巧用齊次化　妙解圓錐曲線斜率問題

劉艷江

摘? ?要：在高三復(fù)習(xí)備考中，很多學(xué)生在處理從一點(diǎn)出發(fā)的兩條直線的斜率之和或斜率之積的問題時(shí)，常采用將方程齊次化的方式巧妙解決問題，但也不是絕對(duì)的，也有優(yōu)缺點(diǎn)，在此從定值、定點(diǎn)等幾個(gè)方面進(jìn)行淺析。

關(guān)鍵詞：斜率之和；斜率之積；齊次化；一元二次方程；韋達(dá)定理

中圖分類號(hào)：G633.6? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1009-010X（2023）20/23-0075-04

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試新高考數(shù)學(xué)1卷的第21題，有不少學(xué)生抓住題干中有“直線AP，AQ的斜率之和為0”這一條件，采用了將方程齊次化的方法巧妙解決第一問的直線斜率問題?；仡櫸覀兊母呷齻淇?，常有學(xué)生利用平移圖象，然后聯(lián)立方程實(shí)現(xiàn)齊次化，即在方程兩邊同除x2后，再利用韋達(dá)定理巧妙解決一類圓錐曲線遇到斜率之和或斜率之積的問題。下面筆者結(jié)合2022年的高考題及備考復(fù)習(xí)中遇到的幾道題，介紹這種方法的優(yōu)點(diǎn)和注意事項(xiàng)，以為高三備考的學(xué)子們提供一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)之談。

比較例4的兩種處理方法我們不難看出，用齊次化聯(lián)立反而比傳統(tǒng)聯(lián)立計(jì)算量要大一些，因?yàn)辇R次化聯(lián)立勢(shì)必要進(jìn)行平移，平移后的橢圓方程不是很簡(jiǎn)潔，常數(shù)項(xiàng)需要利用“1”的平方來升冪以達(dá)到齊次的目的。同時(shí)直接用傳統(tǒng)聯(lián)立已經(jīng)很簡(jiǎn)單了，所以像這類題型，使用齊次化聯(lián)立就有點(diǎn)得不償失。

關(guān)于直線與圓錐曲線方程的傳統(tǒng)聯(lián)立與齊次化聯(lián)立，雖然都是解決問題的一種方法，但各自有各自的優(yōu)點(diǎn)，因此必然會(huì)有其局限性。其實(shí)齊次化能解決的問題，傳統(tǒng)聯(lián)立也同樣能解決，所以每種方法都不是萬能的。希望師生們?cè)诰唧w的解題實(shí)踐中，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，具體情況具體分析，以選擇出最適合的方法。

【責(zé)任編輯 韓梁彥】