汪敏

【摘 ?要】 ?放縮方法是解答函數(shù)與導(dǎo)數(shù)證明問題的一種常見方法，以不同函數(shù)類型進(jìn)行區(qū)分，常見的放縮公式有、和等.掌握常見放縮公式的具體應(yīng)用情境和求解思路，有助于學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)和掌握放縮方法.本文主要列舉3個(gè)不同常見的放縮公式，探討分析運(yùn)用的情境和解題思路.

【關(guān)鍵詞】 ?放縮法；函數(shù)與倒數(shù)；指數(shù)函數(shù)

通過近年來高考試題的觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題中，很少單獨(dú)考查初等函數(shù)，而是綜合考察一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等各種類型，命題經(jīng)常涉及求最值、極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的零點(diǎn)、參數(shù)的取值范圍等等，從而全面檢測(cè)考生將不同板塊的知識(shí)融會(huì)貫通，靈活解題的能力.然而，在解題過程中，有的解析式過于復(fù)雜，有的求導(dǎo)繁瑣，導(dǎo)致考生難以進(jìn)行運(yùn)算，無從下手，甚至中途放棄.

1 ?指數(shù)放縮

當(dāng)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的證明問題中存在指數(shù)函數(shù)時(shí)，運(yùn)用放縮公式解答問題十分常見.該放縮公式源于教材的一組習(xí)題，通過證明發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用在其他函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題中.運(yùn)用該放縮公式證明相關(guān)問題，具體解題步驟可表現(xiàn)為：①證明需要運(yùn)用的放縮公式成立，代入問題相關(guān)的不等式中進(jìn)行部分放縮，②根據(jù)放縮后不等式結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)函數(shù)解析式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)和值域，對(duì)放縮后的不等式進(jìn)行證明，③由于放縮得到的不等式成立，故問題原不等式也隨之成立.

例1已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明.

分析首先證明放縮公式成立，其次借用對(duì)不等式進(jìn)行放縮，可轉(zhuǎn)化為證明不等式成立，此時(shí)對(duì)放縮后不等式構(gòu)造函數(shù)，討論構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和極值，通過證明放縮后不等式成立，繼而證明問題原不等式成立.

解析由，得，

即證明，

令，則，

因?yàn)闀r(shí)，

所以當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，是函數(shù)的最小值，

所以恒成立，

即恒成立，

因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

即不等式等價(jià)于證明，

令，

則，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

所以在上，函數(shù)單調(diào)遞增；

在上，函數(shù)單調(diào)遞減；是函數(shù)的最小值，

因?yàn)楹愠闪?，即成立?/p>

所以當(dāng)時(shí)，.

2 ?對(duì)數(shù)放縮

當(dāng)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的證明問題中存在對(duì)數(shù)函數(shù)類型時(shí)，放縮法解答相關(guān)問題運(yùn)用的公式有，運(yùn)用該公式對(duì)其不等式、函數(shù)或?qū)?shù)進(jìn)行放大或縮小，進(jìn)而使問題求解更加直接簡(jiǎn)潔.運(yùn)用該放縮公式證明相關(guān)問題，具體解答步驟為：①證明放縮公式成立，②將其代入問題函數(shù)或?qū)?shù)中放縮，得到放大后或縮小后的不等式，③證明放縮后不等式成立，即可達(dá)到問題所求目的.

例2??已知函數(shù)，試證明：時(shí)，在上恒成立.

分析 ?根據(jù)不等式構(gòu)建新函數(shù)，先證明成立，再將其代入函數(shù)中進(jìn)行放縮.由于需要證明的不等式中含有參數(shù)，故首先對(duì)參數(shù)的大小進(jìn)行分類討論，分情況討論不等式的成立情況.根據(jù)對(duì)應(yīng)單調(diào)性和極值進(jìn)一步討論放縮后不等式是否成立，即可證明原不等式成立.

解析??令，

則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

，

所以恒成立，

即恒成立，

令，

則，

• 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，恒成立；
• 當(dāng)時(shí)，在恒有成立，不符合題意，
• 時(shí)，由時(shí)，

可得可得，

即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以時(shí)，恒成立，

故，

令得，

當(dāng)時(shí)，

在上遞增，，故不符合題意，

綜上所述，時(shí)，在上恒成立.

3 ?結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用常見的放縮結(jié)論證明函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題，能使問題的證明更加簡(jiǎn)潔直觀.不同的放縮結(jié)論應(yīng)用有著對(duì)應(yīng)合適的情境，需要學(xué)生進(jìn)行準(zhǔn)確判斷.只有在合適的情境中運(yùn)用正確的放縮思路，才能準(zhǔn)確快捷解答問題.總的來說，放縮法是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中非常重要的一種解題思路.通過巧妙地運(yùn)用代數(shù)技巧和數(shù)學(xué)不等式，可以有效地縮小問題的范圍，簡(jiǎn)化問題的求解過程，從而解決原本復(fù)雜的問題.在高考中，許多常見的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題都可以通過放縮法來解決，例如求證函數(shù)單調(diào)性、證明最值等問題.因此，對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者來說，掌握放縮法解題技巧是非常重要的.同時(shí)，我們也需要注意，放縮法雖然可以縮小問題的范圍，但也需要一定的思維能力和數(shù)學(xué)功底來運(yùn)用，需要在多做題和不斷練習(xí)中逐漸掌握.

參考文獻(xiàn)：

[1]關(guān)傳平.談?wù)劮趴s法在"函數(shù)與導(dǎo)數(shù)"中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2020（10）：12-14.

[2]吳躍，陶來舟.例析用放縮法解導(dǎo)數(shù)中的存在性問題[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)：高中版（下），2018（02）.38-39.