確感知數(shù)學(xué)概念，一舉兩得。

（二）在課堂講解環(huán)節(jié)應(yīng)用錯(cuò)誤樣例

課堂講解環(huán)節(jié)是概念教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)， 也是學(xué)生理解概念的重要環(huán)節(jié)。錯(cuò)誤樣例是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的輔助。在課堂講解環(huán)節(jié)，教師應(yīng)以數(shù)學(xué)概念為基點(diǎn)，組織探究活動(dòng)。在這個(gè)過(guò)程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生概念探究情況，并應(yīng)用錯(cuò)誤樣例，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)、改正、解決錯(cuò)誤，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)圓的概念時(shí)，教師可組織操作活動(dòng)，并根據(jù)學(xué)生操作情況，呈現(xiàn)錯(cuò)誤樣例。具體而言，在講到圓的半徑時(shí)，教師提出操作任務(wù)：“請(qǐng)大家使用圓規(guī)，分別畫(huà)出兩腳距離為3 cm、5 cm、6 cm 的圓?！痹诖巳蝿?wù)的推動(dòng)下，學(xué)生動(dòng)手操作，畫(huà)出大小不同的圓?；诖?，教師追問(wèn)：“圓規(guī)的兩腳距離是圓的什么？如果問(wèn)所畫(huà)出的圓有多大，要如何回復(fù)？”學(xué)生帶著問(wèn)題審視所畫(huà)出的圓，并結(jié)合教材內(nèi)容，認(rèn)真思考。有學(xué)生說(shuō)道：“圓規(guī)兩腳距離是圓的半徑。所畫(huà)出的分別是半徑為3 cm、5 cm、6 cm 的圓?！苯處煂?duì)此進(jìn)行贊賞，并總結(jié)半徑的概念及符號(hào)表示。之后，教師鼓勵(lì)學(xué)生畫(huà)出比半徑為6 cm 的圓還要大的圓，讓學(xué)生繼續(xù)認(rèn)知圓的半徑。教師趁機(jī)呈現(xiàn)錯(cuò)誤樣例。

圓心決定圓的位置，面積決定圓的大小。

面對(duì)錯(cuò)誤樣例，學(xué)生紛紛審視操作過(guò)程，對(duì)比不同大小的圓。此時(shí)，大部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)“面積是它所占的平面的大小。當(dāng)圓規(guī)的兩腳距離越大時(shí)，畫(huà)出的圓越大。這說(shuō)明，半徑越大，圓越大?！被诖耍處煿膭?lì)學(xué)生改正錯(cuò)誤樣例。有學(xué)生說(shuō)道：“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小?！睂W(xué)生因此加深對(duì)圓的半徑的認(rèn)知。之后，教師按照如此方式，繼續(xù)組織操作活動(dòng)，展現(xiàn)錯(cuò)誤樣例，使學(xué)生探究直徑。

實(shí)踐表明，學(xué)生通過(guò)分析、改正、解釋錯(cuò)誤樣例，可以深刻理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)概念的特征，高效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)概念學(xué)習(xí)效果。

（三）在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)應(yīng)用錯(cuò)誤樣例

課堂練習(xí)是學(xué)生解決問(wèn)題的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)概念是學(xué)生解決問(wèn)題的“工具”。在解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生會(huì)辨析數(shù)學(xué)概念，加深理解。對(duì)此，在數(shù)學(xué)課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，教師可以依據(jù)學(xué)生概念學(xué)習(xí)情況，呈現(xiàn)相關(guān)的錯(cuò)誤樣例，引導(dǎo)學(xué)生遷移認(rèn)知，分析并改正錯(cuò)誤，強(qiáng)化認(rèn)知。

例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)約分后，教師在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)錯(cuò)誤樣例：

在分析時(shí)，學(xué)生紛紛回想約分的概念，做出判斷。有學(xué)生確定這兩個(gè)答案是錯(cuò)誤的。于是，教師鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出正確答案及理由。有學(xué)生說(shuō)道：“第一個(gè)式子看似將分子和分母都約盡了，但是它們并沒(méi)有除以同一個(gè)數(shù)。這樣導(dǎo)致約分前后的兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等。是最簡(jiǎn)的，無(wú)須約分?！庇袑W(xué)生說(shuō)道：“第二個(gè)分?jǐn)?shù)沒(méi)有約盡。還可以繼續(xù)約分，得到?！备鶕?jù)學(xué)生的作答情況，教師發(fā)問(wèn)：“什么是約分？”學(xué)生回顧課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容和錯(cuò)誤樣例，總結(jié)約分的概念。之后，教師設(shè)計(jì)難度不同的練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行約分。在這個(gè)過(guò)程中，教師巡視課堂，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的練習(xí)錯(cuò)誤，作為錯(cuò)誤樣例，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)改正、解釋概念錯(cuò)誤。

通過(guò)這樣的課堂練習(xí)，學(xué)生靈活應(yīng)用了數(shù)學(xué)概念，糾正了錯(cuò)誤樣例，加深了對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，教師有效設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例，并應(yīng)用于不同教學(xué)環(huán)節(jié)，可以使學(xué)生獲得概念學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，充分發(fā)揮自主性，分析、改正、解釋錯(cuò)誤，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，同時(shí)鍛煉思維能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力等，切實(shí)實(shí)現(xiàn)錯(cuò)誤樣例的價(jià)值，增強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)效果?；诖?，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注錯(cuò)誤樣例，結(jié)合數(shù)學(xué)概念，遵循針對(duì)性原則、典型性原則和過(guò)程性原則，精心設(shè)計(jì)錯(cuò)誤樣例，并以課堂教學(xué)環(huán)節(jié)為入手點(diǎn)，靈活應(yīng)用錯(cuò)誤樣例，使學(xué)生彌補(bǔ)前概念不足，積極探究新概念，扎實(shí)掌握新概念，同時(shí)鍛煉多樣能力，做到學(xué)有所得，提高概念學(xué)習(xí)的質(zhì)量。