張夢典，高登巍，董詩萌，苗昊春

(西安現(xiàn)代控制技術研究所，陜西 西安 710065)

0 引言

為了滿足中近程導彈的適用范圍廣、精度高的作戰(zhàn)任務需求,有必要對于在線規(guī)劃彈道的方法進行研究。在線彈道規(guī)劃,即在已知諸元信息的情況下,利用彈載計算機在線完成彈道的規(guī)劃,得到滿足各種約束的光滑彈道,使導彈按照在線計算的彈道飛行。與離線設計彈道的方法相比,在線規(guī)劃方法一方面能夠減小彈載計算機的存儲需求,另一方面能夠通過在線設計滿足各種射程的任務需求,精度相比插值計算進一步提升。

目前,運動規(guī)劃在機器人、飛行器、無人車等領域具有廣泛的應用。其中,RRT[1]、A*算法[2-3]是路徑規(guī)劃中常用的搜索算法,隨著應用場景復雜性的增加,滿足微分約束的RRT*算法[4-5]、智能算法[6-7]等也得到了研究與應用。在軌跡規(guī)劃中,多項式曲線[8-9]、樣條曲線[10-12]經常被應用,以滿足各種動力學約束。然而,這些方法在彈道規(guī)劃中的應用較少,應用的可行性也未得到驗證。

文中設計了一種在線彈道規(guī)劃的方法,具體內容如下:1)根據(jù)少量離線設計的彈道,利用樹形結構進行網(wǎng)格化存儲,大幅減小存儲量;2)用帶約束的分段多項式曲線將網(wǎng)格化曲線還原為光滑彈道,獲取控制指令的初值;3)根據(jù)控制指令的初值在線進行三自由度彈道的積分運算,并根據(jù)實際落點與期望落點的偏差,修正控制指令,重復上述步驟直至計算落點在目標點附近。利用MATLAB對提出的在線彈道規(guī)劃方法進行仿真運算,驗證了方法的可行性、快速性。

1 問題建立

1.1 導彈運動模型

導彈在飛行過程中,在主動段發(fā)動機推力的作用顯著,彈道的形式較為相似。文中將主要針對被動段的彈道進行設計。

對于中近程導彈而言,在被動段除了要考慮空氣動力、引力、控制力之外,還需考慮科里奧利力(Coridis force)慣性力和離心慣性力的作用。為了保證描述時能更好地反映發(fā)射點和目標點的位置關系,導彈的位置用距發(fā)射點的地球弧線距離和海拔高度表示,包括發(fā)射方向上的弧線距離為d;海拔高度為h;側向距離為z。此時導彈的三自由度運動方程可以描述為:

(1)

式中:m代表導彈質量;D,L,Z為導彈受到的氣動力;GV為坐標系轉換矩陣;g代表引力加速度;ωe代表地球自轉角速度與導彈相對地心的角速度之和;r和v分別代表導彈的位置和速度。

1.2 問題描述

文中針對中近程導彈的被動段展開在線彈道規(guī)劃方法的設計,具體要求包括:1)導彈落點在目標附近;2)彈道平滑、連續(xù)且滿足速度、加速度的連續(xù);3)彈道滿足微分約束以及攻角、側滑角的范圍約束。

2 方法設計

2.1 彈道網(wǎng)格化與樹形結構存儲

在進行彈道在線規(guī)劃需基于一定數(shù)量的離線設計的彈道展開。為了減小離線彈道帶來的存儲量,對彈道進行網(wǎng)格化,并利用樹形結構對網(wǎng)格化后的彈道進行存儲。分析表明,該存儲方式可大幅減小數(shù)據(jù)存儲量。

對彈道進行網(wǎng)格化時,針對原始彈道的射程和高度范圍進行等間距劃分。假設射程范圍為[d1,dh],劃分為nd個網(wǎng)格,高度范圍為[h1,hh],劃分為nh個網(wǎng)格。之后,對彈道上的每個點(di,hi)計算網(wǎng)格化后的標識符sd,i和sh,i,可表示為:

(2)

式中round(x)表示最接近x的整數(shù),x的小數(shù)部分恰為0.5時取較大的數(shù)。

在網(wǎng)格化存儲時,只對于標識符進行存儲,因此,標識符完全相同且相鄰的點可以看作一個點,只需存儲一次。因此,網(wǎng)格化存儲不僅減少了需要存儲的點的數(shù)量,存儲的數(shù)據(jù)類型也從浮點型變?yōu)檎?從而達到減小存儲量的作用。

樹形結構存儲,則是借鑒了RRT算法生成的樹形結構,進一步減小數(shù)據(jù)的存儲量。RRT是一種路徑規(guī)劃的方法,在生成路徑時采用樹的結構形式,即:除根節(jié)點外,每個節(jié)點有且僅有一個父節(jié)點,且可以有多個子節(jié)點。RRT搜索的節(jié)點達到目標點附近后,從該節(jié)點開始,依次往前尋找父節(jié)點,由于每個節(jié)點的父節(jié)點唯一,因此可以得到一條從根節(jié)點到目標點附近的唯一確定的路徑。

對于離線設計的彈道而言,當彈道的目標點相同時,彈道末端的形式非常接近。將網(wǎng)格化彈道轉化為樹形結構,具體步驟為:

1)根據(jù)彈道目標點的位置確定樹的個數(shù),每個目標點對應一棵樹,目標點對應的網(wǎng)格化后的節(jié)點為這棵樹的根節(jié)點;

2)對于每條網(wǎng)格化后的彈道,根據(jù)目標點找到其對應的樹,分叉標志設置為0;

3)從根節(jié)點開始倒序存儲彈道,每個節(jié)點的父節(jié)點為彈道上的后一個點。當分叉標志為0,且滿足該節(jié)點在樹中存在、樹中父節(jié)點與自身父節(jié)點相同時,無需額外存儲;否則,需將該節(jié)點確定為新節(jié)點,存儲該節(jié)點及其父節(jié)點在樹中的位置,并將分叉標志置為1。

通過上述步驟實現(xiàn)彈道的樹形結構存儲。樹形結構一方面避免彈道重合度高的部分的重復存儲,另一方面可在定位樹的末節(jié)點后,通過查找父節(jié)點快速重建起網(wǎng)格化彈道。因此,樹形結構可進一步減小存儲量,且查找彈道時不存在大的計算量。

2.2 分段多項式彈道還原

彈道網(wǎng)格化后,精度降低,且不滿足連續(xù)性約束,無法用于計算控制指令。因此,需要將網(wǎng)格化后的彈道還原為光滑、連續(xù)、滿足攻角約束的彈道。文中采用分段多項式對網(wǎng)格化彈道進行還原,將該問題轉化為帶約束的二次規(guī)劃問題進行求解,得到高階連續(xù)且滿足約束的彈道,用于求取控制指令。

采用分段多項式,即將彈道分成多段對時間的參數(shù)不同的多項式。由于彈道是二維的,包含射程d和高度h,即需要對兩個維度分別針對時間t進行分段,采用五階多項式,第i段多項式的公式[9]為:

pi(t)=p0,i+p1,it+p2,it2+…+pn,itn

(3)

式中:p0,i,p1,it,…,pn,i為第i段多項式待確定的n+1個多項式系數(shù)。用二次規(guī)劃的方式,將所有的多項式系數(shù)確定為待優(yōu)化參數(shù),將連續(xù)性條件、攻角約束等設置為等式約束和不等式約束,并根據(jù)需求設置目標,通過求解二次規(guī)劃得到多項式系數(shù)。二次規(guī)劃問題的基本形式[13]為:

(4)

式中:x為待求解變量;f(x)為目標函數(shù),其中H和J分別代表二次目標項和線性目標項;Aeq和beq分別為矩陣和向量,組成等式約束;A和b分別為矩陣和向量,組成不等式約束。

該問題的等式約束包括:

1)初始點的位置、速度、加速度應與初始條件完全相同;

2)分段多項式所有連接點的位置、速度、加速度等的連續(xù)。

該問題的不等式約束包括:

1)彈道上每個點的位置(pd,i,ph,i)在由該點標識符確定的網(wǎng)格約束范圍內,即:

(5)

2)彈道上每個點的加速度應在一定范圍內,該范圍與攻角的限制范圍有關。

對于目標函數(shù),可將其設置為分段多項式的n的導數(shù)的積分。例如,如果希望攻角的變化率較小,可將目標函數(shù)設置為多項式三階導數(shù)的積分。

在利用二次規(guī)劃形式完成對含約束的分段多項式彈道的問題描述后,求解二次規(guī)劃問題,即可完成對分段多項式系數(shù)的求解。得到的分段多項式彈道在滿足彈道平滑、連續(xù)的基礎上,保證了高階連續(xù)及攻角不超限。利用該多項式彈道,可計算出每個彈道點對應的攻角,給出可行、有效的控制指令。

2.3 預測校正法修正控制指令

由于離線的原始彈道是針對某一特定射程、海拔高度設計,如果實際飛行的條件沒有覆蓋到,采用設計的彈道無法使導彈命中目標,因此有必要對彈道進行在線調整,修正控制指令。在給出的控制指令的基礎上,利用預測校正法,對彈道進行積分運算以預測彈道終點,并根據(jù)落點偏差修正控制指令,直至彈道落點能夠到達目標點附近。

為了實現(xiàn)對控制指令的修正,再次通過二次規(guī)劃問題進行求解。求解前的準備工作包括:

1)利用狀態(tài)空間表示形式對導彈三自由度運動過程進行線性化描述,公式[14]為:

(6)

式中:A為系統(tǒng)矩陣;B為輸入矩陣。

2)根據(jù)導彈動力學方程以及每個時刻的狀態(tài)向量x(k)和控制向量u(k),對每個時刻狀態(tài)空間表達式中的A(k)和B(k)進行推導。

3)利用每個時刻的A(k)和B(k),根據(jù)積分公式,建立起下個時刻的狀態(tài)變量x(k+1)與當前時刻的x(k)、u(k)之間的關系[14]為:

x(k+1)=A1(k)x(k)+B1(k)u(k)

(7)

式中:A1(k)和B1(k)分別代表離散狀態(tài)空間的系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。

4)假設當前時刻的x(k)和u(k)分別產生大小為Δx(k)和Δu(k)的變化,當Δx(k)和Δu(k)較小時,下一時刻狀態(tài)變量的變化近似為:

Δx(k+1)=A1(k)Δx(k)+B1(k)Δu(k)

(8)

記xn=[Δx(0)T,Δu(0)T,Δx(1)T,Δu(1)T,…,Δx(n-1)T,Δu(n-1)T,Δx(n)T]T,表示每個時刻狀態(tài)向量和控制向量的變化量,將xn作為待優(yōu)化參數(shù),按照式(4)建立二次規(guī)劃問題。

該問題的等式約束包括初始時刻狀態(tài)向量固定,因此Δx(0)=0;不同時刻狀態(tài)變量之間的關系,即式(8)。

該問題的不等式約束包括攻角、側滑角變化的范圍限制。

在設置目標函數(shù)時,為了使彈道終點在目標點附近,即希望Δx(n)盡可能接近期望的終端條件xf與x(n)的差,因此必須在目標函數(shù)中加入終端約束用于表示這兩者的偏差,不同維度可采用不同權重。此外,如果期望彈道經過特定的點,可以在目標函數(shù)中加入航路點約束;如果希望向量中某一維度的變化較小,也可在H對角線對應位置上加入權重。

由于該二次規(guī)劃問題將終端約束加入目標函數(shù)而非設置為約束,求解該二次規(guī)劃問題只能使x(n)與xf更加接近。因此,如果這二者仍舊存在較大差距,需要在根據(jù)各個時刻的Δu計算得到的新的控制指令u的基礎上,再次進行積分、修正控制指令的操作,完成多次迭代,直至彈道終點達到目標點附近。

3 仿真驗證

在MATLAB平臺上,對于設計的在線彈道規(guī)劃的方法進行仿真驗證。

采用彈道網(wǎng)格化與樹形結構存儲方法,對于離線設計的大量彈道進行存儲。結果表明,樹形結構的網(wǎng)格化彈道,存儲時占用的空間約為原始彈道占用空間的4%,大大緩解了內存占用的問題。

將預計進行在線規(guī)劃的發(fā)射點、目標點的條件設置如表1所示,進行在線彈道規(guī)劃時所用到的離線基準彈道如表2所示。其中條件1、條件2采用基準彈道1,條件3、條件4采用基準彈道2,條件5、條件6采用基準彈道3。

表1 發(fā)射點、目標點條件設置Table 1 Conditions of launch points and target points

表2 基準彈道Table 2 Reference trajectories

利用存儲的具有樹形結構的網(wǎng)格化彈道,采用二次規(guī)劃對分段多項式的基準彈道進行還原。還原后的彈道與離線設計的基準彈道的對比如圖1所示。從圖中可以看出,還原后的彈道在滿足平滑、連續(xù)的基礎上,與對應的基準彈道非常接近,較好地反映了原始彈道的形態(tài)。

圖1 還原后彈道與基準彈道對比Fig.1 Comparison of restored trajectories and reference trajectories

利用還原得到的彈道,可以計算控制指令,并根據(jù)各個條件下彈道終點與目標點位置的差,建立二次規(guī)劃問題,進行控制指令的修正,以完成彈道的在線優(yōu)化。由于基準彈道的射程與期望射程具有一定的差距,一般需要多次迭代才能使彈道目標點附近。在MATLAB平臺的仿真中,彈道的規(guī)劃需用時間約為數(shù)十秒,且主要消耗在二次規(guī)劃的求解過程。圖2～圖7為最終優(yōu)化得到的不同條件下的彈道形式與攻角的變化情況。從圖中可以看出,對于不同條件,控制指令的修正使攻角產生較大差距,彈道形式也發(fā)生較大變化,但都能到達對應的目標點附近,優(yōu)化效果較好。

圖2 條件1、條件2下優(yōu)化后的彈道形式Fig.2 Optimized trajectories under condition 1 and condition 2

圖3 條件1、條件2下優(yōu)化后的攻角形式Fig.3 AOA after optimization under condition 1 and condition 2

圖4 條件3、條件4下優(yōu)化后的彈道形式Fig.4 Optimized trajectories under condition 3 and condition 4

圖5 條件3、條件4下優(yōu)化后的攻角形式Fig.5 AOA after optimization under condition 3 and condition 4

圖6 條件5、條件6下優(yōu)化后的彈道形式Fig.6 Optimized trajectories under condition 5 and condition 6

圖7 條件5、條件6下優(yōu)化后的攻角形式Fig.7 AOA after optimization under condition 5 and condition 6

4 結論

文中設計了一種在線彈道規(guī)劃的方法,以網(wǎng)格化、樹形結構存儲的離線設計的彈道為基礎,通過構建并求解二次規(guī)劃問題,利用分段多項式形式對彈道進行還原,并通過預測校正法,根據(jù)積分獲得的彈道終點與目標點的偏差,并再次建立二次規(guī)劃以求取控制量的修正量,利用多次迭代使彈道達到目標點附近。通過MATLAB平臺上的仿真驗證,得到如下結論:

1)樹形結構存儲的網(wǎng)格化彈道能夠大大減小數(shù)據(jù)存儲量;

2)分段多項式具有較強的擬合能力,對各種形式的彈道都有較好的擬合效果;

3)利用預測校正法,通過構建并求解二次規(guī)劃問題,能夠在滿足攻角約束的情況下,獲取平滑、具有高階連續(xù)性的彈道,通過積分可進一步使彈道滿足微分約束;

4)應用該方法時的計算量主要產生在二次規(guī)劃問題的求解過程,且彈道終點與目標點越接近,求解需用時間越短。