喬文正 袁維海 辜繼明

doi：10.11835/j.issn.1000.582X.2023.09.008

收稿日期：2022-04-30

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41807223， 12102002）；安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2020A0260）；呂梁市科技計(jì)劃項(xiàng)目（2022RC24）。

Foundation：Supported by the National Natural Science Foundation of China （41807223， 12102002）， the Natonal Science Foundation Granted by Department of Education，Anhui Province （KJ2020A0260）， and Science and Technology Projects of Lyvliang City （2022RC24）.

作者簡(jiǎn)介：?jiǎn)涛恼?986—），男，博士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)工程和巖土工程研究，（E-mail）qiaowzh@llu.edu.cn。

通信作者：袁維海，男，副研究員，碩士生導(dǎo)師，（E-mail）yuanwh@hhu.edu.cn。

摘要：為了實(shí)現(xiàn)從顯式拓?fù)鋬?yōu)化到拉壓桿模型的自然過(guò)渡，同時(shí)保持拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)與拉壓桿模型的拓?fù)湟恢滦?，以可移?dòng)變形組件拓?fù)鋬?yōu)化為例，建立了顯式拓?fù)鋬?yōu)化拉壓桿模型自動(dòng)提取方法。該方法是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化的結(jié)合，采用Voronoi骨架提取和形狀優(yōu)化，由骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化3部分構(gòu)成。結(jié)果表明，該方法自動(dòng)構(gòu)建了受力合理且?guī)缀我?guī)則的拉壓桿模型；Voronoi骨架提取從顯式拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)提取了光滑的中軸骨架；以類桁架指標(biāo)為約束的形狀優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了拉壓桿模型從框架結(jié)構(gòu)到桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)變。

關(guān)鍵詞：顯式拓?fù)鋬?yōu)化；Voronoi圖；骨架；拉壓桿模型

中圖分類號(hào)：TU375 ?????????文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ?????文章編號(hào)：1000-582X（2023）09-066-12

Automatic extraction method of strut-and-tie models for explicit topology optimization

QIAO Wenzheng^1，2， YUAN Weihai²， GU Jiming³

（1. Department of Architecture， Lyuliang University， Lyuliang，?Shanxi 033001， P. R. China; 2. College of Mechanics and Materials， Hohai University， Nanjing 211100， P. R. China; 3. School of Management Science and Engineering， Anhui University of Technology， Maanshan， Anhui 243002， P. R. China）

Abstract： To achieve the natural transition from explicit topology optimization to strut-and-tie models， while maintaining the topology consistency between the two， an automatic extraction method of strut-and-tie models using explicit topology optimization was developed. The proposed method is demonstrated using topology optimization based on moving morphable components as an example. It combines computer graphics and structural optimization techniques， employing skeleton extraction based on Voronoi diagram and shape optimization. The method consists of three main steps： skeleton extraction， frame extraction and shape optimization. The results show that the method can automatically generate strut-and-tie models with reasonable force distribution and regular geometry. The skeleton extraction based on Voronoi diagram extracts smooth and medial skeleton from the optimized structure obtained through explicit topology optimization. Shape optimization constrained by truss-like index realizes the qualitative change of strut-and-tie models from a frame structure to a truss structure.

Keywords： explicit topology optimization; Voronoi diagram; skeleton; strut-and-tie models

借助拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)建拉壓桿模型（strut-and-tie models， STM）已經(jīng)成為一種共識(shí)。根據(jù)優(yōu)化模型的表達(dá)方式，拓?fù)鋬?yōu)化可分為隱式拓?fù)鋬?yōu)化和顯式拓?fù)鋬?yōu)化。隱式拓?fù)鋬?yōu)化包括經(jīng)典的固體各向同性懲罰方法（SIMP）和漸近結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（ESO）。顯式拓?fù)鋬?yōu)化是顯示邊界演化的一類高效拓?fù)鋬?yōu)化方法。自2014年可移動(dòng)變形（moving morphable components， MMC）拓?fù)鋬?yōu)化方法^[1]提出以來(lái)，顯式拓?fù)鋬?yōu)化^[2?5]迎來(lái)了快速的發(fā)展。Bruggi^[6]成功地將SIMP方法應(yīng)用于二維和三維構(gòu)件拉壓桿模型的研究。Du等^[7]在SIMP方法中引入雙模量本構(gòu)關(guān)系，提出了考慮拉壓不同模量的拓?fù)鋬?yōu)化方法，并成功應(yīng)用于拉壓桿模型中。Xia等^[8]提出了一種不同拓?fù)鋬?yōu)化的拉壓桿模型自動(dòng)化評(píng)估方法。該方法采用桁架提取算法實(shí)現(xiàn)了從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到桁架模型的自動(dòng)化，并采用3個(gè)定量指標(biāo)對(duì)STM進(jìn)行評(píng)價(jià)。Xia等^[9]提出了由拓?fù)鋬?yōu)化、拓?fù)涮崛『托螤顑?yōu)化構(gòu)成的二維STM拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)建方法，并采用非線性有限元評(píng)估STM的結(jié)構(gòu)性能。此后，Xia等^[10]又研究了三維STM的SIMP構(gòu)建方法。Liang等^[11-12]將性能優(yōu)化方法成功應(yīng)用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)的拉壓桿模型的研究。Almeida^[13]將光滑ESO方法用于拉壓桿模型的研究，并與ESO方法在計(jì)算準(zhǔn)確性和效率上進(jìn)行了比較。劉霞等^[14]采用遺傳ESO算法構(gòu)建鋼筋混凝土平面構(gòu)件的拉壓桿模型，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行配筋優(yōu)化。Victoria等^[15]將考慮拉壓不同模量的等值線拓?fù)鋬?yōu)化方法用于拉壓桿模型研究。Zhang等^[16]采用分離單元模型的遺傳ESO方法對(duì)鋼筋混凝土構(gòu)件進(jìn)行受力鋼筋的布局優(yōu)化，證實(shí)了該方法可以有效減少鋼筋用量。Zhong等^[17]將微桁架單元的ESO方法應(yīng)用于對(duì)帶有洞口的缺口梁拉壓桿模型研究，提出了由初步評(píng)估、詳細(xì)評(píng)估和最終評(píng)估構(gòu)成的一套評(píng)估體系。Zhong等^[18]將微桁架單元的ESO擴(kuò)展到三維情況，通過(guò)后張拉錨固區(qū)、T形梁和箱形梁3個(gè)實(shí)例證明了該方法在構(gòu)建三維STM的有效性和正確性。

基于拓?fù)鋬?yōu)化的STM研究多集中在隱式拓?fù)鋬?yōu)化。筆者^[19?20]研究了基于MMC拓?fù)鋬?yōu)化的STM的有效性和高效性，探討了STM的自動(dòng)提取。作為類桁架的一般化，拉壓桿模型的桿件應(yīng)為二力桿件。然而，自動(dòng)提取的STM往往并非桁架結(jié)構(gòu)，受力形式與框架結(jié)構(gòu)類似，稱之為“框架結(jié)構(gòu)”。此外，該框架結(jié)構(gòu)在桿件平行性和對(duì)稱性方面也較為欠缺。

從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型，要么人為因素多，隨意性大，要么需要繁瑣的手動(dòng)操作。為了實(shí)現(xiàn)從拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)到STM的自動(dòng)化，借鑒Xia等^[8?10]的思路，建立由骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化構(gòu)成的顯式拓?fù)鋬?yōu)化的拉壓桿模型自動(dòng)提取方法。骨架提取采用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的Voronoi骨架提取法。在形狀優(yōu)化中引入類桁架指數(shù)，以期實(shí)現(xiàn)STM從框架結(jié)構(gòu)到桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)變，構(gòu)建受力合理且?guī)缀我?guī)則的STM。

1拉壓桿模型自動(dòng)提取方法

顯式拓?fù)鋬?yōu)化的共同之處在于結(jié)構(gòu)的邊界由拓?fù)涿枋龊瘮?shù)顯式地表達(dá)。以MMC拓?fù)鋬?yōu)化方法為例，進(jìn)行顯式拓?fù)鋬?yōu)化的STM自動(dòng)提取。該方法以MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化，最終形成受力合理且?guī)缀我?guī)則的STM。STM自動(dòng)提取方法流程如圖1所示。以下從基本概念、骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化4部分對(duì)STM自動(dòng)提取方法進(jìn)行闡述。

1.1基本概念

1.1.1 骨架和中軸

骨架（skeleton）定義為圖形的極大開(kāi)球的球心的集合。它在角色動(dòng)畫和網(wǎng)格變形領(lǐng)域廣泛使用。中軸（medial axis）定義為圖形極大內(nèi)切球球心的集合，在平面圖形中，中軸往往為平面曲線，也稱為中軸線。對(duì)于平面圖形，骨架和中軸并不完全相同，區(qū)別甚微。為了方便，統(tǒng)一采用骨架來(lái)進(jìn)行敘述，將骨架和中軸完全等同。

1.1.2 Voronoi圖和Delaunay三角剖分

Voronoi圖是根據(jù)1組共面點(diǎn)對(duì)平面的1種剖分。在每一點(diǎn)周圍形成1個(gè)多邊形，多邊形內(nèi)任一點(diǎn)到該點(diǎn)的距離比到組中其他點(diǎn)的距離更近。組中所有點(diǎn)的Voronoi多邊形的集合稱為Voronoi圖。由于Voronoi在平面部分上的等分性特征，可以用來(lái)近似平面圖形的骨架。Delaunay三角剖分是將平面劃分為一系列相連且不重疊的三角形，此三角形是滿足空?qǐng)A性質(zhì)的一種三角劃分。

1.1.3 Crust算法

Crust算法^[21?22]是一種由平面點(diǎn)集構(gòu)建最可能的多段線算法。對(duì)于平面問(wèn)題，crust算法即為把無(wú)序點(diǎn)連成線的過(guò)程。如果取樣點(diǎn)足夠密，那么多段線將越光滑。Crust算法與Voronoi圖和Delaunay三角剖分有密切關(guān)系。圖2為平面圖形邊界離散點(diǎn)的Voronoi圖。根據(jù)Voronoi邊在平面圖形的位置，將Voronoi邊分為3類：完全在區(qū)域內(nèi)、部分在區(qū)域內(nèi)和完全在區(qū)域外。只保留完全在平面圖形區(qū)域內(nèi)的Voronoi邊，形成了該平面圖形的骨架。若對(duì)邊界離散點(diǎn)進(jìn)行Delaunay三角剖分，Delaunay三角形的自由邊構(gòu)成了平面圖形的近似多段線邊界，如圖3所示。

1.2骨架提取

為了從二維優(yōu)化結(jié)構(gòu)提取一維STM，需要進(jìn)行骨架提取。根據(jù)是否采用模型的內(nèi)部信息，骨架提取大體上可分為實(shí)體方法和幾何方法兩大類。實(shí)體方法又分為細(xì)化方法和距離場(chǎng)方法。常見(jiàn)的幾何方法包括Voronoi圖法^[23?24]、Reeb圖法和拉普拉斯方法。對(duì)于具有顯式邊界的MMC方法，幾何方法更加適合。拉普拉斯方法多用于由點(diǎn)云表達(dá)的空間問(wèn)題。故對(duì)MMC拓?fù)鋬?yōu)化的STM提取采用Voronoi骨架提取法。

MMC方法采用結(jié)構(gòu)拓?fù)涿枋龊瘮?shù)的零水平集表示結(jié)構(gòu)的邊界。這些零水平集的元素形成了優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界的離散點(diǎn)。在優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界與設(shè)計(jì)域邊界相交處添加部分結(jié)點(diǎn)，即可形成完整的優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界離散點(diǎn)。繪制該邊界離散點(diǎn)的Voronoi圖，并通過(guò)crust算法形成優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界。采用點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)外識(shí)別算法，只保留完全在優(yōu)化結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)的Voronoi邊，形成帶有分支的骨架。最后，通過(guò)分支修剪方法^[24?25]，形成多段線骨架?？傊羌芴崛?shí)現(xiàn)了從二維優(yōu)化結(jié)構(gòu)到一維多段線骨架的過(guò)渡。

1.3框架提取

多段線骨架由多條平面曲線組成，而STM由多條平面直線組成。從平面曲線到平面直線的過(guò)程稱之為“框架”提取?？蚣苤柑崛〗Y(jié)果的結(jié)構(gòu)類型往往為框架結(jié)構(gòu)?？蚣芴崛】煞譃楹蜻x結(jié)點(diǎn)識(shí)別、最終結(jié)點(diǎn)識(shí)別和框架結(jié)構(gòu)構(gòu)建3個(gè)步驟。在多段線骨架中，按端點(diǎn)所處的位置，候選結(jié)點(diǎn)可分為端結(jié)點(diǎn)、中間結(jié)點(diǎn)和分支結(jié)點(diǎn)。遍歷骨架結(jié)點(diǎn)，形成骨架結(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系。只有1個(gè)與之相連的結(jié)點(diǎn)為端結(jié)點(diǎn)，2個(gè)與之相連的結(jié)點(diǎn)為中間結(jié)點(diǎn)，3個(gè)及以上與之相連的結(jié)點(diǎn)為分支結(jié)點(diǎn)。將端結(jié)點(diǎn)和分支結(jié)點(diǎn)當(dāng)作候選結(jié)點(diǎn)。

若候選結(jié)點(diǎn)相距較近，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化。一般來(lái)說(shuō)，如果2個(gè)結(jié)點(diǎn)的距離小于1個(gè)容許值（可取構(gòu)件較大邊長(zhǎng)的5%），這2個(gè)結(jié)點(diǎn)可簡(jiǎn)化為1個(gè)結(jié)點(diǎn)，即它們的中點(diǎn)。對(duì)于多個(gè)相距較近候選結(jié)點(diǎn)，從2個(gè)最近的結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，重復(fù)上述的2點(diǎn)簡(jiǎn)化規(guī)則，直到所有點(diǎn)之間的距離不小于這個(gè)容許值。為了避免形成較短桿件，對(duì)特殊結(jié)點(diǎn)，如荷載作用點(diǎn)和支座結(jié)點(diǎn)，需進(jìn)行特殊處理。若候選結(jié)點(diǎn)距特殊結(jié)點(diǎn)較近時(shí)，直接向特殊結(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化即可，相當(dāng)于刪除距特殊結(jié)點(diǎn)較近的候選結(jié)點(diǎn)。

構(gòu)建框架結(jié)構(gòu)，需要確定最終結(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系。首先，由于優(yōu)化結(jié)構(gòu)和骨架具有拓?fù)湟恢滦?，可采用?yōu)化結(jié)構(gòu)的洞口信息當(dāng)作骨架洞口信息。優(yōu)化結(jié)構(gòu)的洞口采用優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界來(lái)識(shí)別。優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界通常為多條閉合多段線，每條閉合多段線形成一個(gè)多邊形，優(yōu)化結(jié)構(gòu)為最大多邊形與其余多邊形的布爾差，最大多邊形的邊界對(duì)應(yīng)于優(yōu)化結(jié)構(gòu)的外邊界，其余多邊形的邊界對(duì)應(yīng)于優(yōu)化結(jié)構(gòu)的洞口邊界。遍歷洞口和最終結(jié)點(diǎn)，分別儲(chǔ)存洞口周邊的結(jié)點(diǎn)信息和結(jié)點(diǎn)附近的洞口信息。其次，將結(jié)點(diǎn)信息和洞口信息相結(jié)合，以洞口中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，按逆時(shí)針將與該洞口相關(guān)的結(jié)點(diǎn)依次連接。最后，將荷載作用點(diǎn)和支座結(jié)點(diǎn)與最近的結(jié)點(diǎn)相連接，可得與優(yōu)化結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的框架結(jié)構(gòu)。

1.4形狀優(yōu)化

自動(dòng)提取的框架結(jié)構(gòu)的受力合理性和幾何規(guī)則性均有所欠缺，可由形狀優(yōu)化來(lái)加以改善。為了形成軸力為主的STM，采用類桁架指標(biāo)作為衡量框架結(jié)構(gòu)與桁架結(jié)構(gòu)的相似度。以類桁架指標(biāo)為約束的形狀優(yōu)化，最早由Xia等^[8?10]提出并成功應(yīng)用于STM的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)建。以框架結(jié)構(gòu)的自由結(jié)點(diǎn)為設(shè)計(jì)變量，以類桁架指標(biāo)為約束條件，框架結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能達(dá)到最小時(shí)，框架結(jié)構(gòu)近似為桁架模型。在形狀優(yōu)化中，可施加平行和對(duì)稱約束，使STM更加簡(jiǎn)單實(shí)用。

1.4.1 類桁架指標(biāo)

采用框架單元對(duì)框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，進(jìn)而獲得各框架單元的內(nèi)力。為了減小框架單元所受的彎矩和剪力，采用長(zhǎng)細(xì)比較大的框架單元?？蚣軉卧獧M截面為矩形，其寬度與構(gòu)件寬度相同，高度取寬度的0.01倍。由于彎矩和剪力的存在，桿件不再是軸向受力桿件。因此，類桁架指標(biāo)可定義為

1.4.2 優(yōu)化列式

在類桁架指標(biāo)的約束下，使框架結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能達(dá)到最小的形狀優(yōu)化問(wèn)題，可表示為

式中：x為形狀優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量，即框架結(jié)構(gòu)可變結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)列向量；C（x）和I（x）分別為形狀優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)；K（x）、F和u（x）分別為框架結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣、荷載列陣和位移列陣；x_max和x_min分別為設(shè)計(jì)變量的上下限；I_t（x）和I_t，min分別為類桁架指標(biāo)和類桁架指標(biāo)的最小值，I_t，min可取接近于1的值，如0.995。

2數(shù)值實(shí)現(xiàn)

框架結(jié)構(gòu)有限元分析中，各單元結(jié)點(diǎn)間既可以傳遞軸力，也可以傳遞彎矩和剪力。框架單元自由度如圖4所示。框架單元由2個(gè)結(jié)點(diǎn)i和j構(gòu)成，每個(gè)結(jié)點(diǎn)各3個(gè)自由度，單元的局部和整體坐標(biāo)自由度分別為u_e=[u_i1，u_i2，u_i3，u_j1，u_j2，u_j3]^T和U_e=[U_i1，U_i2，U_i3，U_j1，U_j2，U_j3]^T。u_e可由U_e和轉(zhuǎn)換矩陣T得出：

u_e=TU_e，（3）

其中，

框架單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

K_e=T^TK_elT， （5）

其中，

形狀優(yōu)化采用MMA算法作為最優(yōu)化算法。目標(biāo)和約束函數(shù)的梯度采用中心差分法求解，步長(zhǎng)取單元尺寸的0.1倍，直到設(shè)計(jì)變量的最大波動(dòng)小于0.001 m。對(duì)于平行和對(duì)稱約束，可以通過(guò)減少相應(yīng)的設(shè)計(jì)變量來(lái)實(shí)現(xiàn)。

3數(shù)值算例

對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)中單側(cè)牛腿和開(kāi)洞深梁，采用Voronoi提取法自動(dòng)構(gòu)建框架結(jié)構(gòu)，并對(duì)框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行形狀優(yōu)化，獲得類桁架結(jié)構(gòu)的STM。拓?fù)鋬?yōu)化采用MMC拓?fù)鋬?yōu)化代碼^[26]。為了便于理解，在STM提取中，采用統(tǒng)一的表示方法：候選結(jié)點(diǎn)采用藍(lán)色方形點(diǎn)表示，最終結(jié)點(diǎn)采用綠色圓形點(diǎn)表示，形狀優(yōu)化后的結(jié)點(diǎn)用藍(lán)色圓形點(diǎn)表示，拉或壓桿采用紅色實(shí)線表示。

3.1單側(cè)牛腿

單側(cè)牛腿的計(jì)算簡(jiǎn)圖和MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖5所示。MMC拓?fù)鋬?yōu)化的參數(shù)和過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[19]。

MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)的邊界由677個(gè)已知坐標(biāo)的二維點(diǎn)進(jìn)行離散，采用crust算法計(jì)算該優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界。該邊界由6條閉合多段線構(gòu)成，6條閉合多段線又構(gòu)成6個(gè)多邊形。MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)由最大的多邊形與其余5個(gè)多邊形的布爾差運(yùn)算生成，MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)的5個(gè)洞口則對(duì)應(yīng)5個(gè)較小的多邊形（見(jiàn)圖6（b）中5種不同顏色的區(qū)域）。

復(fù)雜的拓?fù)湫枰^多的邊界離散點(diǎn)，較多的邊界離散點(diǎn)生成了較復(fù)雜的Voronoi圖。經(jīng)過(guò)內(nèi)外識(shí)別，可以生成帶有少量細(xì)小分支的骨架。經(jīng)修剪后，可以獲得由多段線構(gòu)成的理想骨架。該骨架較好地滿足了拓?fù)湟恢滦?、?xì)性、光滑性和中軸性。

在候選結(jié)點(diǎn)識(shí)別中，可識(shí)別出3個(gè)端結(jié)點(diǎn)和11個(gè)中間結(jié)點(diǎn)。若2個(gè)候選結(jié)點(diǎn)的距離小于135 mm，進(jìn)行結(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化。若候選結(jié)點(diǎn)距支座和荷載結(jié)點(diǎn)較近，為了避免較小桿件，只保留支座和荷載結(jié)點(diǎn)。

由拓?fù)湟恢滦钥芍?，骨架和?yōu)化結(jié)構(gòu)的拓?fù)涞葍r(jià)。因此，骨架和優(yōu)化結(jié)構(gòu)具有相同的洞口信息。單側(cè)牛腿結(jié)點(diǎn)和洞口信息如表1所示。以洞口中心為原點(diǎn)，從正北方向開(kāi)始逆時(shí)針依次連接各結(jié)點(diǎn)，形成最終的STM，如圖7所示。

在形狀優(yōu)化中，以類桁架指標(biāo)為約束條件，框架結(jié)構(gòu)中共11個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中8個(gè)結(jié)點(diǎn)為自由結(jié)點(diǎn)。若只考慮變量的上下限約束，該形狀優(yōu)化共16個(gè)設(shè)計(jì)變量，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的類桁架指標(biāo)由0.96增加到1.00。優(yōu)化后，最為明顯的變化是與荷載作用點(diǎn)相連的桿件由傾斜變?yōu)樨Q直，這就保證了該桿件為軸向受壓桿件，實(shí)現(xiàn)了由框架結(jié)構(gòu)向桁架結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變。若考慮部分桿件的平行約束，設(shè)計(jì)變量數(shù)由16減少為14；若再增加沿水平方向的對(duì)稱性約束，設(shè)計(jì)變量數(shù)由16減少為10。單側(cè)牛腿形狀優(yōu)化如圖8所示。單側(cè)牛腿形狀優(yōu)化前后結(jié)點(diǎn)平面坐標(biāo)如表2所示。

3.2開(kāi)洞深梁

開(kāi)洞深梁是一類重要的混凝土構(gòu)件，洞口使得深梁應(yīng)力分布趨于復(fù)雜。開(kāi)洞深梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖和MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖9所示。MMC拓?fù)鋬?yōu)化中，混凝土彈性模量為2 0820 MPa，泊松比為0.15，構(gòu)件的厚度為400 mm，容許體積比為0.35。采用四結(jié)點(diǎn)的等參平面應(yīng)力單元對(duì)設(shè)計(jì)域進(jìn)行有限元離散，有限元單元的邊長(zhǎng)為50 mm，有限單元總數(shù)為13 200。開(kāi)洞深梁初始拓?fù)溆?6個(gè)組件構(gòu)成。經(jīng)過(guò)309次迭代，達(dá)到最優(yōu)拓?fù)洌钚∪岫饶繕?biāo)值為17.11 kJ。

開(kāi)洞深梁MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)的邊界由1 280個(gè)點(diǎn)進(jìn)行離散。通過(guò)crust算法形成優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界（見(jiàn)圖10（b））。通過(guò)近似邊界分析，可識(shí)別出該優(yōu)化結(jié)構(gòu)有3個(gè)洞口。開(kāi)洞深梁邊界離散點(diǎn)的Voronoi圖，如圖11所示。開(kāi)洞深梁骨架和框架提取分別如圖12和圖13所示。

在開(kāi)洞深梁的STM中，左側(cè)的傾斜桿件部分跨越了洞口，如圖14（a）所示，這一點(diǎn)可以在形狀優(yōu)化中通過(guò)約束加以解決。形狀優(yōu)化后STM，如圖14（b）所示。開(kāi)洞深梁形狀優(yōu)化前后結(jié)點(diǎn)平面坐標(biāo)，如表3所示。

4結(jié)??論

針對(duì)MMC拓?fù)鋬?yōu)化的STM構(gòu)建，利用Voronoi骨架提取和形狀優(yōu)化，建立了顯式拓?fù)鋬?yōu)化的STM自動(dòng)提取方法，并通過(guò)單側(cè)牛腿和開(kāi)洞深梁驗(yàn)證了其有效性，得到如下結(jié)論：

1）?STM自動(dòng)提取方法構(gòu)建了受力合理且?guī)缀我?guī)則的STM。

2）?Voronoi骨架提取法從MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)提取了光滑的中軸骨架。

3）以類桁架指數(shù)為約束的形狀優(yōu)化實(shí)現(xiàn)了STM從框架結(jié)構(gòu)到桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)變。

參考文獻(xiàn)

［1］??Guo X， Zhang W S， Zhong W L. Doing topology optimization explicitly and geometrically—a new moving morphable components based framework[J]. Journal of Applied Mechanics， 2014， 81（8）： 081009.

［2］??Zhang W S， Yang W Y， Zhou J H， et al. Structural topology optimization through explicit boundary evolution[J]. Journal of Applied Mechanics， 2017， 84（1）： 011011.

［3］??Zhang W S， Li D D， Kang P， et al. Explicit topology optimization using IGA-based moving morphable void （MMV） approach[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2020， 360： 112685.

［4］??Yang H， Huang J Y. An explicit structural topology optimization method based on the descriptions of areas[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2020， 61（3）： 1123-1156.

［5］??Zhu B L， Wang R X， Wang N F， et al. Explicit structural topology optimization using moving wide Bezier components with constrained ends[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2021， 64（1）： 53-70.

［6］??Bruggi M. Generating strut-and-tie patterns for reinforced concrete structures using topology optimization[J]. Computers & Structures， 2009， 87（23/24）： 1483-1495.

［7］??Du Z L， Zhang W S， Zhang Y P， et al. Structural topology optimization involving bi-modulus materials with asymmetric properties in tension and compression[J]. Computational Mechanics， 2019， 63（2）： 335-363.

［8］??Xia Y， Langelaar M， Hendriks M A N. A critical evaluation of topology optimization results for strut-and-tie modeling of reinforced concrete[J]. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering， 2020， 35（8）： 850-869.

［9］??Xia Y， Langelaar M， Hendriks M A N. Automated optimization-based generation and quantitative evaluation of Strut-and-Tie models[J]. Computers & Structures， 2020， 238： 106297.

［10］??Xia Y， Langelaar M， Hendriks M A N. Optimization-based three-dimensional strut-and-tie model generation for reinforced concrete[J]. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering， 2021， 36（5）： 526-543.

［11］??Liang Q Q， Xie Y M， Steven G P. Topology optimization of strut-and-tie models in reinforced concrete structures using an evolutionary procedure[J]. ACI Structural Journal， 2000， 97（2）： 322-331.

［12］??Liang Q Q， Xie Y M， Steven G P. Generating optimal strut-and-tie models in prestressed concrete beams by performance-based optimization[J]. ACI Structural Journal， 2001， 98（2）： 226-232.

［13］??Almeida V S， Simonetti H L， Neto L O. Comparative analysis of strut-and-tie models using Smooth Evolutionary Structural Optimization[J]. Engineering Structures， 2013， 56： 1665-1675.

［14］??劉霞， 易偉建. 鋼筋混凝土平面構(gòu)件的配筋優(yōu)化[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2010， 27（1）： 110-114.

Liu X， Yi W J. Reinforcement layout optimization of RC plane components[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics， 2010， 27（1）： 110-114.（in Chinese）

［15］??Victoria M， Querin O M， Martí P. Generation of strut-and-tie models by topology design using different material properties in tension and compression[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2011， 44（2）： 247-258.

［16］??Zhang H Z， Liu X， Yi W J. Reinforcement layout optimisation of RC D-regions[J]. Advances in Structural Engineering， 2014， 17（7）： 979-992.

［17］??Zhong J T， Wang L， Deng P， et al. A new evaluation procedure for the strut-and-tie models of the disturbed regions of reinforced concrete structures[J]. Engineering Structures， 2017， 148： 660-672.

［18］??Zhong J T， Wang L， Zhou M， et al. New method for generating strut-and-tie models of three-dimensional concrete anchorage zones and box girders[J]. Journal of Bridge Engineering， 2017， 22（8）： 04017047.

［19］??Qiao W Z， Chen G R. Generation of strut-and-tie models in concrete structures by topology optimization based on moving morphable components[J]. Engineering Optimization， 2021， 53（7）： 1251-1272.

［20］??喬文正， 陳國(guó)榮， 路國(guó)運(yùn). 基于可移動(dòng)變形組件拓?fù)鋬?yōu)化方法的梁柱節(jié)點(diǎn)拉壓桿模型研究[J]. 太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 52（3）： 444-449.

Qiao W Z， Chen G R， Lu G Y. Research on strut-and-tie models of beam-column connections by topology optimization based on moving morphable components[J]. Journal of Taiyuan University of Technology， 2021， 52（3）： 444-449.（in Chinese）

［21］??Amenta N， Bern M， Eppstein D. The crust and the beta-skeleton： combinatorial curve reconstruction[J]. Graphical Models and Image Processing， 1998， 60（2）： 125-135.

［22］??Amenta N， Choi S H， Kolluri R K. The power crust， unions of balls， and the medial axis transform[J]. Computational Geometry-Theory and Applications， 2001， 19（2/3）： 127-153.

［23］??Ogniewicz R， Ilg M. Voronoi skeletons： theory and applications[C]//1992 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition， June 15-18， 1992， Illinois， USA. California： IEEE Computer Society Press， 1992： 63-69.

［24］??Karimipour F， Ghandehar M. Voronoi-based medial axis approximation from samples： issues and solutions[C]//Gavrilova M L， Tan C J K， Kalantari B. International Symposium on Voronoi Diagrams， June 27-29， 2012， NJ， USA. Berlin： Springer， 2013.

［25］??Shen W， Bai X， Yang X W， et al. Skeleton pruning as trade-off between skeleton simplicity and reconstruction error[J]. Science China Information Sciences， 2013， 56（4）： 048101.

［26］??Zhang W S， Yuan J， Zhang J， et al. A new topology optimization approach based on Moving Morphable Components （MMC） and the ersatz material model[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2016， 53（6）： 1243-1260.

（編輯??陳移峰）