基于深度學習的單元復習課教學設計*
——以人教A版選擇性必修第二冊第四章“數(shù)列”為例

廣東省廣州市第九十七中學 (510260) 徐進勇

關于深度學習的內涵,國內外有很多界定,喻平教授認為有幾點是相對統(tǒng)一的．(1)深度理解．即學習者對知識本質的理解,對事物或知識意義的理解及對自我生命意義的理解．(2)高階思維．即學習者在知識建構、問題解決的過程中,要有多種思維形式介入以及元認知的參與．(3)知識遷移．學習者能將一個學科習得知識或方法遷移到另一學科情境或現(xiàn)實情境中去解決問題．(4)實踐創(chuàng)新．即學生的問題解決能力、遷移能力和創(chuàng)新能力在學習中能夠得到發(fā)展[1]．

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》在教學建議中強調:“教學要整體把握教學內容,把握數(shù)學知識的本質,理解數(shù)學知識產(chǎn)生與發(fā)展過程中所蘊含的數(shù)學思想,在此基礎上,探索通過什么樣的途徑能夠引發(fā)學生思考,讓學生在掌握知識技能的同時,感悟知識的本質,實現(xiàn)教育價值”[2].章建躍博士認為站在“一般觀念”的視角審視數(shù)學知識,超越碎片化的知識觀,追求數(shù)學的整體性,自然生成的就是單元教學．指出單元教學主要特征體現(xiàn)在(1)整體性．基于整體思維的教學設計方式,縱覽全局,從整體上掌握數(shù)學學習內容,從結構上更好地把握數(shù)學知識的整體性．(2)層次性與有序性．強調從單元到課時,先進行單元教學設計,再將本單元內容按知識的發(fā)生發(fā)展過程、學生的認知過程分解到課時．(3)系統(tǒng)性．同一單元的數(shù)學教學內容相對完整,能構成一個相對獨立的知識系統(tǒng)和邏輯關系,有助力學生的系統(tǒng)思維發(fā)展．單元教學的實施要按“總—分—總”的形式展開,前一個“總”常常以章引言展開,后一個“總”往往是以單元復習課結束．單元復習課對單元的回顧、總結、整合、聯(lián)系、拓展、升華具有重要意義,是單元教學必不可缺少的重要環(huán)節(jié)．下面以人教A版選擇性必修第二冊“數(shù)列”為例,基于深度學習的內涵構建單元復習課,促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．

1 梳理數(shù)列的學習路徑,深度理解數(shù)列概念,形成“一般觀念”

問題1 數(shù)列單元主要學習了哪些內容?這些內容是按怎樣的邏輯展開的?又是如何研究的?

預設:數(shù)列的內容與已學的函數(shù)有相似之處,既包括一般數(shù)列,又包括特殊數(shù)列,因此數(shù)列內容的編排采用了與函數(shù)相似的框架,這也是研究一個數(shù)學對象的基本路徑,即數(shù)列的事實—數(shù)列概念的定義、表示—性質—等差數(shù)列與等比數(shù)列．等差數(shù)列與等比數(shù)列的研究,也都采用了與研究基本初等函數(shù)類似的路徑,即“事實—概念—性質—應用”．等比數(shù)列與等差數(shù)列在研究思路和方法上有很強的可類比性,都是通過發(fā)現(xiàn)取值規(guī)律獲得定義,通過與相應函數(shù)類比探索性質,通過運算、代數(shù)變換等一般性的方法解決相關問題等,突出“遞推關系—通項公式—求和公式—實際問題”的研究路徑,具體如圖1．

圖1

設計意圖：梳理數(shù)列的研究內容、研究路徑、研究方法與研究視角,形成“數(shù)列”這一數(shù)學對象的研究套路．讓學生形成用“數(shù)列”的眼光的看待問題,用“數(shù)列”的思維思考問題,用“數(shù)列”的語言表達問題的意識與能力,實現(xiàn)“四基”的落實與“四能”的提升．

2 以“一般觀念”為指導,創(chuàng)新問題解決,形成高階思維

教材中章頭圖(如圖2)的背景是遼闊而波濤洶涌的大海以及遠處的燈塔,象征著數(shù)學的悠久文化與歷史傳承,數(shù)學是指引人類文明進步的“燈塔”．沙灘上畫“三角形數(shù)”、“四邊形數(shù)”、“五邊形數(shù)”傳說是古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在海灘上研究數(shù)學問題,他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù),并通過擺成的某些形狀來研究數(shù)的規(guī)律．

圖2

問題2 你發(fā)現(xiàn)“三角形數(shù)”、“四邊形數(shù)”、“五邊形數(shù)”分別是多少?

預設:通過觀察可得到三角形數(shù)1,3,6,10,…,四邊形數(shù)1,4,9,16,…,五邊形數(shù)1,5,12,22,….

問題3 按照數(shù)列的研究套路,從運算的角度你能發(fā)現(xiàn)項與項間存在怎樣的關系?

預設:三角形數(shù)滿足an+1-an=n+1;四邊形數(shù)滿足an+1-an=2n+1;五邊形數(shù)滿足an+1-an=3n+1．

問題4 你能由遞推關系求出通項公式嗎?

問題5 你能求它們的和嗎?

預設:可利用分組求和法,但我不知道12+22+32+…+n2=?

圖3

圖4

預設:1+3+5+…+(2n-1)=n2.

問題7 如果我們把三角形數(shù)中的點擴大到一個小圓圈,再在每個小圓圈按規(guī)律填上數(shù)字:第1行填1,第2行都填2,…,第n行都填n(如圖5(a)),這個三角形所有小圓圈的數(shù)字和怎樣表示?

圖5(a) 圖5(b)

圖5(c) 圖5(d)

預設:1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

問題8 將這個三角形按順時針方向旋轉120°得到第二個三角形(如圖5(b));再將這第二個三角形按順時針方向旋轉120°得到第三個三角形(如圖5(c)),將這三個三角形對應位置的小圓圈里的數(shù)相加,得到第四個三角形(如圖5(d)),則第四個三角形中所有數(shù)字之和是多少呢?

設計意圖：依據(jù)等差、等比數(shù)列的研究思路,回歸對章頭圖的研究,一方面讓學生經(jīng)歷以“一般觀念”為引導的探究式學習,體會“研究套路不變,思想方法不變”,逐步掌握解決數(shù)學問題的那個“相似的方法”,同時從相鄰兩項差為常數(shù)轉變?yōu)橄噜弮身棽钍且粋€變量,實現(xiàn)了高階思維的躍進,體現(xiàn)方法的高通路遷移;另一方面,教師提供的新材料,也是對“數(shù)形理論”拓展,使學生對章頭圖的涵義有深度理解,彰顯數(shù)學文化內涵的同時,拓寬了學生視野,培養(yǎng)學生實踐創(chuàng)新,過程中有具體形象思維、抽象邏輯思維介入以及元認知的參與,提高了學生的數(shù)學直觀與數(shù)學推理能力．

3 探索一般數(shù)列解決方案,形成通性通法,實現(xiàn)知識遷移

等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中兩種特殊數(shù)列,高中階段只學習這兩種數(shù)列,如何把一般數(shù)列轉化到這兩種數(shù)列中去,并通過等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與求和公式解決問題也本單元學習的一個重點和難點.

教材“4.3等比數(shù)列”例12:某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200,預計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%,且在每年年底賣出100頭牛,設牧場從今年起每年初的計劃存欄數(shù)依次為c1,c2,c3,….(1)寫出一個遞推公式,表示cn+1與cn之間的關系;(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式,其中k,r為常數(shù);(3)求S10=c1+c2+c3,…+c10的值(精確到1)．

問題9 例題向我們說明怎樣的解題思路,對你有何啟發(fā)?

預設:將cn+1=1.08cn-100轉化為一個等比數(shù)列,體現(xiàn)將一般數(shù)列通過變形轉化為等差或等比數(shù)列．

追問:上述問題的轉化方法具有一般性嗎?即形如an+1=pan+q(其中p,q為常數(shù)),如何求其通項公式．

變式方向一:將常數(shù)q變?yōu)殛P于n為變量的代數(shù)式．

題1 若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+n-1,如何求{an}的通項公式．

分析:由an+1=2an+n-1得an+1+(n+1)=2(an+n),所以{an+n}是等比數(shù)列．

題2 若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+2n,如何求{an}的通項公式．

題3 若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2n,如何求{an}的通項公式

變式方向二:兩項間遞推關系變?yōu)槿楅g遞推關系．

題1 若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2-2an+1+an=2,如何求{an}的通項公式．

分析:由an+2-2an+1+an=2得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,所以數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列．

題2 斐波那契數(shù)列{an},a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,如何求{an}的通項公式．

設計意圖：從特殊到一般,從常量到變量,從二項到三項,實施“形”與“質”的變化,提高學生的應用遷移能力,發(fā)展了學生的高階思維,使學生對“變形”的目標、策略有清晰的理解．整個過程有利于學生形成對數(shù)列的完整認識與本質理解,體會知識的發(fā)展過程與相互聯(lián)系,體現(xiàn)思想的一致性與方法的普適性,學生的“四能”得到發(fā)展．

4 用“數(shù)列模型”解決綜合問題,實踐應用中文化育人

隨著高科技與信息技術的發(fā)展,數(shù)學在自然科學、工程技術領域發(fā)揮著越來越重要的作用．在用數(shù)學方法解決科技和生產(chǎn)領域問題的過程中,關鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學模型并計算求解,因此數(shù)學建模已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一．

例題(2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學理科試卷新課標Ⅰ第21改編)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗．試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．現(xiàn)甲、乙兩種藥的治愈率分別為0.5和0.8．若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,并且有5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)．請求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

預設:由5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)整理可得pi+1-pi=4(pi-pi-1),∴{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是以p1-p0為首項,4為公比的等比數(shù)列,得pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i,∴p8-p7=p1·47,p7-p6=p1·46,…,p1-p0=p1·40.

設計意圖：通過實例讓學生體會用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界,以高考題為例,更有說服力．一方面向學生說明高考數(shù)學題的命題趨勢,即提高利用數(shù)學知識解決跨學科問題或現(xiàn)實問題,要有較強的遷移能力與建模應用能力．另一方面也能讓學生體會數(shù)學的“善”—服務于生活,服務于社會及人類的應用價值;欣賞數(shù)學的“美”—“掩蓋不住冰冷美麗下火熱的思考”;崇尚數(shù)學的“真”—震撼于數(shù)學的理性精神,這一切終將遷移、升華,并內化為學生自身的思維品質與科學素養(yǎng)．

所以,單元復習課的設計要站在知識整體的高度,在整體視角下確定目標、設計情境、把握內容、選擇方法、實現(xiàn)應用,要突出聯(lián)系、遷移與創(chuàng)新,使學習成為一種有生命的意義建構,以達到徹底解決問題和情感的滿足,方能實現(xiàn)深度學習的目標,最終讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地．