對解析幾何中韋達化以及非對稱韋達化處理的策略分析*

四川省成都市第七中學(xué)(610041) 羅文力

四川省成都市西北中學(xué)(610021) 周祝光 成都市教育科學(xué)研究院(610014) 黃祥勇

解析幾何基本思想是用代數(shù)的方法處理幾何問題. 其基本的解決問題策略是先用幾何的眼光觀察分析問題,再用代數(shù)的方法進行運算. 數(shù)學(xué)運算本質(zhì)上也是一種思維模式. 這種思維模式的過程包括:理解運算對象→掌握運算法則→探求運算思路→選擇運算方法→設(shè)計運算程序→求得運算結(jié)果. 在具體解決問題的過程中,當探求了運算思路后,如何選擇合理的運算方法和處理策略對求得運算結(jié)果顯得尤為重要. 解析幾何中常見的運算處理思路是將直線與曲線方程聯(lián)立后,用方程根的性質(zhì)來進行化簡完善. 考慮到中學(xué)階段的圓錐曲線以二次曲線為主,與直線方程聯(lián)立后獲得一元二次方程,一元二次方程中韋達定理的使用是一種常見策略.對于非對稱的韋達化結(jié)構(gòu),文[1-4]等均有研究,但此類研究主要停留在具體問題或者具體結(jié)構(gòu),對于非對稱韋達化與韋達化之間的關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化分析不夠全面. 故此,本文從韋達視角探析對代數(shù)式的運算處理策略.

一. 韋達化處理

核心條件坐標化后,并不全是直接韋達化的形式. 對于坐標化后的表達式不是韋達形式的, 還需進行韋達化處理.韋達化主要有兩個路徑:代換和配湊.

(一)韋達化處理一: 代換——在x,y 二者中消去其一

由于我們聯(lián)立后的方程式關(guān)于x或y的二次方程,韋達定理中的兩根之和與兩根之積只是單獨的x或y的形式,而此時坐標表達式并非是直接的韋達形式,因此需進行代換.

案例1直線l與拋物線y2= 2x交于A,B兩點,且滿足OA⊥OB,證明: 直線l過定點.

部分解析由題意, 直線l不與x軸平行, 故設(shè)l:x=ty+m,其中m /= 0,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立l有拋物線的方程消x得:y2-2ty-2m=0,?>0,則

y1+y2=2t, y1y2=-2m,

因為OA⊥OB,則即x1x2+y1y2=0.

余下的求解過程有兩個思考方向:

方向一(直線代換) 由于從而,x1x2=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2,代入得:

即m2-2m=0,解得m=0(舍)或m=2,即直線l過定點(2,0).

注通常情況下,我們在解答題以直線代換居多,這里不再贅述. 但需要注意一點,一般而言,如果選擇代換消去y,則正設(shè)直線;如果選擇代換消去y,則反設(shè)直線.

方向二(曲線代換)由于代入得=m2-2m= 0,解得m=0(舍)或m=2,即直線l過定點(2,0).

注對于核心信息表達式中的一次項,一般以直線代換為主. 而曲線如果為拋物線,也可以用拋物線代換,如例題中拋物線為y2=2x,因此對于x的一次式可以用曲線代換. 反之,如果拋物線為x2= 2py(p >0)則可用曲線對y進行代換,由于我們要代換的是y,因此聯(lián)立后的方程保留為關(guān)于x的二次方程,同時直線的假設(shè)則以正設(shè)為主.

案例2在平面直角坐標系xOy中,橢圓?:的上頂點為A,點B,C是? 上不同于A的兩點,且點B,C關(guān)于原點對稱. 記直線AC,AB的斜率分別為k1、k2, 求證:k1·k2為定值.

分析此題中核心信息即直線AC,AB的斜率. 由題易知點A(0,1),要表示AC,AB的斜率,還需要引入?yún)?shù),因為B,C關(guān)于原點對稱,故不妨設(shè)B(x1,y1),C(-x1,-y1),那么是否需要引入直線方程呢? 對此略作分析如下:

接下來需要考慮代換問題,觀察到目標信息是二次形式,代換中我們提到,對于單元二次形式的,可采用曲線代換,由于此時還未引入直線方程,看來也是不需要了. 由點B,C在曲線上,故有代入目標信息中可得k1·k2=為定值.

解析依題意, 設(shè)點B(x1,y1),C(-x1,-y1), 則k1=又點B橢圓上,故有代入可得故原命題成立.

(二)韋達化處理二: 配湊

即x1+x2-4 =-k(y1+y2),其中k為直線AB斜率;對y1+y2再用直線代換,即y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m,得x1+x2-4=-k[k(x1+x2)+2m].

此處y1y2考慮直線代換,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,

再代入上式可得(k2+1)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0,

而y1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2,整理得(2k+1)x1x2-(2k-m+2)(x1+x2)-4(m-1)=0.

二. 非對稱韋達形式的處理

我們明明求了韋達定理卻無法代入,這時我們就需要通過所求得的韋達定理找到x1+x2和x1·x2之間的關(guān)系,將

其中一個替換,常用手段是把乘法的替換成加法.

案例3已知點F為橢圓E:的右焦點,A,B分別為其左、右頂點,過F作直線l與橢圓交于M,N兩點(不與A,B重合), 記直線AM與BN的斜率分別為k1,k2,證明為定值.

此題條件為直線AM與BN的斜率k1,k2,顯然要設(shè)點,不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),而由題可知A(-2,0),B(2,0),因此k1=從而目標信息要證明其值為定值. 從目標信息的形式來看,用x或y表示并無差異,考慮到直線不與x軸重合,故采用反設(shè)直線要方便些,因此設(shè)l:x=ty+1.

通過直線替換后可得

出現(xiàn)了韋達定理結(jié)構(gòu)之外的形式,即落單的y1和3y2,像此類結(jié)構(gòu),一般被稱為“非對稱韋達”,下面我們介紹幾種常見的處理策略,為此,先聯(lián)立l:x=ty+1 與消x得(4+3t2)y2+6ty-9=0,易知?>0,則

策略一: 和積轉(zhuǎn)換——找出兩根之和與兩根之積的關(guān)系

若看不出兩根之和與兩根之積的關(guān)系怎么辦呢? 我們不妨用待定一下系數(shù),設(shè)y1y2=λ(y1+y2)+μ,則

易得

注上面使用的是縱坐標的和積關(guān)系,若正設(shè)直線,這需直線的斜率存在;同理,借助橫坐標的和積關(guān)系也可證明,或用于驗證斜率不存在時的情形. 考慮到本例中反設(shè)直線,兩根的和積關(guān)系顯而易見,而對于一般的和積關(guān)系式,二者的關(guān)聯(lián)可能不是那么明顯,如此例中正設(shè)直線,具體可參看策略三中的解析.

策略二: 配湊半代換——局部作韋達代換,余部作配湊

得證.

分母可作類似處理,得

上面使用的是縱坐標的配湊半代換,借助橫坐標的配湊半代換亦可證明,可自行嘗試.

策略三: 先猜后證

可以先找一個特殊情況先得到該定值, 進而再證明其他情形也為該值. 顯然先考慮直線l斜率不存在時的情形, 此時對應(yīng)為此時均有, 為定值. 當直線l斜率存在時, 不妨就正設(shè)直線l:y=k(x-1), 將其與橢圓方程聯(lián)立消y得(3+4k2)x2-8k2y+4(k2-3)=0,易知?>0,則

上述先猜后證采用的是正設(shè)直線. 當然,正設(shè)直線的方法,也適用于和積關(guān)系和配湊半代換的處理策略. 再次以例3為例. 目標信息直線代換后得

若采用和積關(guān)系處理策略,觀察韋達不難發(fā)現(xiàn),此時和積關(guān)系沒有反設(shè)直線那么直觀,那么我們該如何尋找其關(guān)系呢?

一方面,可以采用待定系數(shù),設(shè)x1x2=λ(x1+x2)+μ,求解λ,μ得出和積關(guān)系. 如此處設(shè)x1x2=λ(x1+x2)+μ,即

得證.得證.

注通過上述例題易知: 對于非韋達問題,我們可以有5 中解題方法: 和積轉(zhuǎn)換(正設(shè)直線,反設(shè)直線)、配湊半代換(正設(shè)直線,反設(shè)直線)、先猜后證. 不同的方法和直線的設(shè)定,對后續(xù)的計算處理將產(chǎn)生不同的影響,計算量也存在較大差異.

和積轉(zhuǎn)換及配湊半代換方法是處理“非對稱韋達問題”的通法,而猜證結(jié)合也探究類題型的有效處理手段. 除此之外,對于不同的結(jié)構(gòu)和形式,還有一些其它處理技法,考慮到通用性,這里只討論如上三種策略.

案例4點A,B是橢圓E:的左右頂點若直線l:y=k(x-1)與橢圓E交于M,N兩點,求證:直線AM與直線BN交點在一條定直線上.

解析聯(lián)立l與橢圓的方程并化簡得(3 + 4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,?>0,

這是非對稱韋達形式,怎么處理呢?

解法1(策略一: 配湊半代換)

故直線AM與直線BN交點在定直線x=4 上.

解法2(策略二: 和積轉(zhuǎn)換)分離常數(shù)得:

點評本題若采用反設(shè)直線x=ty+1,計算量可能會更小一些,能夠比較輕松看出y1+y2和y1y2之間的關(guān)系,從而進行代入消元,求得定值,此處不再贅述.