北京市朝陽區(qū)白家莊小學(xué)迎曦分校 辛君清

北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 宋偉輝

一、問題的提出

新課標進一步明確了數(shù)學(xué)課程需要培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的要求：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。同時，新課標還指出，課程目標以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進一步強調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），發(fā)展運用數(shù)學(xué)知識與方法來發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助畫圖策略培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，是落實“四基”“四能”目標的具體表現(xiàn)，也是提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力的重要途徑。

心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，6～12 歲兒童的思維處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段。對于正處在 6～12歲的學(xué)生而言，“抽象”往往成為他們學(xué)習(xí)的“攔路虎”，抽象思維、邏輯思維和理解分析問題的能力的不足，導(dǎo)致他們在面對數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系比較復(fù)雜的問題時經(jīng)常感覺無從下手。應(yīng)用畫圖策略分析數(shù)學(xué)問題，可將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得直觀明了，有助于搭建解決問題的“腳手架”，降低問題的難度，能夠幫助學(xué)生直觀地理解題意，提升學(xué)習(xí)效率，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的過程中起到積極有效的推動作用。

二、基本概念的界定

（一）畫圖策略

畫圖策略是探究數(shù)學(xué)問題的重要途徑之一，是滲透數(shù)學(xué)思想方法和理解數(shù)學(xué)知識的有效途徑。它利用圖直觀地表達問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，能夠起到化繁為簡的作用，有利于學(xué)生提煉數(shù)量關(guān)系，提升解決問題的能力。

（二）核心素養(yǎng)

新課標指出，核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)。小學(xué)階段主要提煉了11個核心素養(yǎng)：數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。

三、借助畫圖策略，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

（一）借助畫圖策略，表征問題，滲透幾何直觀

新課標指出，圖形是對事物空間形式的一種視覺抽象，具有整體、直觀、形象、多維的特點，能夠反映事物的空間結(jié)構(gòu)與關(guān)系。幾何直觀就是利用圖形的這些特點去探究、描述、分析和洞察事物或問題的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)，感悟事物的本質(zhì)。學(xué)生借助幾何直觀，能夠?qū)?fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵?、直觀的數(shù)學(xué)問題，有助于其自身逐步感知各種幾何圖形及其組成元素的關(guān)聯(lián)，直觀感知圖形要素之間的關(guān)聯(lián)，使幾何直觀逐步建立在邏輯的基礎(chǔ)上，從而探尋解決問題的方法。

例如：教室右面的墻壁長8米，寬4米。墻上有2扇窗戶，每扇窗戶的面積是5平方米?，F(xiàn)在要粉刷這面墻，要粉刷的面積是多少平方米？

實施畫圖策略前的錯因分析：學(xué)生認為粉刷墻壁是要求出墻壁的周長，而不是求面積；認為墻壁與窗戶仍是長度的關(guān)系，由于幾何直觀能力比較差，未形成空間想象，造成理解偏差，解題錯誤。

實施畫圖策略后的效果分析：學(xué)生借助畫圖，還原題意，直觀分析出粉刷墻壁是要先求出墻壁面積，再求出去掉2扇窗戶后的面積，能夠準確地理解墻壁與窗戶的關(guān)系。

以上題目教師通過引導(dǎo)學(xué)生畫示意圖表征出題目中的條件，借助圖形直觀描述出題目中的問題，直觀體會圖形要素的關(guān)系，領(lǐng)悟墻壁長與寬及2扇窗戶面積之間的數(shù)量關(guān)系，探索正確的解決問題思路，從而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）借助畫圖策略，分析問題，感悟數(shù)學(xué)模型

新課標指出，小學(xué)課程中的數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、運算、圖形、數(shù)據(jù)等都直接源于現(xiàn)實生活，是對現(xiàn)實模型數(shù)學(xué)化的結(jié)果。模型是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本方式，有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)模型包含兩個方面：一是學(xué)生能夠體會借助線段圖或示意圖進行數(shù)量關(guān)系的梳理與分析；二是學(xué)生能夠領(lǐng)會解決同類問題時需要根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定先算什么，再算什么。

眾多的數(shù)學(xué)問題之所以難以理解，很多時候是因為問題中的真實情境和文字中信息量比較大，導(dǎo)致學(xué)生難以厘清其中的關(guān)系，給解決問題增加了難度。學(xué)生如果能夠通過畫圖，把文字情境中的人物、過程、數(shù)量及其關(guān)系用示意圖、線段圖等描繪出來，標清已知和問題，將復(fù)雜的真實問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖示，就能夠在很大程度上降低情境理解難度，從而正確分析、梳理其中的數(shù)量關(guān)系，解決問題。

例如：某少年宮合唱隊女生比男生多50人，如果女生再增加40人，女生的人數(shù)就是男生的6倍，求合唱隊原有男生、女生各多少人？

實施畫圖策略前的錯因分析：學(xué)生沒有理解“女生的人數(shù)就是男生的6倍”這句話的具體含義，沒有找準女生人數(shù)與男生人數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。

實施畫圖策略后的效果分析：學(xué)生在審題中借助線段圖，能夠看出女生人數(shù)與男生人數(shù)相差90人，女生人數(shù)比男生人數(shù)多5倍，根據(jù)量率對應(yīng)關(guān)系就能求出男生、女生人數(shù)。

線段圖是指由一定意義的線段、數(shù)字符號等構(gòu)成的圖式，常用來表示問題中的數(shù)量關(guān)系。它可以形象、直觀地幫助學(xué)生呈現(xiàn)已知的信息和問題，還能幫助學(xué)生理解抽象的文字情境及其數(shù)量關(guān)系，而且在畫圖的過程中，將文字轉(zhuǎn)化為線段圖還需要學(xué)生“再加工、再思考”，能夠促使學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合的方式呈現(xiàn)問題、分析問題和解決問題，將抽象思維與具體形象思維有機結(jié)合，促使思維的提升。

例如：兩輛車上共坐了27人，如果一輛車上增加6人，另一輛車上減少5人，這時兩輛車上的人數(shù)一樣多，現(xiàn)在這兩輛車上各坐了多少人？

圖形的力量比文字更簡潔有力，通過畫線段圖，將較為抽象的“增加”和“減少”用簡明線段來表示，能夠準確地揭示題目的信息及信息與信息之間的關(guān)系，將隱蔽、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明朗地呈現(xiàn)出來。學(xué)生結(jié)合不同的線段圖進行多角度、多層次思考，探索多種解決問題的方法，明晰了要先求出當兩輛車的人數(shù)一樣多時，兩輛車共有的人數(shù)，再分別求出兩輛車各坐多少人。應(yīng)用畫圖策略解決問題，不僅能夠輔助學(xué)生思考，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，還能夠讓學(xué)生在解決問題的過程中厘清思路、開闊視野，學(xué)得簡單、學(xué)得明白、學(xué)得扎實。同時，將一個典型數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型的過程，有助于發(fā)展學(xué)生的模型意識，讓學(xué)生獲得盡可能多的知識應(yīng)用空間。

（三）借助畫圖策略，解決問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識

新課標指出，數(shù)學(xué)的高度抽象性帶來了應(yīng)用的廣泛性，數(shù)學(xué)的應(yīng)用可以滲透到現(xiàn)代社會的各個方面。數(shù)學(xué)的應(yīng)用包括兩類：第一類是數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，即用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與思想方法解決數(shù)學(xué)本身的問題，這種應(yīng)用對數(shù)學(xué)知識的理解、技能的鞏固、思想方法的感悟等都是十分必要的；第二類是數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用，包括日常生活、職業(yè)場所中的應(yīng)用。

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅應(yīng)該關(guān)注如何幫助學(xué)生很好地掌握各種具體數(shù)學(xué)知識與技能，還應(yīng)該高度重視如何幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思想方法，以便能運用數(shù)學(xué)思維方法的“武器”，解決現(xiàn)實生活中遇到的數(shù)學(xué)問題。畫圖策略是解決問題中常用的一種數(shù)學(xué)方法，是“數(shù)形結(jié)合”思想的具體體現(xiàn)。應(yīng)用畫圖策略可以把問題中的數(shù)量關(guān)系用直觀、簡單的圖示表示出來，化抽象為直觀、化繁為簡、化隱為顯，有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

蘇霍姆林斯基曾說，每個孩子都是一個完全特殊的、獨一無二的世界。學(xué)生的成長環(huán)境不同、思考方式也可能不同，畫圖策略的使用也必然是多種多樣的。個性化的思考和設(shè)計，不僅有助于學(xué)生思考，還能彰顯學(xué)生的智慧。

例如：滑冰場上午有72人，中午有44人離去，又有85人到來?，F(xiàn)在有多少人在滑冰？

學(xué)生在解答這道題時，借助畫示意圖和線段圖兩種不同的形式來展示自己的解題思路。

學(xué)生畫出的圖雖然各種各樣，但他們每個人都有自己獨特的思維，因為他們在畫圖的過程中正在思考著、感悟著，這正是他們最大的收獲。當然，有時教師也要對各種畫法進行比較優(yōu)化。值得注意的是，教師要把選擇判斷的主動權(quán)交給學(xué)生，因為優(yōu)化的過程是學(xué)生自我完善的過程，應(yīng)該讓學(xué)生自己去感悟，這樣才能達到優(yōu)化的目的，才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

畫圖策略雖然能夠降低對抽象文字信息理解的難度，但是并不是不需要思考的，恰恰相反，要想利用畫圖策略解決問題，必須讀懂題意，勤思考、多動腦。在手腦結(jié)合的方式下，學(xué)生不僅能培養(yǎng)操作能力，還能開闊視野，通過聯(lián)想引發(fā)思考，提高解決問題的能力，不斷發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在新課標理念下，畫圖策略還體現(xiàn)了新課標中提出的數(shù)學(xué)的呈現(xiàn)方式要豐富多樣的新理念，進行了加強綜合，注重關(guān)聯(lián)，強化學(xué)科思維和方法的整合，促進了學(xué)科融合、跨學(xué)科的應(yīng)用。

四、研究的主要成果及尚存在的問題

（一）研究的主要成果

學(xué)生在學(xué)習(xí)態(tài)度上發(fā)生了改變。研究表明：學(xué)習(xí)態(tài)度影響著學(xué)習(xí)效率。學(xué)習(xí)態(tài)度端正、認真、積極的學(xué)生往往學(xué)習(xí)效果比較好，而學(xué)習(xí)效率低的學(xué)生總是不明白學(xué)習(xí)態(tài)度的重要性，以消極的態(tài)度來面對學(xué)習(xí)。通過本研究，在解決具體問題時，班級有近30%的學(xué)生開始主動采用畫圖的方法來幫助自己理解題意，尋找正確的問題解決途徑。

學(xué)生解決問題的能力得到了提高，核心素養(yǎng)得到了發(fā)展。借助畫圖策略，學(xué)生在觀察、對比、分析、推理中提升了解決問題的能力，其幾何直觀、模型意識、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)也在潛移默化中得到發(fā)展。

（二）尚存在的問題

數(shù)學(xué)畫圖能力的獲得需要有一個學(xué)習(xí)、積累、反思、鞏固、發(fā)展的長期過程。因此，從低年級開始，教師就應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)畫圖能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，采取切實有效的訓(xùn)練方法，幫助學(xué)生逐漸養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并從低年級到高年級形成系統(tǒng)，堅持長期指導(dǎo)和訓(xùn)練，做到持之以恒，借助畫圖策略，幫助學(xué)生形成較強的數(shù)學(xué)思維能力。

五、研究的主要結(jié)論

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師持之以恒的不懈努力。畫圖策略是最基本的解決問題的策略，不僅可以有效降低分析、理解問題的難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生用更加清晰的思路、更加簡單的方法來解決數(shù)學(xué)問題，還能開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在研究中，筆者主要采用了以下三種方法：第一，借助畫圖策略，表征問題，滲透幾何直觀；第二，借助畫圖策略，分析問題，感悟數(shù)學(xué)模型；第三，借助畫圖策略，解決問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識。

實踐證明，教師要著眼于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念，重視學(xué)生畫圖能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在面對較復(fù)雜的問題時，學(xué)會把畫圖當成解決問題的工具，選擇不同的畫圖策略解決問題，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。