林致睿,李建興,石宇靜,周從航

(1.福建理工大學 電子電氣與物理學院,福建 福州 350118;2.福建省工業(yè)集中自動化行業(yè)技術開發(fā)基地,福建 福州 350118)

永磁同步電動機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)因制造成本低、功率因素高、調速范圍寬、控制性能良好等優(yōu)點,被廣泛應用于工業(yè)生產等領域[1]。然而,永磁同步電動機作為一種多變量、強耦合的高度非線性系統(tǒng),在某些參數(shù)范圍下表現(xiàn)出混沌振蕩現(xiàn)象,可能導致電流低頻振蕩,扭矩間歇性波動,轉速忽高忽低等問題,對電動機的動態(tài)響應性能及其運行的穩(wěn)定性造成嚴重危害[2]。因此,學者們提出一些控制方法消除永磁同步電動機的混沌振蕩現(xiàn)象,保證永磁同步電動機的穩(wěn)定運行[3～5]。例如,文獻[3]提出了一種消除和抑制永磁同步電動機混沌振蕩的自適應魯棒控制方法。文獻[5]針對外部因素導致的永磁同步電動機的參數(shù)不確定時,設計了自適應有限時間控制器消除電動機的混沌振蕩現(xiàn)象。上述控制方法主要用于解決單臺永磁同步電動機的振蕩問題,但在實際中常常遇到數(shù)量眾多的電動機互聯(lián)的復雜電動機網(wǎng)絡。利用復雜網(wǎng)絡的同步控制方法研究復雜電機網(wǎng)絡的混沌振蕩問題具有重要的現(xiàn)實意義?，F(xiàn)有的同步控制方法主要有自適應控制、節(jié)點反饋控制、優(yōu)化控制、事件驅動控制、混合控制等[6]。近年來,因PID(Proportion integration differentiation)控制器具有簡單的反饋控制結構,并且不需要精確的數(shù)學模型[7],基于PID控制的復雜網(wǎng)絡同步研究也引起關注。Peng等[8]針對具有有向拓撲結構的時滯復雜網(wǎng)絡,設計了PI(proportion integration)和PD(proportion differentiation)控制器,并考慮保證復雜網(wǎng)絡全局同步的充分條件。Lin等[9]分別建立有外部干擾和無外部干擾的多輸出耦合復雜網(wǎng)絡的模型,在所設計的PD和PI控制器作用下,分別實現(xiàn)了兩種復雜網(wǎng)絡的H∞輸出同步。而Gu等人[10]結合PI控制和自適應控制思想,提出了自適應PI控制器設計方法,利用隨機分析技術和LaSalle不變原理,證明了具有隨機耦合的非線性復雜網(wǎng)絡的同步誤差系統(tǒng)的均方穩(wěn)定性。

然而,上述PID控制器僅僅是在時間趨于無窮的復雜網(wǎng)絡才能達到同步狀態(tài)。實際應用更希望可以在有限時間內實現(xiàn)同步,以節(jié)約時間和成本、提高效益和利潤。文獻[11]提出了一種保證一類具有多狀態(tài)/微分耦合的復雜網(wǎng)絡有限時間無源性和有限時間同步的PD控制器設計方案。但其所設計的PD控制器中含有符號函數(shù),而符號函數(shù)的不連續(xù)性會導致系統(tǒng)產生抖振的負面影響。

綜上,本課題圍繞復雜網(wǎng)絡有限時間同步控制開展研究,旨在將復雜網(wǎng)絡有限同步控制理論應用于電動機網(wǎng)絡研究,設計一種無抖振、高收斂性的PD控制器實現(xiàn)復雜網(wǎng)絡的有限時間同步,使整個系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)性能和抗干擾能力。

1 永磁同步電動機網(wǎng)絡的數(shù)學模型

單臺永磁同步電動機在d-q旋轉坐標系下的數(shù)學模型如下[12～13]:

(1)

式中,id、iq和ω分別表示永磁同步電動機系統(tǒng)d軸定子電流、q軸定子電流和轉子角速度;R1表示定子繞組;ψr是轉子磁極永久磁通;Ld和Lq分別表示d軸和q軸的定子電感;J是轉動慣量;β表示轉子粘性阻尼系數(shù);np是極對數(shù);ud、ud和TL分別表示d軸、q軸的定子電壓和外部扭矩;其中,R1、β、J、Ld、Lq和TL均為正數(shù)。

代入(1)式,則變換后的無量綱狀態(tài)方程為:

(2)

其中:

本研究針對氣隙均勻的永磁同步電動機,即Ld=Lq=L時,式(2)可變換為:

(3)

已有研究表明,當永磁同步電動機處在負載加電工作情況下,永磁同步電動機在一定的系統(tǒng)參數(shù)選擇和外部輸入下會出現(xiàn)混沌振蕩狀態(tài)[2,15]。如圖1所示,當σ=5.46、γ=25時,令初始條件id(0)=5 A,iq(0)=1 A,ω(0)=-1 rad/s,永磁同步電動機系統(tǒng)的各狀態(tài)變量處于無規(guī)則的振蕩狀態(tài),其仿真的三維混沌吸引子如圖2所示?；煦缯袷帬顟B(tài)可能會影響電機的工作狀態(tài),甚至引起電機傳動系統(tǒng)的崩潰。

圖1 永磁同步電動機狀態(tài)變量混沌振蕩曲線Fig.1 Chaotic oscillation curve of PMSM state variables

圖2 單臺永磁同步電動機混沌吸引子Fig.2 Chaotic attractor of a single PMSM

由N個永磁同步電動機系統(tǒng)構建的多電機網(wǎng)絡在一定的系統(tǒng)參數(shù)下,同樣呈現(xiàn)無周期的混沌振蕩非同步狀態(tài)。在多電機互聯(lián)網(wǎng)絡模式中,單機故障有可能會進一步誘發(fā)級聯(lián)故障,導致整個電機網(wǎng)絡系統(tǒng)的癱瘓;同時在多電機網(wǎng)絡中需要協(xié)調多臺電動機的運行,而混沌振蕩現(xiàn)象會影響同步協(xié)調工作難以進行,進而導致電動機傳動系統(tǒng)的崩潰。

以單臺永磁同步電動機系統(tǒng)為節(jié)點,構造含有N個節(jié)點的電動機網(wǎng)絡,則電動機網(wǎng)絡的第i個節(jié)點的動力學方程如下:

(4)

(5)

則(4)可以看成如下由N個節(jié)點構成的一般化復雜網(wǎng)絡模型的特殊形式:

(6)

其中xi(t)=[xi1,xi2,…,xin]T∈n,表示第i個節(jié)點的狀態(tài)向量;f(xi(t))=[f1(xi1(t),f2(xi2(t)),…fn(xin(t))]T∈n表示連續(xù)的非線性向量值函數(shù),用于描述每個孤立節(jié)點的動力學;ui(t)∈n表示第i個節(jié)點的控制輸入;00;A=(aij)N*N表示外部耦合矩陣(網(wǎng)絡拓撲結構),若第i個節(jié)點和第j個節(jié)點之間有連接,則aij=aji>0,否則aij=aji=0,且

備注1由外部耦合矩陣A的定義可知,A=-L,其中,矩陣L為拉普拉斯矩陣。對于一個無向圖,矩陣L是對稱的。且0是矩陣L的一個特征值,其對應的特征向量為lN=[1,…,1]T。根據(jù)Gershgorin定理,在無向圖中,L的所有非零特征值都是正的。因此,A的所有非零特征值都為負。即矩陣A是一個對稱負半定矩陣。當且僅當無向圖是連通時,0是L的一個特征值。因此,對于連通無向圖,矩陣A的特征值為0=λ1≥λ2≥…≥λN。

2 復雜網(wǎng)絡有限時間同步控制的預備知識

本研究的目標是通過設計合適的控制策略,在多機互聯(lián)模式下控制電機網(wǎng)絡的同步穩(wěn)定性,將處在任意狀態(tài)的電動機網(wǎng)絡在有限時間內控制在穩(wěn)定狀態(tài)值。

令s(t)=(s1(t),s2(t),….sN(t))Τ∈N為復雜動態(tài)網(wǎng)絡的穩(wěn)定平衡點,假設它是唯一的且滿足

定義同步誤差為ei(t)=xi(t)-s(t),則同步誤差系統(tǒng)可以描述為:

(7)

定義1對于復雜動態(tài)網(wǎng)絡(1),若存在某一時刻t*>0,使得

假設1假設函數(shù)f(x)滿足Lipschitz條件,即存在一個常數(shù)μ>0,對于?x1,x2∈n有如下不等式成立:

‖f(x1)-f(x2)‖≤μ‖x1-x2‖

引理1[16]給定一個對稱矩陣A∈N×N且令λmax(A)和λmin(A)分別為矩陣A的最大特征值和最小特征值,則

λmin(A)ζTζ≤ζTAζ≤λmax(A)ζTζ,?ζ∈N

引理2[17]對于任意θi∈,i=1,2,…,n,0<τ≤1,有如下不等式成立:

引理3[18]假設一個連續(xù)且正定的函數(shù)V(t)滿足以下不等式條件:

其中,l>0,0<η<1,k>0,那么對于任意初始時刻t0,當V1-η(t0)

t0≤t≤t1

且

V(t)=0,t≥t1

3 PD控制器設計

為實現(xiàn)復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)在有限時間內達到同步,設計PD控制器實現(xiàn)復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)有限時間同步,并通過有限時間穩(wěn)定性引理加以證明,設計PD控制器如下:

(8)

由式(7)和式(8)可得同步誤差系統(tǒng)為:

(9)

定理1考慮由式(6)描述的復雜動態(tài)網(wǎng)絡,在假設1成立的條件下,在PD控制協(xié)議(8)的作用下,當滿足:

則復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)可達到有限時間同步。

證明:選取如下Lyapunov函數(shù)

(10)

根據(jù)耦合矩陣A的定義,備注1可知矩陣A為對稱半負定矩陣。又由KD>0,因此矩陣IN-KD(A?Γ)為正定矩陣且最小特征值λmin(IN-KD(A?Γ))=1。

計算V(t)沿系統(tǒng)(9)的導數(shù)并考慮假設1成立,得到:

KP(β?IN)eε(t)]

(11)

由(11)式可得:

Γ)e(t)]η

(12)

由假設1可得:

(13)

根據(jù)引理2可得:

(eT(t)e(t))η

(14)

根據(jù)引理1和(13)、(14)可得:

(15)

4 仿真

永磁同步電動機系統(tǒng)的參數(shù)設置為σ=5.46,γ=20。考慮含有N=5個節(jié)點的永磁同步電動機網(wǎng)絡,耦合強度c=0.5,外部耦合矩陣如下:

電動機網(wǎng)絡各個節(jié)點的初始狀態(tài)分別為:

x1(0)=[-1.062,3.665,-7]Τ,

x2(0)=[4.8,-7.65,-3.8]Τ,

x3(0)=[-1.55,3.714,-4.58]Τ,

x4(0)=[2.5,-3.36,-3.23]Τ,

x5(0)=[-2.3058,3.888,1.8]Τ.

圖3 未施加控制時同步誤差Fig.3 Synchronization errors without control

圖4描述了在PD控制的作用下,永磁同步電動機網(wǎng)絡各節(jié)點的狀態(tài)與目標平衡點之間的同步誤差變化曲線,可見永磁同步電動機網(wǎng)絡各節(jié)點的狀態(tài)與目標控制點之間的同步誤差在有限時間內趨于零,即電動機網(wǎng)絡各節(jié)點的狀態(tài)在有限時間內被控制到目標平衡點,保證了永磁同步電動機網(wǎng)絡短時間內達到電動機的穩(wěn)定控制目標值,并在該目標值狀態(tài)下同步正常運行。

圖4 PD控制器作用下同步誤差Fig.4 Synchronization errors under PD controller

為了進一步驗證本研究所設計方法的優(yōu)勢,將PD控制器(8)與文獻[15]所設計的控制器進行對比。文獻[15]提出的控制器如式(16)所示:

ui=cdΓ(xi-s(t))

(16)

其中,c=0.5,d=1.5,其他系統(tǒng)參數(shù)設置相同。則在控制器式(16)的作用下,復雜網(wǎng)絡同步誤差軌跡如圖5所示。

圖5 在文獻[15]控制器作用下的同步誤差Fig.5 Synchronization errors under controller of Reference [15]

比較本研究和文獻[15]的控制器作用下的同步誤差軌跡圖可見,兩種方法都可以使整個電動機網(wǎng)絡在有限時間內被控制到目標平衡點。但是,在文獻[15]所設計控制器的作用下,復雜電機網(wǎng)絡的同步誤差達到穩(wěn)定的時間需要4 s,而本研究設計的控制器僅需要1 s,即在本研究設計的PD控制器作用下,同步速度更快,效果更佳。

5 結語

本研究以單臺永磁同步電動機為節(jié)點,建立永磁同步電動機的復雜網(wǎng)絡模型,研究復雜電機網(wǎng)絡有限時間同步問題。所設計的有限時間PD控制器不帶符號函數(shù),克服了現(xiàn)有的有限時間同步控制器抖振的缺陷,具有結構簡單、連續(xù)、同步性能好、控制器容易實現(xiàn)等優(yōu)點。不同于以往解決單臺永磁同步電動機系統(tǒng)混沌振蕩的問題,本研究設計PD控制器對多電機互聯(lián)網(wǎng)絡進行同步控制,將處在混沌振蕩的電動機網(wǎng)絡所有節(jié)點在有限時間內控制在穩(wěn)定平衡點,并通過有限時間穩(wěn)定理論分析得到抑制電動機網(wǎng)絡混沌振蕩的充分條件,數(shù)值仿真實驗驗證了該理論分析的正確性。