Lorentz-Dirac 模型的梯度表示與穩(wěn)定性研究

尹明旭，陳向煒

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

Lorentz-Dirac 方程是一個(gè)非常重要的動(dòng)力學(xué)模型.Lorentz 和Dirac[1-2]分別研究了非相對(duì)論和相對(duì)論輻射反應(yīng)，得到了Lorentz-Dirac 方程.該方程描述了帶電粒子在磁場(chǎng)中并且同時(shí)受輻射阻尼力影響的運(yùn)動(dòng).進(jìn)一步的研究中，Kupriyanov[3]得到了約化的Lorentz-Dirac 方程.丁光濤[4]給出了約化的Lorentz-Dirac 方程在3 種力學(xué)系統(tǒng)中的分析力學(xué)表示，并給出了約化的Lorentz-Dirac 方程的解.羅紹凱[5-6]構(gòu)造了一類分?jǐn)?shù)維Lorentz-Dirac 模型并探討該模型的動(dòng)力學(xué)行為，研究了該模型平衡狀態(tài)流行的穩(wěn)定性.Lorentz-Dirac 模型在工程領(lǐng)域也得到了應(yīng)用[7].梯度系統(tǒng)是一類數(shù)學(xué)系統(tǒng)，是動(dòng)力系統(tǒng)中重要的研究對(duì)象[8].直接通過微分方程構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)是較為困難的，Lyapunov 函數(shù)非常適用于研究梯度系統(tǒng)解的穩(wěn)定性.如果動(dòng)力系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為梯度系統(tǒng)，通過梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較簡(jiǎn)便的.梅鳳翔等[9-12]研究了Lagrange 系統(tǒng)、Hamilton 系統(tǒng)和Birkhoff 系統(tǒng)的梯度系統(tǒng)方法和斜梯度系統(tǒng)方法；李彥敏等[13-14]研究了非自治Birkhoff 系統(tǒng)的廣義斜梯度表示和廣義Birkhoff 系統(tǒng)的兩類廣義梯度表示；陳向煒等[15-16]研究了Chetaev 型非完整系統(tǒng)的廣義梯度表示以及定常Chetaev 型非完整系統(tǒng)的組合梯度表示；張毅[17]得到了一類非自治Birkhoff 系統(tǒng)的梯度表示；王嘉航等[18]給出了事件空間中Birkhoff 系統(tǒng)的2 類廣義梯度表示；章婷婷、董孟峰[19-22]利用組合梯度系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定性問題進(jìn)行了一系列研究.本文進(jìn)一步研究約化Lorentz-Dirac 方程的梯度表示，并用梯度系統(tǒng)方法探討該系統(tǒng)的穩(wěn)定性.首先，給出約化Lorentz-Dirac 方程的斜梯度表示和一種組合梯度表示.其次，利用Lyapunov 函數(shù)研究約化Lorentz-Dirac 方程的穩(wěn)定性，得到穩(wěn)定性判據(jù).最后，舉例說明結(jié)果的應(yīng)用.

1 Lorentz-Dirac 方程

描述帶電粒子在磁場(chǎng)中受輻射阻尼力影響下的運(yùn)動(dòng)微分方程稱為L(zhǎng)orentz-Dirac 方程，分為相對(duì)論Lorentz-Dirac 方程和非相對(duì)論Lorentz-Dirac 方程.將點(diǎn)電荷的世界線記作zα(t)，是關(guān)于時(shí)間t的點(diǎn)電荷的坐標(biāo)函數(shù).記為四維速度，記為四維加速度.相對(duì)論Lorentz-Dirac 方程為

非相對(duì)論Lorentz-Dirac 方程為

式中：m為點(diǎn)電荷質(zhì)量，q是自身電荷，是輻射阻尼力

當(dāng)帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中做阻尼運(yùn)動(dòng)且由于沿z軸運(yùn)動(dòng)解耦，得到了約化的Lorentz-Dirac 方程[4]：

該方程描述了帶點(diǎn)粒子在磁場(chǎng)中做平面阻尼運(yùn)動(dòng).如果 α=0，方程就成為了通常的洛倫茲方程.本文研究一般形式，即 α≠0，β≠0的約化的Lorentz-Dirac 方程.

引入速度空間變量將坐標(biāo)空間中粒子運(yùn)動(dòng)微分方程改寫成狀態(tài)空間中粒子運(yùn)動(dòng)微分方程

令a1=x,a2=y,a3=u,a4=v.就得到了方程的一階化表示

2 梯度系統(tǒng)和組合梯度系統(tǒng)

2.1 梯度系統(tǒng)當(dāng)微分方程可以表示為下列形式

根據(jù)矩陣Ai j的不同類型可以得到以下類型的基本梯度系統(tǒng).

當(dāng)矩陣Ai j為 負(fù)單位矩陣時(shí)系統(tǒng)為通常梯度系統(tǒng)；當(dāng)矩陣Aij為反對(duì)稱時(shí)矩陣系統(tǒng)為斜梯度系統(tǒng)；當(dāng)矩陣Ai j為 對(duì)稱負(fù)定矩陣時(shí)系統(tǒng)為對(duì)稱負(fù)定的梯度系統(tǒng)；當(dāng)矩陣Aij為半負(fù)定矩陣時(shí)系統(tǒng)為半負(fù)定的梯度系統(tǒng)[9].

2.2 組合梯度系統(tǒng)Ⅰ 若系統(tǒng)滿足

式中：矩陣bi j(x)=-bji(x)為反對(duì)稱矩陣，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅰ[9].

由方程（7）可得

若V為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，可知負(fù)定，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2.3 組合梯度系統(tǒng)Ⅱ 若系統(tǒng)滿足

式中：矩陣Sij(x)=S ji(x)為對(duì)稱負(fù)定矩陣，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅱ[9].由方程（9）可得

若V為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，可知負(fù)定，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2.4 組合梯度系統(tǒng)Ⅲ 若系統(tǒng)滿足

式中：矩陣ai j=aij(x)為半負(fù)定矩陣，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅲ[9].

由方程（11）得到

若V為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，可知負(fù)定，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2.5 組合梯度系統(tǒng)Ⅳ 若系統(tǒng)滿足

式中：矩陣bi j(x)=-bji(x)為 反對(duì)稱矩陣，Sij=Si j(x)為對(duì)稱負(fù)定矩陣，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅳ[9].

由方程（13）得到

若V為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，可知負(fù)定，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2.6 組合梯度系統(tǒng)Ⅴ 若系統(tǒng)滿足

式中：矩陣bi j(x)=-bji(x)為 反對(duì)稱矩陣，ai j=aij(x)為半負(fù)定矩陣，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅴ[9].

由方程（15）得到

若V為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，可知負(fù)定，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2.7 組合梯度系統(tǒng)Ⅵ 若系統(tǒng)滿足

式中：矩陣ai j=aij(x)為 半負(fù)定矩陣，Sij=Si j(x)為對(duì)稱負(fù)定矩陣，稱為組合梯度系統(tǒng)Ⅵ[9].

由方程（17）得到

若V為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，可知負(fù)定，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

微分方程化為組合梯度系統(tǒng)后，V為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，若負(fù)定，則系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

3 Lorentz-Dirac 方程的梯度表示

微分方程能夠化為梯度系統(tǒng)的充分必要條件是

通過Lorentz-Dirac 方程的一階化表示（5）得

已知 β≠0，故方程不能化為梯度系統(tǒng)，嘗試將方程化為斜梯度系統(tǒng).

Lorentz-Dirac 方程的一種Birkhoff 表示[5]為

B為Birkhoff 方程，Ru(u=1,2,3,4)為Birkhoff 函數(shù)組.自治Birkhoff 方程的B可直接用來構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)，即取V=αa1-βa2-a3.

就得到了約化Lorentz-Dirac 方程的一種斜梯度表示.

將Lorentz-Dirac 方程化為組合梯度系統(tǒng)并研究穩(wěn)定性.

一階化的微分方程（3）僅與a3和a4相關(guān)，故Lyapunov 函數(shù)僅與a3和a4相關(guān).

4 算例

相對(duì)論Lorentz-Dirac 有

式中：xu=(t,x)是四維時(shí)空中的粒子坐標(biāo)，是四維速度，是四維加速度，F(xiàn)uv=(E,H) 是電磁場(chǎng)張量，c是光速，e是電荷.

非相對(duì)論Lorentz-Dirac 有形式

當(dāng)帶電粒子處于均勻磁場(chǎng)中，H=(0,0,Hz)，E=0.約化的Lorentz-Dirac 方程為

當(dāng)m=c=1時(shí)，可得

因?yàn)棣痢?，所以帶電粒子在xy平面做螺旋運(yùn)動(dòng).此時(shí)α＜0，可以得到零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即帶電粒子在xy平面螺旋運(yùn)動(dòng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

5 結(jié)論

本文利用組合梯度系統(tǒng)方法研究了Lorentz-Dirac 方程的穩(wěn)定性.將約化的Lorentz-Dirac 方程一階化,給出該方程轉(zhuǎn)化為組合梯度系統(tǒng)的條件，通過組合梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究該方程的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性，得到了穩(wěn)定性判據(jù).從研究結(jié)果可以看出Lorentz-Dirac 方程轉(zhuǎn)化為組合梯度系統(tǒng)比轉(zhuǎn)化為梯度系統(tǒng)，條件更加簡(jiǎn)化，可能性更大.本文結(jié)果為研究實(shí)際物理模型的穩(wěn)定性提供了一種方便可行的方法，可以推廣用于其他動(dòng)力學(xué)模型穩(wěn)定性研究.