陳曉斌，謝康，堯俊凱，王業(yè)順，唐祿博

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083；2.中南大學(xué) 教育部重載鐵路工程結(jié)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083；3.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 鐵道建筑研究所，北京 100081)

為了保證高鐵路基的安全性以及提高列車運(yùn)行的舒適性，相關(guān)規(guī)范對(duì)路基填料的壓實(shí)質(zhì)量均有著嚴(yán)格的要求[1-3]。路基壓實(shí)質(zhì)量的控制指標(biāo)以壓實(shí)系數(shù)K、地基系數(shù)K30等為主[4]，其中，以壓實(shí)系數(shù)進(jìn)行路基壓實(shí)質(zhì)量控制的方式較為普遍，可以直接反映路基的實(shí)際壓實(shí)效果。目前，測(cè)試路基填料壓實(shí)密度的方法有環(huán)刀法和灌砂法等，且以灌砂法的應(yīng)用最廣泛[5]。灌砂法的原理簡(jiǎn)單，但測(cè)試數(shù)據(jù)離散性大，效率較低，且所挖的試坑也在一定程度上破壞路基本體[6]。因此，亟需提出一種更加快速、便捷、易于操作、無(wú)損的壓實(shí)密度測(cè)試方法。

目前，剪切波速vs是表征細(xì)粒土強(qiáng)度、變形模量以及干密度等參數(shù)的重要方法[7-8]，CHEN等[9-11]探討了剪切波速與紅黏土強(qiáng)度定量關(guān)系，建立了紅黏土強(qiáng)度預(yù)測(cè)方程；張千里等[12]利用剪切波速理論，計(jì)算細(xì)粒土最大剪切模量，提出了砂土中的廣義有效應(yīng)力預(yù)測(cè)模型；張宇輝等[13]則引入體積膨脹率γv，建立了剪切波速與細(xì)粒土干密度評(píng)估模型；李建鑫[14揭示了影響路基填料壓縮強(qiáng)度與剪切波速的主控因素，證明了剪切波速與路基填料壓縮強(qiáng)度具有較強(qiáng)相關(guān)性；李少波等[15]針對(duì)含砂低液限黏土、含砂低液限粉土等細(xì)粒土試樣，建立了黏土、粉土的干密度與剪切波速的關(guān)系模型。由此可見(jiàn)，針對(duì)細(xì)粒土采用剪切波速來(lái)表征壓實(shí)密度的理論和測(cè)試體系較為成熟。然而，粗粒土填料屬于多相介質(zhì)，內(nèi)部顆粒間的粒度及性質(zhì)均有較大差異，仍采用細(xì)粒土的剪切波速與壓實(shí)密度理論和測(cè)試方法，效果不理想[16]。

基于對(duì)于粗粒土的剪切波速研究的不足，深入探討粗粒土壓實(shí)密度與剪切波速的定量關(guān)系，旨在建立粗粒土填料剪切波速與壓實(shí)密度理論方程，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證理論方程適用性，同時(shí)，提出適用于粗粒土填料的剪切波速測(cè)試方法。研究成果可為快速測(cè)試粗粒土填料的壓實(shí)密度提供新思路。

1 粗粒土剪切波速-壓實(shí)密度理論方程

1.1 基于顆粒接觸理論的粗粒土剪切模量研究

首先，基于彈性動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)出理想介質(zhì)剪切波速方程[17]：

式中：vs為剪切波速；G為粗粒土剪切模量；ρ為粗粒土密度；E為粗粒土彈性模型；μ為粗粒土泊松比。在壓實(shí)過(guò)程中，粗粒土的剪切模量、密度實(shí)時(shí)發(fā)生改變，而剪切模量的測(cè)試方法較復(fù)雜，導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確建立粗粒土剪切模量、密度與剪切波速之間的定量關(guān)系。同時(shí)，剪切波波長(zhǎng)處于10～30 cm范圍內(nèi)，對(duì)于細(xì)粒土而言，剪切波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于土顆粒粒徑，故近似將細(xì)粒土視為連續(xù)體，然而，粗粒土粒徑較大，無(wú)法完全近似視為連續(xù)體。趙明階等[18-19]研究砂土和土石混合料的剪切波速計(jì)算公式時(shí)，將土顆粒等效為粒徑相等、材料性質(zhì)相同的等球體，雖然等效的假設(shè)更合理，但無(wú)法量化不同粒徑的粗細(xì)顆粒。故本文將粗粒土中顆粒分為粗顆粒和細(xì)顆粒2 種球形，如圖1(a)所示。此時(shí)，顆粒間接觸的類型主要2種：相同顆粒之間接觸以及不同顆粒之間接觸，分別如圖1(b)和1(c)所示。

圖1 粗粒土簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of coarse-grained soil

基于鐘曉雄等[20]提出剪切模量理論公式，可得相同顆粒接觸時(shí)剪切模量G：

式中為粗粒土平均配位數(shù)；e為粗粒土孔隙比；r為顆粒半徑；Dn和Ds分別為顆粒接觸的法向剛度和切向剛度。

類似地，不同顆粒接觸時(shí)剪切模量G：

以不同顆粒接觸為例，推導(dǎo)散粒體剪切波速方程。首先，基于Hertz 接觸模型[21]，2 個(gè)球體受力擠壓變形時(shí)，則球體間位移δ為：

式中：P為兩球體間接觸法向力；μ1和μ2分別為粗顆粒和細(xì)顆粒的泊松比；E1和E2分別為粗顆粒和細(xì)顆粒的彈性模量；k1和k2為球體間位移計(jì)算系數(shù)；δ為兩球體間位移，即為圖1(c)中R1+R2-R′。

因此，球體接觸間的法向接觸剛度Dn為

引入LI 等[22]所提出的剛度比概念，建立顆粒剛度與顆粒接觸泊松定量關(guān)系：

式中：μ12為剛度比計(jì)算系數(shù)；kr為剛度比，即法向剛度與切向剛度的比。

綜上可知，通過(guò)式(3)、(7)以及式(10)，結(jié)合式(1)即可求得不同顆粒接觸散粒體剪切波速方程。

類似地，相同顆粒散粒體剪切波速方程為：

基于所得粗粒土剪切波速計(jì)算公式，分析各參數(shù)對(duì)于剪切波速的影響關(guān)系，結(jié)果如圖2所示。

圖2 剪切波速-壓實(shí)密度理論的參數(shù)分析Fig.2 Parametric analysis of shear wave velocity-compaction density theory

從圖2(a)可見(jiàn)：對(duì)于相同顆粒計(jì)算模型，顆粒的泊松比μ對(duì)剪切波速結(jié)果影響不大，而顆粒彈性模量對(duì)理論剪切波速的影響大，剪切波速隨著顆粒彈性模量提高而增加。從圖2(b)可見(jiàn)：對(duì)于不同顆粒計(jì)算模型，顆粒的泊松比μ對(duì)于剪切波速的影響不大，而顆粒彈性模量對(duì)剪切波速的影響更大，如當(dāng)泊松比μ為0.2，彈性模量從5 GPa 增大到10 GPa時(shí)，剪切波速?gòu)?97.9 m/s增大到279.9 m/s，提升了41.4%。

1.2 粗粒土干密度與剪切波速理論模型

在實(shí)際情況中，粗顆粒路基填料整體土體的顆粒接觸形式并不是單一的，而是多種顆粒接觸形式共存，且壓實(shí)過(guò)程中填料顆粒參數(shù)一般(如單個(gè)顆粒粒徑、剛度等)是固定的。根據(jù)1.1節(jié)的理論公式，不同接觸形式的理論計(jì)算公式不同，剪切波在復(fù)雜級(jí)配的粗粒土中在不同部分以不同速度傳播。

首先，按不同顆粒接觸形式將剪切波傳播路徑按不同波速分段：

式中：v′1為相同顆粒接觸部分的剪切波傳播速度；v′2為不同顆粒接觸部分的剪切波傳播速度；s1為相同顆粒接觸的剪切波傳播距離；s2為不同顆粒接觸的剪切波傳播距離；s=s1+s2，為整體剪切波傳播距離；t為整體剪切波傳播時(shí)間；v′為整體表觀剪切波傳播速度。為方便計(jì)算，整體取倒數(shù)處理：

其中，不同剪切波速對(duì)應(yīng)不同形式的顆粒接觸，其剪切波速與土體顆粒性質(zhì)間的關(guān)系為

基于楊尚惠等[23-24]的配位數(shù)計(jì)算理論，平均配位數(shù)計(jì)算如下：

式中：?為孔隙率。

孔隙率與土體密度有如下關(guān)系：

式中：ρs為粗粒土的顆粒密度。

將式(16)～(19)代入式(15)。假定單個(gè)顆粒的密度均相同，按照級(jí)配即粗細(xì)顆粒質(zhì)量比，等價(jià)得到粗細(xì)顆粒體積比，再根據(jù)顆粒的粒徑比，推斷出顆粒數(shù)量比，進(jìn)而得到其配位數(shù)的關(guān)系，并將式(18)代入，可得：

式中：a、b和c為與所用填料級(jí)配相關(guān)的顆粒接觸配位數(shù)系數(shù)。式(21)涉及參數(shù)較多，對(duì)實(shí)際使用造成了一定不便，但所涉及的參數(shù)M、ρs均只與土體性質(zhì)相關(guān)，即當(dāng)填料確定后，這些參數(shù)均保持不變，在同種土體的壓實(shí)過(guò)程中不發(fā)生變化。

1.3 數(shù)值驗(yàn)證

采用Comsol 數(shù)值軟件建立模型，進(jìn)一步驗(yàn)證理論公式的正確性。建模時(shí)，使用與理論相同的假設(shè)條件，將粗粒土近似為無(wú)限空間，模型采用周期性邊界來(lái)模擬這種無(wú)限空間土體中傳播的剪切波，取直達(dá)波進(jìn)行分析，避免邊界折射、反射等現(xiàn)象的影響。

由于在Comsol 中采用周期性結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬，故建模時(shí)只需要建立最小單元，然后進(jìn)行重復(fù)即可。圖3所示為相同顆粒以及不同顆粒的數(shù)值計(jì)算模型圖，分別對(duì)應(yīng)于理論公式中相同顆粒組成的散粒體以及2種不同顆粒組成的散粒體模型。模型的剪切波速通過(guò)Comsol 軟件內(nèi)置的固體物理周期性結(jié)構(gòu)計(jì)算方程求解。模型中，頻率與波矢之間的頻散關(guān)系為

圖3 不同顆粒類型的數(shù)值計(jì)算模型Fig.3 Numerical computation model of different particle types

式中：ω為頻率；k′為波矢。

對(duì)于模型的參數(shù)，按照表1進(jìn)行取值。值得注意的是，模型及參數(shù)取值僅為了驗(yàn)證1.2節(jié)中粗粒土壓實(shí)密度與剪切波速方程在假定和推導(dǎo)等理論方面的合理性，與實(shí)際粗粒土存在一定偏差。

表1 數(shù)值模型的參數(shù)取值Table 1 Numerical model parameter values

圖4所示為理論模型與Comsol 數(shù)值模型對(duì)不同接觸類型的剪切波速計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖。由圖4可知：理論公式與數(shù)值模擬計(jì)算的剪切波速相近，預(yù)測(cè)趨勢(shì)相同。由于數(shù)值模擬與理論模型的假設(shè)條件并不完全一致，例如理論模型在計(jì)算顆粒模量時(shí)近似認(rèn)為各向同性，同時(shí)數(shù)值模擬與理論分析對(duì)于2 個(gè)球體間接觸后體積的計(jì)算方法也不同。故理論計(jì)算和數(shù)值模擬間仍有一定的相對(duì)誤差，但相對(duì)誤差在8%以內(nèi)，可認(rèn)為理論模型是正確的。

圖4 剪切波速計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖Fig.4 Comparison of shear wave speed calculation results

2 粗粒土剪切波速試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)材料

為了與實(shí)際工程接近，本次測(cè)試剪切波速所用的粗粒土取自京雄高鐵霸州某標(biāo)段。根據(jù)GB/T50123—2019《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》，開展了篩分試驗(yàn)，得到了試驗(yàn)粗粒土填料的級(jí)配曲線如圖5所示。通過(guò)擊實(shí)試驗(yàn)確定了試驗(yàn)粗粒土填料的最優(yōu)含水率為5.5%，最大干密度為2.24 g/cm3。

圖5 填料級(jí)配Fig.5 Filler gradation

2.2 試驗(yàn)設(shè)備

室內(nèi)振動(dòng)壓實(shí)試驗(yàn)設(shè)備采用課題組自主研發(fā)的大型智能振動(dòng)壓實(shí)儀，該新型智能振動(dòng)壓實(shí)儀主要由機(jī)架、振動(dòng)系統(tǒng)與控制系統(tǒng)組成，其構(gòu)造如圖6所示。振動(dòng)系統(tǒng)主要包括配重塊、偏心塊、激振頭與激振電機(jī)?？刂葡到y(tǒng)由位移計(jì)和數(shù)據(jù)采集軟件組成，其中數(shù)據(jù)采集軟件可通過(guò)控制變頻器對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)行調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)變頻器啟?？刂啤⒐ぷ鳡顟B(tài)的實(shí)時(shí)監(jiān)控，可控制振動(dòng)頻率為0～80 Hz。通過(guò)位移計(jì)，采用表面沉降法，實(shí)現(xiàn)壓實(shí)密度的自動(dòng)監(jiān)測(cè)，形成壓密曲線。壓實(shí)儀的質(zhì)量為200 kg，配重塊的質(zhì)量調(diào)節(jié)范圍為0～400 kg，偏心距的調(diào)節(jié)范圍為0～8 cm，偏心塊質(zhì)量為2.4 kg。

圖6 試驗(yàn)設(shè)備Fig.6 Test equipment

目前，學(xué)者們采用下式直接測(cè)試剪切波速vs：

式中：l0為激發(fā)剪切波裝置與接收裝置間的距離；ts為激發(fā)剪切波裝置與接收裝置間傳播時(shí)間。

然而，針對(duì)粗粒土剪切波測(cè)試方法鮮有相關(guān)研究，需要提出合理的剪切波速測(cè)試方法。影響剪切波速的試驗(yàn)因素主要包括激發(fā)波形和激發(fā)頻率2 個(gè)因素[25]。本文剪切波速試驗(yàn)采用英國(guó)GDS彎曲元系統(tǒng)，該設(shè)備不但可以實(shí)現(xiàn)正弦波、方波等激發(fā)波形的調(diào)節(jié)，而且可以激發(fā)不同頻率的剪切波。

2.3 試驗(yàn)方案

首先，研究了激發(fā)波波形和激發(fā)波頻率對(duì)于剪切波速測(cè)試結(jié)果的影響，獲得準(zhǔn)確的剪切波速測(cè)試值。

然后，提出合理的粗粒土填料剪切波速測(cè)試方法。

最后，根據(jù)此方法測(cè)試不同壓實(shí)密度下粗粒土的剪切波速，并與理論計(jì)算對(duì)比，驗(yàn)證剪切波速-壓實(shí)密度理論公式適用性。試驗(yàn)工況如表2所示。

表2 試驗(yàn)工況Table 2 Test conditions

3 試驗(yàn)結(jié)果

3.1 激發(fā)信號(hào)波形的影響

粗粒土處于疏松狀態(tài)和緊密狀態(tài)下，分別采用方波和正弦以10 Hz 頻率激發(fā)，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同激發(fā)波形測(cè)試結(jié)果Fig.7 Test results of different excitation waveforms

由圖7 可知：不論激發(fā)波形如何，接收波形均為正弦波。以圖7(a)為例，當(dāng)填料干密度為2.17 g/cm3時(shí)，根據(jù)接收波波形圖，以剪切波初至?xí)r間點(diǎn)計(jì)算得到剪切波速，對(duì)于正弦波激發(fā)的情況，激發(fā)波在0 ms 初激發(fā)，而接收波的初至點(diǎn)出現(xiàn)在0.474 ms，時(shí)間差為0.474 ms，減去彎曲元系統(tǒng)傳播時(shí)間0.035 ms，實(shí)際傳播時(shí)間為0.439 ms，粗粒土填料高度為118.7 mm，根據(jù)式(22)計(jì)算出剪切波速為270.4 m/s。而對(duì)于方波激發(fā)的情況，計(jì)算出剪切波速為266.1 m/s。當(dāng)粗粒土填料干密度較小時(shí)，正弦波激發(fā)無(wú)法得到可辨認(rèn)的接收波形圖，而采用方波激發(fā)卻可以得到有效的接收波波形圖。而當(dāng)粗粒土填料干密度較大時(shí)，正弦波、方波激發(fā)均可得到有效的接收波形?？梢?jiàn)，方波激發(fā)具有更廣泛的適用性。

3.2 激發(fā)頻率的影響

粗粒土處于疏松狀態(tài)和緊密狀態(tài)下，采用方波激發(fā)，激發(fā)頻率分別為1、2、5、10 和20 Hz，測(cè)試結(jié)果如圖8所示。由圖8可知：不同頻率的激發(fā)波對(duì)于剪切波速測(cè)試的效果有非常明顯的影響；當(dāng)所用激發(fā)頻率較低時(shí)，激發(fā)波波長(zhǎng)小于剪切波傳播距離，接收波形難以發(fā)生明顯變化，幾乎無(wú)法獲取任何有效的信息；當(dāng)激發(fā)頻率增大、激發(fā)波波長(zhǎng)大于剪切波傳播距離時(shí)，可從接收波形圖中獲得有效的信息。當(dāng)激發(fā)頻率為5～10 kHz 時(shí)，可以得到清晰有效的接收波形圖，據(jù)此可對(duì)剪切波速進(jìn)行計(jì)算。接收波頻率并不隨激發(fā)波頻率變化而成倍變化。

干密度較大的粗粒土填料接收波形圖清晰度更高，而干密度較小的試樣接收波形噪聲較多，這主要是由于壓實(shí)系數(shù)較高的試樣密實(shí)性更好，剪切波更接近于在均勻連續(xù)各向同性的理想介質(zhì)中傳播，減少了雜波的干擾及能量的損耗。

3.3 粗粒土干密度預(yù)測(cè)模型

為驗(yàn)證所提出的粗粒土剪切波速-干密度理論方程適用性，通過(guò)文獻(xiàn)調(diào)研[26-33]，列出常規(guī)粗粒土的宏細(xì)觀物理力學(xué)參數(shù)，并以此對(duì)理論公式中參數(shù)賦值。表3所示為文獻(xiàn)[26-33]中粗粒土參數(shù)取值統(tǒng)計(jì)。參考文獻(xiàn)[26-33]，并結(jié)合本文材料的相關(guān)性質(zhì)，理論方程中的計(jì)算參數(shù)如表4所示。

表3 文獻(xiàn)[26-33]中粗粒土參數(shù)取值統(tǒng)計(jì)Table 3 Parameter value statistics of coarse-grained soil in Refs.[26-33]

表4 理論公式參數(shù)取值Table 4 Theoretical formula parameter value

將選取的材料參數(shù)代入式(20)，可得如下剪切波速-密度方程：

將所得粗粒土剪切波速與密度關(guān)系式繪制曲線，結(jié)果如圖9所示，并與相應(yīng)工況試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果對(duì)比。從圖9可見(jiàn)：理論公式可以較好地預(yù)測(cè)測(cè)試結(jié)果。在實(shí)際工程中，求出所用材料的M，其后在工程現(xiàn)場(chǎng)可通過(guò)測(cè)量壓實(shí)填料的剪切波速來(lái)計(jì)算土體密度。

圖9 理論與實(shí)測(cè)剪切波速對(duì)比圖Fig.9 Comparison of theoretical and measured shear wave velocities

4 結(jié)論

1)通過(guò)彈性動(dòng)力學(xué)與顆粒細(xì)觀接觸理論，基于粗粒土細(xì)觀特性(包括顆粒的剛度、配位數(shù)、孔隙率、密度)，推導(dǎo)粗粒土剪切波速-壓實(shí)密度的理論計(jì)算方程。在計(jì)算方程中，顆粒的泊松比對(duì)剪切波速的影響不大，而顆粒彈性模量對(duì)剪切波速的影響較大。

2)通過(guò)周期邊界理論，采用Comsol 數(shù)值軟件來(lái)模擬無(wú)限空間土體中傳播的剪切波，根據(jù)數(shù)值模型中頻率與波矢之間的頻散關(guān)系得到波速，數(shù)值結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果變化趨勢(shì)相同，且相對(duì)誤差均在8%以內(nèi)。

3)剪切波速隨壓實(shí)密度增加而增加。5～10 kHz是合適的激發(fā)頻率范圍，在此頻率范圍內(nèi)，不論何種激發(fā)波，接收波形均為正弦波，但方波激發(fā)具有更廣泛的適用性。

4)試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了剪切波速-壓實(shí)密度方程的適用性。在實(shí)際工程應(yīng)用中，求出所用粗粒土填料的M，可通過(guò)粗粒土填料的剪切波速來(lái)快速計(jì)算其壓實(shí)密度。