于沛琳 陳建強

摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在教學(xué)中可以借助APOS理論促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，通過APOS理論的四個教學(xué)階段探尋高中生數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的心理過程，本文中以“指數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)為例，充分聯(lián)系學(xué)生的原有知識與生活經(jīng)驗進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，幫助學(xué)生建構(gòu)更加完整系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu).

關(guān)鍵詞：APOS理論；指數(shù)函數(shù)；教學(xué)設(shè)計

由于概念本身的抽象性會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)難度增大，且數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)效果與學(xué)生在課堂上的主觀能動性和主體地位息息相關(guān)，因此教學(xué)中要以學(xué)生的發(fā)展為出發(fā)點，探索高效的教學(xué)模式.本文中以“指數(shù)函數(shù)的概念”為例，結(jié)合APOS理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的探究.

1 APOS理論

APOS由Action，Process，Object和Schemas的首字母縮寫組成，它最初是由美國學(xué)者埃德·杜賓斯基在皮亞杰的反射抽象概念基礎(chǔ)上發(fā)明的.APOS理論指出，個體通過活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段四個環(huán)節(jié)，來掌握數(shù)學(xué)的基本原則，從而形成一個完整的、有機的、有意義的、有系統(tǒng)的、有規(guī)律的數(shù)學(xué)思維模型.

APOS理論是一種從學(xué)習(xí)者的角度分析學(xué)習(xí)者如何階段性地學(xué)習(xí)概念的學(xué)習(xí)理論.學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)過程一般要經(jīng)歷APOS理論的前三個階段.通過前三個階段和其他與模式相關(guān)的數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成形成圖式，達(dá)到對問題情境內(nèi)外的概念的理解.

如圖1，活動階段是個體將對象轉(zhuǎn)換為外部對象，需要逐步說明如何執(zhí)行活動.通過對活動的反思，人可以將活動內(nèi)化，并進(jìn)行稱之為過程的內(nèi)部心理建構(gòu)，個人可以在沒有外部刺激的情況下進(jìn)行轉(zhuǎn)變.當(dāng)個體將過程抽象為一個整體并且可以對這個過程執(zhí)行轉(zhuǎn)換時，即構(gòu)造了一個對象.最后，圖式是個人的活動、過程、對象和其他圖式的集合，這些圖式由一些一般原則聯(lián)系起來，在個人的頭腦中形成一個連貫的框架.四個階段的教學(xué)應(yīng)該有條不紊，逐步深入，不可跨越.也就是說，教學(xué)不應(yīng)該局限于具體的、直觀的階段，而應(yīng)該通過深入的思考和實踐，將數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為抽象的的知識.

2 基于APOS理論的概念教學(xué)設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在指數(shù)函數(shù)的教學(xué)提示中指出：“指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)關(guān)注指數(shù)函數(shù)的運算法則和變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪、再到實數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)函數(shù)的運算法則和變化規(guī)律.”

2.1 教材內(nèi)容與分析

在必修一人教A版第四章第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”第一課中，指數(shù)函數(shù)被視為一類關(guān)鍵的初等函數(shù)，它不僅可以幫助學(xué)生掌握對數(shù)函數(shù)和等比數(shù)列的基礎(chǔ)概念，還可以利用這些概念的學(xué)習(xí)更好地理解和掌握相關(guān)基礎(chǔ)概念.

2.2 學(xué)情分析

學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的過程可以說是一個漫長而復(fù)雜的過程，因為需要從初中就開始積累函數(shù)的基本概念，需要對函數(shù)進(jìn)行更加系統(tǒng)的分析，以及更好地理解函數(shù)的特征、運算規(guī)律與變換規(guī)律，這樣才能更好地掌握指數(shù)函數(shù)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，以及思考、分析、總結(jié)的能力，提升自身的綜合素養(yǎng).

2.3 教學(xué)重點及難點

重點：深入研究指數(shù)函數(shù)的定義、特性，以及在實際應(yīng)用中的具體表現(xiàn).

難點：指數(shù)函數(shù)模型的理解.

3 教學(xué)過程

3.1 活動階段（Action）——創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)想象

“指數(shù)函數(shù)的概念”的內(nèi)容相對比較抽象，因此傳統(tǒng)教學(xué)的重點一直放在如何讓學(xué)生初步理解指數(shù)函數(shù)的概念之上，只有理解了指數(shù)函數(shù)到底是什么，學(xué)生才有可能將其與圖象、性質(zhì)等內(nèi)容結(jié)合起來.在活動階段，讓學(xué)生動手參與活動，比如，拿一張1 mm厚的紙，通過反復(fù)折疊分析折疊次數(shù)和折疊后紙張厚度的關(guān)系，進(jìn)而真切感受函數(shù)的存在.通過直觀感受和思考，學(xué)生很容易在活動階段就獲得對指數(shù)函數(shù)的概念的初步認(rèn)知，具備進(jìn)入過程階段的基礎(chǔ).

活動1：把一張1 mm厚的紙對折1次，可以得到紙張的厚度為2 mm，對折2次得到紙張的厚度為4 mm，對折3次得到紙張的厚度為8 mm，如此下去，設(shè)第x次對折得到的紙張的厚度為y mm.

問題1 紙張厚度y與對折次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是什么？如何描述這兩個變量之間的關(guān)系？

預(yù)設(shè)：y=2x.

活動2：當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），若年衰減率為p，把剛死亡生物體內(nèi)碳14含量理解為1.

問題2 死亡生物體內(nèi)碳14的含量y與其死亡年數(shù)x存在什么樣的相關(guān)性？

預(yù)設(shè)：y=（1－p）x（0＜p＜1）.

設(shè)計意圖：一開始，就清楚地指出要研究的是函數(shù)變量之間的相互影響.學(xué)生可以通過分析函數(shù)變量之間的關(guān)系，來理解指數(shù)函數(shù)的形成規(guī)律.

3.2 過程階段（Process）——抽象本質(zhì)，初步概括

過程階段是掌握概念的關(guān)鍵階段.這一階段中學(xué)生需要經(jīng)過反思活動、抽象分析過程、組織數(shù)學(xué)語言、形成數(shù)學(xué)概念這四個環(huán)節(jié)，因此，要給學(xué)生足夠的思考時間.比如，在活動階段，學(xué)生經(jīng)歷折紙活動之后進(jìn)行思考，探究折疊后紙張的厚度和折疊的次數(shù)之間的抽象關(guān)系，并將這種抽象關(guān)系用數(shù)學(xué)語言表示出來，這一系列的過程就是對指數(shù)函數(shù)本質(zhì)概念的思考過程.一旦學(xué)生思考完畢，就可以形成自己的數(shù)學(xué)概念.由于學(xué)生在接觸指數(shù)函數(shù)之前己經(jīng)有一定的函數(shù)基礎(chǔ)，因此在思考的過程中能夠比較容易提煉出其中的數(shù)學(xué)關(guān)系.此時，教師應(yīng)當(dāng)積極鼓勵學(xué)生進(jìn)行歸納，可以采用列表法（如表1，表2）幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念.

問題3 由示例得到的兩個關(guān)系式y(tǒng)=2x（x∈N）和y=（1－p）x（0＜p＜1），它們是函數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)1：是函數(shù).

預(yù)設(shè)2：不是函數(shù).

師：經(jīng)過仔細(xì)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)對于任意一個x是都有唯一的y與之相對應(yīng)，所以它們是函數(shù).

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解并應(yīng)用所學(xué)的知識，從而更好地掌握函數(shù)的概念和應(yīng)用，并能夠輕松地推斷出相關(guān)結(jié)果.

問題4 這兩個函數(shù)表達(dá)式有什么共同特征？

預(yù)設(shè)：這兩個函數(shù)表達(dá)式的未知量x都在指數(shù)的位置.

師：非常好.我們通常把未知數(shù)x出現(xiàn)在指數(shù)位置的函數(shù)表達(dá)式稱為指數(shù)函數(shù).

設(shè)計意圖：通過對比觀察，探究指數(shù)函數(shù)的各種特性，學(xué)生可以更好地理解它們的整體性質(zhì).

通過對比兩個函數(shù)表達(dá)式，幫助學(xué)生更好地理解它們之間的差異，從而順利歸納總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的一般表達(dá)式.

問題5 如何用一般形式來表達(dá)剛才提到的函數(shù)？

預(yù)設(shè)：y=ax.

設(shè)計意圖：通過對指數(shù)函數(shù)的深入研究，學(xué)生可以更清晰地理解其一般形式，從而更好地掌握指數(shù)函數(shù)的基本概念.

3.3 對象階段（Object）——加強鞏固，概念深化

當(dāng)學(xué)生能夠自由地把“過程”作為一個整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換和活動的時候，就已經(jīng)進(jìn)入到了對象階段.在“活動”和“過程”的基礎(chǔ)上，“對象”的出現(xiàn)，使得抽象的概念得到了具體的表達(dá)，并且變得更加形式化、精確，從而讓學(xué)生能夠更好地掌握與之相關(guān)的數(shù)學(xué)運算.

問題6 指數(shù)函數(shù)y=ax中的底數(shù)a的取值是否受到限制？a取任何數(shù)都可以嗎？

引導(dǎo)學(xué)生對底數(shù)a分三種情況進(jìn)行討論：

（1）若a＜0，會有什么問題？

（2）若a=0，會有什么問題？

（3）若a=1，又會怎么樣？

預(yù)設(shè)：（1）若a＜0，對于x=12，14，……，ax無意義.

（2）若a=0，x＞0時，ax=1，x≤0時，ax無意義.

（3）若a=1，ax=1是常量，沒有研究的必要.

設(shè)計意圖：通過數(shù)形結(jié)合和小組討論，幫助學(xué)生關(guān)注并思考底數(shù)的取值范圍，并通過實際操作來驗證結(jié)論，最終得出底數(shù)的取值范圍是a＞0且a≠1.

3.4 圖式階段（Schemas）——初步建構(gòu)，形成圖式

對象階段只是意味著學(xué)生對于指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識的掌握，而對相關(guān)知識的運用才是教學(xué)的最終目的.知識的靈活運用需要學(xué)生將指數(shù)函數(shù)的知識與自己原有的函數(shù)知識體系統(tǒng)一起來，形成一個初步的概念圖式.這樣學(xué)生在之后遇到任何與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的問題，都會首先考慮這些問題與自己的圖式是否有相似之處，是否能夠利用自己的圖式來解答這一問題.因此，在圖式階段，教師需要用具體的實例來幫助學(xué)生強化運用能力.

在這個階段，我們的目標(biāo)是幫助學(xué)生從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取出新的概念，并幫助他們建立綜合的心理模型，擴展這些概念的范圍，以便更好地理解和運用新的知識.在這個階段，一方面通過綜合訓(xùn)練，幫助學(xué)生將新的概念與他們現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，進(jìn)行綜合思考；另一方面通過課堂總結(jié)，幫助他們使用簡單的思維導(dǎo)圖或結(jié)構(gòu)圖來鞏固對新概念的定義和本質(zhì)特征的理解.

例1 判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)：

（1）y=2x；? （2）y=（－2）x；

（3）y=2x+1；

（4）y=2－x；? （5）y=2x+1.

例2 已知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1），

且f（3）=π，求f（0），f（1），f（－3）的值.

通過深入研究發(fā)現(xiàn)，圖式階段不僅是將概念應(yīng)用到現(xiàn)實世界的過程，而且還能幫助學(xué)生更好地掌握指數(shù)函數(shù)的知識及應(yīng)用.

APOS理論的四個步驟可以幫助我們更好地掌握數(shù)學(xué)知識，從而更好地運用它們解決問題.使用APOS理論來指導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂，除了充分利用具體的案例幫助學(xué)生掌握指數(shù)函數(shù)的定義外，還需根據(jù)課堂的具體情況，充分發(fā)揮APOS理論的優(yōu)勢，靈活運用，進(jìn)而更好地指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí).