張新文 周苗苗 李金輝

（①河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車(chē)學(xué)院，河南 鄭州 450005；②鄭州旅游職業(yè)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，河南 鄭州451464；③河南科技大學(xué)車(chē)輛與交通學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003）

數(shù)字信號(hào)已經(jīng)成為工業(yè)領(lǐng)域智能化應(yīng)用的關(guān)鍵因素之一，可以通過(guò)數(shù)控機(jī)床運(yùn)行過(guò)程中數(shù)據(jù)特征采集來(lái)監(jiān)測(cè)其加工控制性能、部件磨損程度、故障特征分析和誤差測(cè)定等指標(biāo)[1-3]。但在采集與傳輸數(shù)字信號(hào)期間，實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)會(huì)受到儀器、環(huán)境條件與人為操作的綜合作用，導(dǎo)致采集獲得的實(shí)際信號(hào)存在噪聲成分，無(wú)法根據(jù)信號(hào)特征判斷機(jī)床實(shí)際運(yùn)行狀況[4-5]。這就要求進(jìn)行特征參數(shù)提取并對(duì)信號(hào)實(shí)施降噪分析。

進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，需要將數(shù)據(jù)由初始域映射至其余域，目前已經(jīng)形成了離散傅里葉轉(zhuǎn)換（DFT）、變分模態(tài)分解（VMD）、希爾伯特轉(zhuǎn)換（HT）、小波轉(zhuǎn)換（WT）等多種方法[6-8]。隨著研究的深入，還有學(xué)者對(duì)譜圖小波轉(zhuǎn)換（SGWT）開(kāi)展了深入探討，與加權(quán)圖信號(hào)傅里葉轉(zhuǎn)換過(guò)程相近，利用譜圖理論以及經(jīng)典小波轉(zhuǎn)換的方法，再結(jié)合頻譜特征進(jìn)行分解得到特定頻率范圍子帶，從而保證在譜圖域內(nèi)完成圖信號(hào)分析的功能[9-12]。Deutsch S等[13]在譜圖小波轉(zhuǎn)換基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種光滑流形降噪技術(shù)，可以保留總積累能量比閾值更高的低頻尺度與譜圖小波系數(shù)，再將剩余高頻譜圖小波系數(shù)去除后，達(dá)到二維圖像降噪效果。王林等[14]開(kāi)發(fā)了一種通過(guò)譜圖小波轉(zhuǎn)換方法實(shí)現(xiàn)的圖像壓縮編碼算法，能夠在高壓縮比條件下形成精細(xì)重構(gòu)圖像。進(jìn)行三維實(shí)體應(yīng)用時(shí)，Masoumi M 等[15]以譜圖小波轉(zhuǎn)換方法構(gòu)建得到評(píng)價(jià)三維模型特征的框架，可以分別完成三維模型局部與全局特征的捕捉控制，由此完成三維實(shí)體外形的準(zhǔn)確檢索。胡玲等[16]在構(gòu)建模型過(guò)程中加入譜圖小波轉(zhuǎn)換方法，建立了模型分辨系統(tǒng)，完成多種外形的精確分辨并獲得優(yōu)異魯棒性。

根據(jù)以上分析可知，譜圖小波轉(zhuǎn)換對(duì)于平面圖像數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域都發(fā)揮了重要作用。本文根據(jù)譜圖小波轉(zhuǎn)換理論與實(shí)際應(yīng)用過(guò)程，構(gòu)建了一種可以對(duì)一維數(shù)字信號(hào)進(jìn)行分析的譜圖小波閾值降噪（SWTD）算法，再通過(guò)仿真信號(hào)與機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)降噪的方式驗(yàn)證了譜圖小波閾值降噪可靠性。

1 譜圖小波閾值降噪方法

1.1 基于譜圖理論

完成一維數(shù)字信號(hào)的定義后得到路圖信號(hào)，將一維數(shù)字信號(hào)時(shí)序性與路圖序列進(jìn)行匹配后，確保信號(hào)時(shí)間序列與路圖節(jié)點(diǎn)相匹配。

采用Gauss 權(quán)值函數(shù)確定路圖信號(hào)節(jié)點(diǎn)權(quán)值，再利用譜圖理論建立對(duì)角矩陣D、鄰接矩陣W、拉普拉斯矩陣L，使一維數(shù)字信號(hào)信息存儲(chǔ)至路圖信號(hào)矩陣內(nèi)。路圖信號(hào)具備簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，鄰接矩陣W與拉普拉斯矩陣L屬于一種簡(jiǎn)單形式，在鄰接矩陣W中數(shù)值只存在于次對(duì)角部位，其余元素取值都是0；拉普拉斯矩陣L只有主對(duì)角與次對(duì)角元素有值，剩余各元素都是0。

小波核g屬于接近原點(diǎn)區(qū)域的一元冪，當(dāng)x增大后會(huì)引起冪律減小的結(jié)果，存在g(0) = 0。本次采用三次樣條譜圖小波核進(jìn)行譜圖小波轉(zhuǎn)換，建立下述表達(dá)式：

式中：尺度t取決于拉普拉斯特征值上限、譜圖小波轉(zhuǎn)換參數(shù)K與分解層數(shù)J。設(shè)定拉普拉斯特征下限λmin=λmax/K，可以確定最大尺度t1= 2/λmin，最小尺度tm=1/λmax，符合對(duì)數(shù)等差分布規(guī)律。

1.2 閾值及閾值函數(shù)選取

選擇合理閾值可以實(shí)現(xiàn)有效降噪，但有用信號(hào)也會(huì)被判斷成噪聲而去除；對(duì)含有較少高頻信息的信號(hào)實(shí)現(xiàn)良好降噪性能，能夠提取微弱信號(hào)。在分析特定信號(hào)的過(guò)程中應(yīng)先對(duì)信號(hào)分布頻率進(jìn)行理論分析，由此確定合適閾值。本研究中機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)基本都屬于低頻段，閾值κ計(jì)算以下表達(dá)式：

式中：N代表尺度tj子帶譜圖小波系數(shù)的數(shù)量；σj代表第j子帶中的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)式（4）進(jìn)行估計(jì)。

式中：dj(k)代表第j子帶第k個(gè)譜圖小波系數(shù)；0.65 代表數(shù)據(jù)分布參數(shù)。

利用特定閾值函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)譜圖小波系數(shù)處理的功能，包含硬閾值與軟閾值兩種函數(shù)表達(dá)式，建立式（5）和式（6）。

式（5）和式（6）中，wjk表示最初確定的譜圖小波系數(shù)，wˉjk表示采用閾值函數(shù)進(jìn)行處理得到的譜圖小波系數(shù)。

軟閾值函數(shù)屬于一種連續(xù)函數(shù)，未出現(xiàn)跳躍點(diǎn)，處理得到了更加連續(xù)的譜圖小波系數(shù)，重構(gòu)信號(hào)也沒(méi)有出現(xiàn)附加振蕩，可以實(shí)現(xiàn)良好平滑性。本研究以軟閾值函數(shù)進(jìn)行處理。

1.3 譜圖小波閾值降噪流程

圖1 所示為譜圖小波閾值降噪流程[10]。

圖1 譜圖小波閾值降噪算法流程圖

（1）在路圖上定義一維數(shù)字信號(hào)，之后建立加權(quán)圖G，再以權(quán)值函數(shù)構(gòu)建鄰接矩陣W與對(duì)角矩陣D，設(shè)置拉普拉斯矩陣L=D-W，之后計(jì)算其特征值λ與特征矢量x。

（2）確定分解層數(shù)后，綜合運(yùn)用譜圖小波核與尺度函數(shù)核，并通過(guò)SGWT 完成譜圖信號(hào)的小波轉(zhuǎn)換，從而計(jì)算出尺度系數(shù)Sf與譜圖小波系數(shù)Wf。

（3）獲得低通頻率尺度系數(shù)后，再對(duì)譜圖小波系數(shù)子帶閾值σj進(jìn)行計(jì)算，之后通過(guò)閾值函數(shù)實(shí)現(xiàn)譜圖小波系數(shù)的過(guò)濾。||wjk≥σj情況下，則通過(guò)閾值函數(shù)實(shí)施處理；反之將其取值設(shè)定為0。

（4）對(duì)步驟（3）確定的尺度系數(shù)與譜圖小波系數(shù)開(kāi)展譜圖小波逆轉(zhuǎn)換獲得降噪信號(hào)。

綜合考慮可以發(fā)現(xiàn)，本文先通過(guò)尺度函數(shù)獲取低頻信息再將其保存至尺度參數(shù)中，接著以閾值對(duì)存在少量低頻信息與大量高頻數(shù)據(jù)的譜圖小波系數(shù)實(shí)施過(guò)濾。譜圖小波系數(shù)中只存在較低比例的低頻參數(shù)，大部分都是由噪聲構(gòu)成，進(jìn)行估計(jì)可以獲得很高的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)確率，確保得到精確閾值計(jì)算結(jié)果，達(dá)到充分去除噪聲的效果。但在經(jīng)典小波轉(zhuǎn)換過(guò)程中，有用信息與噪聲在小波系數(shù)中呈現(xiàn)混合狀態(tài)，對(duì)閾值過(guò)濾的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值產(chǎn)生共同作用。在高頻小波系數(shù)子帶中，噪聲處于主導(dǎo)地位，可以完成噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的精確估計(jì)；而在低頻小波系數(shù)子帶中，有用信息占據(jù)主導(dǎo)地位，不能對(duì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。如果噪聲標(biāo)準(zhǔn)差過(guò)大，則會(huì)導(dǎo)致其中有用信息也被大量去除；否則，會(huì)造成降噪程度偏低的情況。與常規(guī)小波閾值降噪方法相比，采用本文方法在理論層面具備更大優(yōu)勢(shì)。而且還可以發(fā)現(xiàn)，采用本文方法可見(jiàn)處理時(shí)是針對(duì)譜圖域中譜圖小波系數(shù)直接完成一次性數(shù)據(jù)過(guò)濾，不用進(jìn)行迭代計(jì)算，可以實(shí)現(xiàn)更高的處理效率。

2 工程應(yīng)用

2.1 機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)采集

為驗(yàn)證采用本文方法可以滿足有效降噪的目標(biāo)，選擇某Y38A 型汽車(chē)傳動(dòng)件用滾齒機(jī)加工機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行測(cè)試。得到表1 與表2 的滾齒機(jī)加工信息，圖2 所示為振動(dòng)信號(hào)采集系統(tǒng)的儀器分布情況。將PCB 加速度測(cè)試儀安裝于機(jī)床主軸支座處，以10 000 Hz 的頻率采集獲得z向振動(dòng)頻率。振動(dòng)信號(hào)通過(guò)加速度傳感器與信號(hào)調(diào)節(jié)儀傳輸?shù)接涗泝x內(nèi)，由此確定振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形。滾齒加工屬于一種斷續(xù)切削的狀態(tài)，由此得到具有周期性特征的非線性機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)，具體如圖3 所示。

表1 工件基本參數(shù)

表2 機(jī)床基本參數(shù)

圖2 振動(dòng)信號(hào)采集系統(tǒng)儀器布置

圖3 機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)

2.2 信號(hào)包絡(luò)譜分析

包絡(luò)譜算法是先完成信號(hào)的Hilbert 轉(zhuǎn)換處理再對(duì)其實(shí)施FFT 轉(zhuǎn)換，由此確定包絡(luò)譜，可以非常高效將復(fù)雜信號(hào)內(nèi)獲取有用數(shù)據(jù)。主軸包絡(luò)譜內(nèi)包含的主要有用頻率為自轉(zhuǎn)頻率與滾切頻率。表3 給出了主軸的自轉(zhuǎn)頻率與倍頻數(shù)據(jù)。表4 為滾切頻率與倍頻參數(shù)。

表3 主軸自轉(zhuǎn)頻率及其倍頻

表4 滾切頻率及其倍頻

根據(jù)表3 與表4 的理論分析可知，機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)包含的有用頻率基本都處于400 Hz 范圍內(nèi)的低頻區(qū)。接著對(duì)實(shí)測(cè)機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)開(kāi)展包絡(luò)譜處理，得到圖4 中的包絡(luò)譜信息以及圖5 中的分解圖。綜合分析圖4 和圖5 可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際測(cè)定的機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)頻率和理論計(jì)算結(jié)果相符，可以推斷超過(guò)400 Hz 的高頻段信號(hào)以噪聲為主，基本都是分布于400～1 000 Hz 頻率區(qū)內(nèi)?？梢詫⒔翟脒^(guò)程理解為去除400 Hz 以上頻率段的信號(hào)。

圖4 機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)過(guò)濾包絡(luò)譜

圖5 機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)分解圖

2.3 信號(hào)降噪結(jié)果分析

利用3 層譜圖小波方法實(shí)現(xiàn)機(jī)床主軸信號(hào)的轉(zhuǎn)換處理后，再以閾值數(shù)據(jù)過(guò)濾譜圖小波系數(shù)。由于滾齒加工過(guò)程具有斷續(xù)切削的特點(diǎn)，位于機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)間的信號(hào)以噪聲為主。與經(jīng)典小波閾值降噪方法進(jìn)行比較，其中小波閾值降噪（wavelet threshold denoising，WTD），小波閾值收縮降噪（wavelet threshold shrinkage denoising， WTSD），小波包軟閾值降噪（wavelet packet soft-threshold denoising, WPSD）。圖6 給出了以本文方法和經(jīng)典時(shí)形成的時(shí)域圖。對(duì)比圖6a 和圖6b～圖6d 可以發(fā)現(xiàn)，位于SWTD 降噪周期中的過(guò)渡信號(hào)發(fā)生了顯著減弱，與初始信號(hào)發(fā)生周期性持續(xù)增強(qiáng)相比，更突出滾齒加工過(guò)程的斷續(xù)切削特征。在加工階段保持恒定的切削參數(shù)，機(jī)床對(duì)齒輪進(jìn)行切削時(shí)周期性交變沖擊載荷也處于恒定狀態(tài)，由此形成穩(wěn)定的振動(dòng)響應(yīng)，也可以根據(jù)圖3 初始主軸振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行判斷。完成降噪后，SWTD 降噪信號(hào)形成了穩(wěn)定幅值，已經(jīng)接近初始信號(hào)；WTD、WTSD 與WPSD 降噪信號(hào)則發(fā)生了幅值的大幅波動(dòng)，造成時(shí)域數(shù)據(jù)丟失的結(jié)果，將其標(biāo)注于圖6b～圖6d 的橢圓區(qū)域內(nèi)。SWTD 降噪信號(hào)可以獲得4.03 dB 的信噪比，相對(duì)WTD、WTSD 與WPSD 具備更高信噪比。根據(jù)以上分析可知，采用本文方法有效去除機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)噪聲，相對(duì)圖6b～圖6d 中的經(jīng)典小波閾值具備更優(yōu)降噪性能。

圖6 4 種SWTD、WTD、WTSD 與WPSD 方法降噪信號(hào)

對(duì)圖6 降噪信號(hào)開(kāi)展包絡(luò)譜處理，結(jié)果如圖7a～圖7d 所示。結(jié)果顯示，圖7a 內(nèi)SWTD 包絡(luò)譜內(nèi)超過(guò)400 Hz 的高頻段已被消除，形成了由主軸自轉(zhuǎn)頻率與滾切頻率構(gòu)成的主體成分，同時(shí)觀察到明顯的主軸自轉(zhuǎn)頻率特征，在滾切頻率中也形成了顯著的中心頻率，只形成了少量周邊干擾信號(hào)。對(duì)圖7b～圖7d 進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，WTD、WTSD 與WPSD降噪信號(hào)的包絡(luò)譜內(nèi)含有400 Hz 以上的噪聲頻率，基本分布于400～1 000 Hz 頻率段中，并未產(chǎn)生顯著的主軸自轉(zhuǎn)頻率特征，位于滾切頻率特征附近區(qū)域的干擾成分也較多。通過(guò)綜合分析可知，進(jìn)行實(shí)際信號(hào)降噪處理時(shí)，本文方法相較于小波閾值降噪結(jié)果具備更優(yōu)性能。

圖7 4 種SWTD、WTD、WTSD 與WPSD 方法降噪信號(hào)包絡(luò)譜圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文開(kāi)展基于譜圖小波閾值的機(jī)床主軸振動(dòng)數(shù)字信號(hào)降噪研究，得到如下有益結(jié)果：

（1）機(jī)床主軸振動(dòng)信號(hào)包含的有用頻率基本都處于400 Hz 范圍內(nèi)的低頻區(qū)，基本都是分布于400～1 000 Hz 頻率區(qū)內(nèi)。

（2）完成降噪后，SWTD 降噪信號(hào)形成了穩(wěn)定幅值，已經(jīng)接近初始信號(hào)，包絡(luò)譜內(nèi)超過(guò)400 Hz的高頻段已被消除，形成了由主軸自轉(zhuǎn)頻率與滾切頻率構(gòu)成的主體成分，觀察到明顯主軸自轉(zhuǎn)頻率特征，表明本文方法相對(duì)小波閾值降噪結(jié)果具備更優(yōu)性能。