一題多析感真知 深度探究促思維
——2023年江蘇省高考物理卷第16題賞析與解讀

丁洪良

(丹陽市教師發(fā)展中心,江蘇 丹陽 212300)

帶電粒子在電磁復(fù)合場中的運(yùn)動問題是高中物理教學(xué)的重難點(diǎn),同時(shí)也是高考命題的重點(diǎn).一方面在于其此類情境通常與現(xiàn)代前沿科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān),能體現(xiàn)中國高考評價(jià)體系要求的“應(yīng)用性”和“創(chuàng)新性”;另一方面在于此類情境通常涉及力、電、能等知識板塊內(nèi)容,體現(xiàn)了高考評價(jià)體系要求的“基礎(chǔ)性”和“綜合性”,考查頻率相對較高．“滾輪線運(yùn)動模型”又是其中最為經(jīng)典之一.其中2008年江蘇省高考卷、2011年和2013年福建省高考卷、2022年全國高考卷都考查了這一模型.2023年江蘇高考物理卷第16題再次對此進(jìn)行了考查.下面對本次江蘇壓軸題的命題和解答進(jìn)行相關(guān)剖析．

1 原題再現(xiàn)

(2023年江蘇卷)霍爾推進(jìn)器某局部區(qū)域可抽象成如圖1所示的模型．Oxy平面內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從O點(diǎn)沿x軸正方向水平入射．入射速度為v0時(shí),電子沿x軸做直線運(yùn)動;入射速度小于v0時(shí),電子的運(yùn)動軌跡如圖中的虛線所示,且在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等．不計(jì)重力及電子間相互作用．

圖1

(1) 求電場強(qiáng)度的大小E;

2 模型溯源

2.1 速度選擇器模型

圖2

2.2 滾輪線運(yùn)動模型

滾輪線又稱圓滾線或擺線,是一個剛性圓形滾輪在水平地面上沿直線做純滾動時(shí),輪沿上的任一點(diǎn)的運(yùn)動軌跡(如圖3所示)．本題中,當(dāng)粒子速度不等于v0時(shí),粒子就會向上或向下發(fā)生偏轉(zhuǎn),做軌跡恰為滾輪線的復(fù)雜曲線運(yùn)動,故可從運(yùn)動合成和分解的角度入手,找到一條便捷的思路,第(2)(3)小問均可考慮此法．

圖3

3 多種解法

以第(3)小問為例,可以從不同的角度出發(fā),選擇不同方法求解.

解法1:設(shè)電子以速度v入射時(shí),剛好能達(dá)到的最高點(diǎn)位置的縱坐標(biāo)為y2(圖4),且對應(yīng)速度為vm,根據(jù)題干條件“電子在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等”,由受力分析示意圖知兩合外力分別為evmB-Ee和Ee+evB,故有evmB-Ee=Ee+evB,結(jié)合E=v0B解得

圖4

vm+v=2v0.

(1)

再根據(jù)動能定理得

(2)

由式(1)(2)聯(lián)立解得

(3)

解法2:粒子運(yùn)動過程中,由于x方向不受電場力作用,故其x方向上動量的變化一定是由洛倫茲力的沖量引起的,則由動量定理寫出微分表達(dá)式并求和,得到

∑BevyΔt=Bey2=mvm-mv.

(4)

聯(lián)立式(2)(4)求得

這種解法,無須用到題干給出的“電子在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等”這個關(guān)鍵條件．

解法3:前面提到,通過運(yùn)動的分解思想,可以將電子的實(shí)際運(yùn)動等效為一個勻速直線運(yùn)動和一個勻速圓周運(yùn)動的合運(yùn)動.這需要做一些技術(shù)處理,一般稱之為“配速”.“配速”程序如下:第1步首先確定粒子做勻速直線運(yùn)動的分速度v1,方法是根據(jù)粒子所受的洛倫茲力與電場力二力平衡從而解出v1(不妨將v1稱作直線速度);第2步根據(jù)3個速度滿足矢量運(yùn)算法則v=v1+v2求出分速度v2.v2所對應(yīng)的洛倫茲力使粒子做勻速圓周運(yùn)動(不妨將v2稱作圓周速度);第3步利用左手定則判斷其圓周運(yùn)動繞行方向.

具體到本題,首先根據(jù)兩力平衡得Ee=ev1B,再將第(1)問求出的E=v0B代入可得直線速度v1=v0．故當(dāng)入射速度v

圖5

v2=v0-v.

(5)

圖6

同樣,以上方法也可用于第(2)問,相對簡單,不再贅述.

4 反思拓展

問題1:題干中說“入射速度小于v0時(shí),電子的運(yùn)動軌跡如圖中的虛線所示”,那如果入射速度大于v0,電子的運(yùn)動軌跡又是何種形式?

分析:如果v>v0,粒子所受洛倫茲力大于電場力,會向下偏轉(zhuǎn),根據(jù)v的大小不同,可能有以下3種情形,不同情形取決于粒子在最低點(diǎn)的合速度方向．

(1) 情形1: 若v0

圖7 圖8

(2) 情形2: 若v=2v0,入射O點(diǎn)的兩個分速度如圖9所示,由于v2=v0,當(dāng)電子運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí),v合=0,故電子實(shí)際軌跡應(yīng)如圖10所示.

圖9 圖10

(3) 情形3: 若v>2v0,入射O點(diǎn)的兩個分速度如圖11所示,由于v2>v0,當(dāng)電子運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí),v合=v2-v0,方向向左,故電子實(shí)際軌跡應(yīng)如圖12所示.

圖11 圖12

問題2:題干中說 “電子在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等”,為什么會是這樣?

分析:從“等效替代觀念”看,由于電子的運(yùn)動可以視為勻速直線運(yùn)動和勻速圓周運(yùn)動的疊加,故其所受合外力也即勻速圓周運(yùn)動的向心力,所以電子不僅在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)所受合外力大小相等,其實(shí)在軌跡上任何一點(diǎn)所受合外力大小也一定是相等的．

問題3:求解過程中的式(2)為“vm+v=2v0”,即電子在軌跡最高點(diǎn)的速度和最低點(diǎn)的速度之和正好等于2v0,這也是必然嗎?

分析:當(dāng)電子通過最高(低)點(diǎn)時(shí),當(dāng)兩個分運(yùn)動速度方向相同時(shí),可得最大速度vmax=v0+v2;當(dāng)兩個分運(yùn)動速度方向相反時(shí),得最小速度v=v0-v2;vmax+v=2v0,故式(2)為必然結(jié)果．

本題中帶電粒子的運(yùn)動學(xué)方程和速度分量方程如下(推導(dǎo)及求解過程略)．

也可以從運(yùn)動學(xué)方程出發(fā)求解上述問題.

但不管是從什么角度出發(fā)思考和解決問題,關(guān)鍵前提是能弄清現(xiàn)象背后的物理學(xué)本質(zhì),只有理解透徹、“悟理”明晰,自能融會貫通.

本題較好考查了學(xué)生的物理觀念和科學(xué)思維水平,對學(xué)生物理觀念的形成、科學(xué)思維能力的提升都能起到較好的促進(jìn)作用,特別對學(xué)有余力的優(yōu)秀學(xué)生更能有效促進(jìn)其數(shù)理融合應(yīng)用能力,提升學(xué)科核心素養(yǎng),同時(shí)對廣大物理教師也有較好的啟發(fā)、借鑒和參考價(jià)值．