范佳欣，孫福芹

具有無癥狀感染者和病毒變異的傳染病模型

范佳欣，孫福芹

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222）

研究了一類具有無癥狀感染者和病毒變異的傳染病模型．計(jì)算了模型的基本再生數(shù)，求出了模型的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)．根據(jù)Jacobi矩陣特征根的符號(hào)，利用Lyapunov函數(shù)法，分析了基本再生數(shù)不同取值時(shí)無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性情況．通過數(shù)值模擬對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證．

無癥狀感染者；病毒變異；傳染病模型；穩(wěn)定性

傳染病模型是數(shù)學(xué)在生物學(xué)中應(yīng)用的一個(gè)途徑，為人類了解傳染病特性提供了一定的幫助[1-8]．近幾年爆發(fā)的新冠肺炎疫情再次引起了人們對(duì)于傳染病的關(guān)注，新冠病毒自身存在的復(fù)雜的變異情況是新冠疫情蔓延廣泛而持久的一個(gè)重要原因．為了更好地了解存在病毒變異的傳染病的傳播情況，需要對(duì)具有病毒變異情況的傳染病模型進(jìn)行研究．文獻(xiàn)[9]對(duì)具有病毒變異的SEIR傳染病模型進(jìn)行了分析．而在新冠肺炎疫情中，存在不表現(xiàn)出臨床癥狀，卻能夠傳播感染的無癥狀感染者，這與潛伏期患者不同，這樣的特性也將對(duì)疫情的傳播產(chǎn)生一定的影響．本文在具有病毒變異的傳染病模型基礎(chǔ)上，考慮無癥狀感染者對(duì)于傳染病傳播的影響，建立一類具有無癥狀感染者和病毒變異的傳染病模型，并分析其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．

1　模型的建立

基于病毒發(fā)生變異情況的傳染病模型，考慮無癥狀感染者對(duì)病毒傳播的影響，建立一類具有無癥狀感染者和病毒變異的傳染病模型，即

式中：分別為時(shí)刻易感人群、無癥狀感染人群、病毒變異前的感染人群、病毒變異后的感染人群和移除人群在總?cè)巳褐械恼急?，無癥狀感染者是指表示不表現(xiàn)出臨床癥狀，但能夠傳播感染的傳染病患者；為出生率和自然死亡率；，，分別為無癥狀感染者、病毒變異前的感染者和病毒變異后的感染者的有效接觸率；，，分別為無癥狀感染者、病毒變異前的感染者和病毒變異后的感染者的移除率；為無癥狀感染者的癥狀發(fā)作率；為病毒變異前的感染者轉(zhuǎn)換為病毒變異后的感染者的比率．模型（1）的流程見圖１，初始條件為，并屬于集合．

2　基本再生數(shù)與平衡點(diǎn)的存在性

3　平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

將式（5）～（8）代入式（2）中，可得

4　數(shù)值模擬

圖2 無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

由圖2可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與定理3～4結(jié)論相符．

5　結(jié)語(yǔ)

[1] 杜金姬，秦闖亮，陳海波，等．一類具有病毒變異的隨機(jī)SEIR傳染病模型的滅絕性與平穩(wěn)分布[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2021，34（3）：768-778．

[2] 梁桂珍，方慧文，王偉杰．一類具有Logistic增長(zhǎng)和病毒變異的SEIR傳染病模型的穩(wěn)定性分析[J]．河南科技學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，49（2）：48-53．

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[5] 夏立標(biāo)．一類傳染病模型無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性[J]．浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2014，41（4）：391-398．

[6] Wendi W，Zhien M．Harmless Delays for Uniform Persistence[J]．Journal of mathematical analysis and applications，1991，158（1）：256-268．

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[8] 高建忠，李志民．利用代數(shù)方法證明地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性[J]．哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，35（2）：234-236．

[9] Gao Jianzhong，Zhang T．Analysis on an SEIR Epidemic Model with Logistic Death Rate of Virus Mutation[J]．Journal of Mathematical Research with Applications，2019，39（3）：259-268．

[10] Van den Driessche P，Watmough J．Reproduction Numbers and Sub-Threshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of Disease Transmission[J]．Mathematical Biosciences，2002，180（1）：29-48．

[11] Castillo-Chavez C，F(xiàn)eng Z，Huang W．On the Computation of Ro and its Role On Global Stability[J]．Mathematical Approaches for Emerging and Reemerging Infectious Diseases，2002，125：229-250．

Epidemic model with asymptomatic infection and virus mutation

FAN Jiaxin，SUN Fuqin

（School of Sciences，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A class of epidemic model with asymptomatic infection and virus mutation was studied．The basic reproduction number of the model were calculated，the disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point of the model were obtained．Then，the sign of the characteristic root of Jacobi matrix and the method of Lyapunov functions were used to analys the stability of the disease-free equilibrium point and endemic equilibrium point with different values of basic reproduction number．Finally，the obtained results were verified by numerical simulation．

asymptomatic infection；virus mutation；epidemic model；stability

1007-9831（2023）09-0009-07

O175.13

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.09.003

2023-01-03

范佳欣（1998-），女，江西新余人，在讀碩士研究生，從事生物數(shù)學(xué)研究．E-mail：fanjiaxin.1118@qq.com

孫福芹（1970-），男，山東單縣人，教授，博士，從事偏微分方程及生物數(shù)學(xué)研究．E-mail：sfqwell@163.com