三相不平衡對(duì)配電變壓器效率影響數(shù)學(xué)建模與分析

姚 偉，劉彥彥，于振江

（伊犁職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電化工學(xué)院，伊寧 835000）

配電網(wǎng)三相不平衡產(chǎn)生的原因大致分為兩類，一類是由供電環(huán)節(jié)不平衡而導(dǎo)致系統(tǒng)三相不平衡，另一類則是由負(fù)荷的不對(duì)稱引起的系統(tǒng)三相不平衡[1]。低壓電網(wǎng)大多是經(jīng)過(guò)變壓器降壓后，以三相四線制向用戶供電，存在大量的隨機(jī)性接入的單相負(fù)荷。在進(jìn)行三相配電時(shí)，供電公司應(yīng)該將接入單相用戶均衡地分接在A、B、C 三相[2]。但近年來(lái)，由于單相用戶的用電設(shè)備增加、單相接入負(fù)載功率增大以及單相用戶用電設(shè)備接入的時(shí)間不確定等，均造成了三相負(fù)載的不平衡[3]。目前，影響配電變壓器效率的問(wèn)題主要由變壓器損耗、線路損耗、三相不平衡構(gòu)成[4]。而對(duì)于低壓配電網(wǎng)來(lái)說(shuō)，三相不平衡是影響配電變壓器效率的主要成因。因?yàn)榫用裨谏钪兄饕褂脝蜗嘤秒娖?，用電?qiáng)度完全隨著用電習(xí)慣變化，具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，所以在同一個(gè)時(shí)段，A、B、C 三相會(huì)負(fù)擔(dān)不同強(qiáng)度的用電負(fù)荷，造成比較嚴(yán)重的三相不平衡問(wèn)題。據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，在較高收入水平的農(nóng)村地區(qū)，其單相負(fù)荷容量可達(dá)到總負(fù)荷容量的90%；在收入水平中等的農(nóng)村地區(qū)該比例約為70%；在較低收入水平的少數(shù)用電區(qū)域中，單相用電負(fù)荷所占比重也能達(dá)到50%[5]。這種由于單相用電設(shè)備的隨機(jī)性接入導(dǎo)致的三相負(fù)荷不平衡會(huì)給低壓配電網(wǎng)帶來(lái)很多危害，尤其會(huì)影響配電變壓器效率。文獻(xiàn)[6]提出一種考慮負(fù)荷分布的線損計(jì)算方法。文獻(xiàn)[7]對(duì)傳統(tǒng)線損計(jì)算方法的模型和適用范圍進(jìn)行了介紹。文獻(xiàn)[8]引入三相潮流算法，分析優(yōu)化模型中三相負(fù)荷及單相負(fù)荷的待選接入方式，主要以低壓配電網(wǎng)的線損作為研究對(duì)象，重點(diǎn)圍繞線損影響因素及適用于低壓配電網(wǎng)的降損方法展開(kāi)研究，考慮的因素不足。文獻(xiàn)[9]基于低壓配網(wǎng)簡(jiǎn)化模型明確了三相負(fù)荷不平衡危害和解決方案，對(duì)現(xiàn)有的三相負(fù)荷不平衡治理措施進(jìn)行改進(jìn)，提出三相負(fù)荷不平衡智能控制方案，定量分析和評(píng)估不同條件下三相負(fù)荷不平衡對(duì)低壓配電網(wǎng)臺(tái)區(qū)的危害及影響。文獻(xiàn)[10]針對(duì)農(nóng)村配電變壓器三相不平衡進(jìn)行了分析，主要就三相不平衡帶來(lái)的線路和配變附加損耗及應(yīng)對(duì)調(diào)整給出了模型方法。文獻(xiàn)[11]分析三相不平衡對(duì)變壓器損耗影響的機(jī)理，并就配電變壓器損耗計(jì)算實(shí)例分析，給出了配電變壓器損耗與三相不平衡度的關(guān)系。文獻(xiàn)[12-13]針對(duì)三相不平衡的危害展開(kāi)討論并提出三相不平衡治理措施與防治策略。文獻(xiàn)[14-15]對(duì)三相不平衡所帶來(lái)的損耗進(jìn)行分析研究，并提出了治理方法與策略?？v觀眾多文獻(xiàn)對(duì)于三相不平衡問(wèn)題的研究，充分表明研究三相不平衡對(duì)配電變壓器效率影響，尤其是三相不平衡所產(chǎn)生的損耗對(duì)配電變壓器效率影響是很有必要的。

分析了上述及相關(guān)文獻(xiàn)，未能找到一套關(guān)于三相不平衡度與變壓器鐵損、銅損、線損以及與變壓器效率的關(guān)系式，本文在分析影響配電變壓器效率的因素，諸如，變壓器自身?yè)p耗、線路損耗、附加損耗等因素后，盡可能的建立建全分析參數(shù)，采用數(shù)理方法推究，實(shí)驗(yàn)、案例與仿真加以分析，得到三相不平衡度（三相幅值不平衡度，三相功率因數(shù)不平衡度，三相負(fù)荷不平衡度）對(duì)配電變壓器效率影響關(guān)系，包括對(duì)配電變壓器鐵損、銅損、線損的影響關(guān)系，為后續(xù)三相不平衡的治理、節(jié)能減排及提高電網(wǎng)電能質(zhì)量提供參考依據(jù)。

1 三相負(fù)荷不平衡度算法模型

引入相位變換算子α=ej120o，α2=e-j120o，α3=ej0o=1。定義Ia、Ib、Ic為變壓器副邊側(cè)三相電流，Imax為三相最大電流，Imin為三相最小電流，Iav為副邊側(cè)三相平均電流，Ki為三相電流不平衡度。

（1）按照國(guó)標(biāo)GB/T15543—2008 規(guī)定，三相電流不平衡度定義[16]為

式中：I2為負(fù)序分量；I1為正序分量[17]，表示為

（2）文獻(xiàn)[18]提到三相電流不平衡度定義為

式中，Iav=(Ia+Ib+Ic)/3。

（3）《架空配電線路及設(shè)備運(yùn)行規(guī)程》中規(guī)定：三相電流不平衡度定義為

（4）文獻(xiàn)[19]提到三相電流不平衡度定義為

2 三相不平衡對(duì)配電變壓器效率影響的建模

三相不平衡會(huì)使配電變壓器的損耗大幅增加，且隨不平衡度的增加呈二次函數(shù)增長(zhǎng)，不平衡度為50%時(shí)變壓器損耗將增加1倍[20]。下文將對(duì)常用的Dyn11及Yyn0聯(lián)結(jié)方式的配電變壓器進(jìn)行分析。

2.1 三相不平衡對(duì)配電變壓器鐵損的影響

三相不平衡時(shí)，附加產(chǎn)生的磁阻損耗、漏磁場(chǎng)增大產(chǎn)生的渦流損耗則需要加以考慮[21]。對(duì)于Y/Y0接線配電變壓器，零序電阻比正序電阻大得多，通過(guò)實(shí)測(cè)250 kV·A變壓器的零序電阻是正序電阻的15倍，零序電流產(chǎn)生的附加鐵損也較大[22]。根據(jù)鐵損的定義，三相不平衡時(shí)，變壓器鐵損可推導(dǎo)為

式中：PFe為鐵損；λ為損耗系數(shù)；f為交變頻率；Bm為磁強(qiáng)幅值；G為鐵芯質(zhì)量；Ie為感應(yīng)電流；Rm為磁阻；I20為變壓器二次側(cè)零序電流分量；μ為I20作用在變壓器上的系數(shù)；R20m為二次側(cè)零序電流通路作用下的等效電阻。

2.2 三相不平衡對(duì)配電變壓器銅損的影響

設(shè)三相變壓器的單相繞組的阻抗為ZCU，變壓器變比為K，IA、IB、IC為原邊側(cè)相電流，PCUY為三相平衡變壓器銅損，PCUN為三相不平衡變壓器銅損，ΔPCU為附加銅損。

當(dāng)三相平衡時(shí)，變壓器銅損可表示為

當(dāng)三相不平衡時(shí)，變壓器銅損可表示為

則因三相不平衡產(chǎn)生的附加銅損為

引入電流不平衡系數(shù)[23]為

式中，Iσ為相電流，則

根據(jù)計(jì)算，βσ的范圍一般為-1～2，且根據(jù)式（10）推導(dǎo)可得

將式（10）代入式（7），可得

將式（11）、（6）、（12）代入式（8），可得：

定義三相幅值不平衡度為Kχ，并令

將式（14）代入式（13），可以得到三相不平衡時(shí)，變壓器附加銅損與三相幅值不平衡度的關(guān)系式為

2.3 三相不平衡對(duì)配電變壓器線損的影響

假設(shè)A、B、C 三相負(fù)荷的功率因數(shù)角分別為φ1、φ2、φ3，則變壓器二次側(cè)各相電流可以表示為

中性線電流的矢量式為

假設(shè)三相負(fù)荷的各相阻抗角相等，根據(jù)我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)三相交流電的矢量形式，將ia、ib、ic分別繞矢量原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)φ角，使得各相電流與對(duì)應(yīng)實(shí)軸重合，把式（16）代入式（17）并取?？傻玫街行跃€電流的有效值為

把式（10）、（11）、（14）代入式（18），并進(jìn)行數(shù)學(xué)變換整理可得

假設(shè)單位長(zhǎng)度中心線的阻抗為Rn，ΔPoAN為三相幅值不平衡中性線附加損耗，則因三相幅值不平衡而在中性線產(chǎn)生的附加損耗為

假設(shè)三相阻抗角不相等，把式（10）代入式（16），再代入式（17），可得

假設(shè)式（21）的實(shí)部為m，虛部為n，ΔPoΦN為三相功率因數(shù)不平衡中性線附加損耗，此時(shí)中性線產(chǎn)生的附加損耗為

若想通過(guò)補(bǔ)償使得三相平衡，流過(guò)中性線電流為0，即Io=0。顯然對(duì)于三相平衡系統(tǒng)來(lái)說(shuō)各相不平衡度均為0，即βa=βb=βc=0。由于Iav≠0，則只有：m2+n2=0，代入相關(guān)參數(shù)，并按照三角函數(shù)關(guān)系展開(kāi)整理可得

可見(jiàn)針對(duì)三相功率因數(shù)不平衡系統(tǒng)，若使得三相負(fù)荷平衡，必須通過(guò)補(bǔ)償來(lái)實(shí)現(xiàn)三相阻抗角φ1、φ2、φ3平衡，否則即使三相幅值平衡，而功率因數(shù)不平衡，中性線會(huì)仍有電流流過(guò)，造成附加電能損耗。

假設(shè)變壓器二次側(cè)相線單位長(zhǎng)度線路電阻為RL，ΔPLN為三相不平衡單位長(zhǎng)度線損，ΔPLY為三相平衡單位長(zhǎng)度線損，ΔPLΦ為三相功率因數(shù)不平衡單位長(zhǎng)度的總線損，ΔPL為單位長(zhǎng)度的總線損，ΔPLΦN為三相功率因數(shù)不平衡總附加線損，ΔPLAN為三相幅值不平衡總附加線損。

三相不平衡時(shí)，三相單位長(zhǎng)度線損為

定義三相功率因數(shù)不平衡度為KΦ，并令KΦ=m2+n2，對(duì)于存在大量單相負(fù)荷，三相功率因數(shù)不平衡的線路，其單位長(zhǎng)度的總線損可表示為

當(dāng)三相平衡時(shí)，由于βa=βb=βc=0，則三相單位長(zhǎng)度線損為

則三相功率因數(shù)不平衡而產(chǎn)生的總附加線損為

通過(guò)式（28），可以看出三相相角不對(duì)稱和幅值不相等情況下，所帶來(lái)的附加線路損耗，并可以看出附加線路損耗與對(duì)應(yīng)不平衡系數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系，為后續(xù)三相不平衡的治理提供了理論依據(jù)。

對(duì)于存在大量單相負(fù)荷的線路，定義三相負(fù)荷不平衡度為Kε，并令Kε=2KΦ+Kχ代入式（28），可得

通過(guò)式（29），可以看出三相功率因數(shù)不平衡和幅值不平衡情況下，線路中產(chǎn)生的總附加線路損耗與三相負(fù)荷不平衡度的關(guān)系。為了更直觀地描述實(shí)際情況三相不平衡對(duì)線路中產(chǎn)生的總附加線路損耗的影響，對(duì)三相負(fù)荷不平衡度Kε式進(jìn)行離散化表述，即

式中：Kεi、K?i、Kχi分別為第i時(shí)刻三相負(fù)荷不平衡度、三相功率因數(shù)不平衡度和三相幅值不平衡度，mi、ni分別為第i時(shí)刻三相功率因數(shù)不平衡度的實(shí)部和虛部，βai、βbi、βci分別為第i時(shí)刻A相、B相和C相電流不平衡系數(shù)[24]。

式中，φ1i、φ2i、φ3i分別為第i時(shí)刻A、B、C 三相負(fù)荷的功率因數(shù)角。

式（30）和（31）為三相不平衡系統(tǒng)的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)無(wú)功補(bǔ)償提供了參考模型。考慮到實(shí)際低壓供配電線路中，三相功率因數(shù)變化不大，若假設(shè)三相功率因數(shù)相等。則因三相幅值不平衡，單位長(zhǎng)度線路中產(chǎn)生的總附加線損為

若引入線損率εL并定義為：在三相功率因數(shù)近似相等的情況下，三相不平衡系統(tǒng)中單位長(zhǎng)度線路中產(chǎn)生的總附加線路損耗與單位長(zhǎng)度的總線路損耗的比值，則

由于Ia≥0,Ib≥0,Ic≥0 ，代入式（10），可得：βa≥-1,βb≥-1,βc≥-1，代入式（11），并對(duì)式（11）進(jìn)行變換，可得

將式（34）代入式（14），可得：0 ≤Kχ≤6，代入式（33），求極限，即

2.4 三相不平衡對(duì)配電變壓器效率的影響

變壓器的效率定義可用公式表示為

式中：P2為變壓器輸出功率；P1為變壓器輸入功率；ΔP為總損耗，即鐵損、銅損和線損的總和。

若只考慮三相幅值不平衡，則

對(duì)于一般配電變壓器而言，變壓器鐵損可看作固定值或微小變動(dòng)，變壓器銅抗為常數(shù)，則

因三相不平衡產(chǎn)生的總附加損耗ΔPFAN為附加鐵損、附加銅損、附加線損的總和。代入相關(guān)參數(shù)可得

若針對(duì)三相功率因數(shù)亦不平衡的配電系統(tǒng)，并假設(shè)此種情形的總損耗為ΔPAΦ，總附加損耗為ΔPFAΦ，則

通過(guò)式（37）～（41）可以看出三相不平衡產(chǎn)生的總損耗、總附加損耗與三相不平衡度成一次線性函數(shù)變化，與三相平均電流的平方成正比例變化。

3 三相不平衡對(duì)配電變壓器效率影響的試驗(yàn)

低壓線路三相負(fù)荷不平衡時(shí)，附加損耗表現(xiàn)在兩部分：一是附加的鐵損和銅損，二是附加的線路損耗。搭建三相不平衡實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1所示。

圖1 三相負(fù)荷不平衡實(shí)驗(yàn)原理Fig.1 Schematic of three-phase load unbalance experiment

當(dāng)總功率一定時(shí)，三相負(fù)荷分配可以按照3 種情況來(lái)分析[22]。

情況1 一相負(fù)荷重、一相負(fù)荷輕、一相負(fù)荷取中間。

定義此種情況總損耗為ΔP1，可令

把式式（42）代入式（14），可得Kχ=2β2，代入式（38），可得

情況2 一相負(fù)荷重、兩相負(fù)荷輕。

定義此種情況總損耗為ΔP2，可令

情況3 一相負(fù)荷輕、兩相負(fù)荷重。

定義此種情況總損耗為ΔP3，可令

比較式（43）、（45）、（47）可知，當(dāng)總功率一定時(shí)，三相負(fù)荷不平衡帶來(lái)的損耗為

把式（48）代入式（36），可知，當(dāng)總功率一定時(shí)，3 種不平衡實(shí)驗(yàn)條件下配電變壓器效率為：情況2大于情況1，情況1大于情況3。

4 算例與仿真分析

變壓器選擇配電網(wǎng)中最常見(jiàn)的變壓器10/0.4 kV，10 kV線路全長(zhǎng)取10 km，單位長(zhǎng)度電阻為0.2 Ω/km，電抗為0.4 Ω/km，中性線單位長(zhǎng)度電阻0.4 Ω/km[25]。取β=0.5，按照上述3 種情況分配實(shí)驗(yàn)負(fù)荷，分別對(duì)應(yīng)方式1、方式2、方式3 和方式0 為該實(shí)驗(yàn)條件的平衡參照方式，分析如下。

實(shí)驗(yàn)1：三相功率因數(shù)平衡、幅值不平衡，仿真與計(jì)算結(jié)果如表1 和表2所示。其中，Ki1、Ki2、Ki3、Ki4分別對(duì)應(yīng)三相負(fù)荷不平衡度算法模型中的4種計(jì)算式。

表1 本文提出的三相幅值不平衡度與已有三相負(fù)荷不平衡度算法模型的優(yōu)勢(shì)比較Tab.1 Comparison between the proposed three-phase amplitude unbalance degree and the existing three-phase load unbalance degree algorithm model

表2 三相幅值不平衡度、損耗及變壓器效率統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistics of three-phase amplitude unbalance degree,loss and transformer efficiency

仿真三相幅值不平衡度與總損耗、附加損耗、中性線電流、配電變壓器的效率關(guān)系，如圖2和圖3所示。

圖2 三相幅值不平衡度與總損耗、附加損耗及中性線電流關(guān)系曲線Fig.2 Relationship curves of three-phase amplitude unbalance degree with total loss,additional loss and neutral current

圖3 三相幅值不平衡度與配電變壓器效率關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve of between three-phase amplitude unbalance degree and distribution transformer efficiency

由表2、圖2 和圖3 可以看出：試驗(yàn)1 條件下三相幅值不平衡度越大，總損耗ΔP和總附加損耗ΔPLAN以及中性線電流也隨之增大，配電變壓器效率隨之降低。

實(shí)驗(yàn)2：三相幅值平衡、三相功率因數(shù)不平衡，仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 三相功率因數(shù)不平衡度與損耗及中性線電流關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curves of three-phase power factor unbalance degree with loss and neutral current

圖5 三相功率因數(shù)不平衡度與配電變壓器效率關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curves of between three-phase power factor unbalance degree and distribution transformer efficiency

由圖4 和圖5 可以看出：試驗(yàn)2 條件下三相功率因數(shù)不平衡度越大，總損耗ΔPΦ和總附加損耗ΔPFΦ以及中性線電流也隨之增大，配電變壓器效率隨之降低。

實(shí)驗(yàn)3：針對(duì)存在大量復(fù)合型負(fù)載的三相功率因數(shù)和幅值均不平衡的低壓供配電系統(tǒng)，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 三相負(fù)荷不平衡度與總損耗、附加損耗及中性線電流關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curves of three-phase load unbalance degree with total loss,additional loss and neutral current

圖7 三相負(fù)荷不平衡度與配電變壓器效率關(guān)系曲線Fig.7 Relationship curve of between three-phase load unbalance degree and distribution transformer efficiency

由圖6 和圖7 可以看出：試驗(yàn)3 條件下三相負(fù)荷不平衡度越大，總損耗ΔPAΦ和總附加損耗ΔPFAΦ以及中性線電流也隨之增大，配電變壓器效率隨之降低。

綜上，結(jié)合表1 可分析得知：本文提出的三相不平衡度算法可以有效反映與配網(wǎng)總損耗、附加損耗、中性線電流及配電變壓器效率關(guān)系，表1 中的三相負(fù)荷不平衡度算法模型中的第1 種基于序分量的三相電流不平衡度算法雖然也能作為自變量來(lái)建立與低壓配電網(wǎng)總損耗、附加損耗、中性線電流及配電變壓器效率關(guān)系，但只能逐相分析，無(wú)法反映三相不平衡度，而且各相的正序與負(fù)序分量在實(shí)踐中不易測(cè)得，表1中的三相負(fù)荷不平衡度算法模型中的第2種至第4種三相電流不平衡度算法則無(wú)法用來(lái)建立與低壓配電網(wǎng)總損耗、附加損耗、中性線電流及配電變壓器效率關(guān)系。

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)三相不平衡對(duì)配電變壓器效率可能帶來(lái)的影響逐一展開(kāi)分析討論，包括三相不平衡對(duì)鐵損的影響，對(duì)銅損的影響，對(duì)線損的影響，并比較分析了三相不平衡較于三相平衡給配電網(wǎng)帶來(lái)的附加損耗影響。提出了三相不平衡度（三相幅值不平衡度，三相功率因數(shù)不平衡度，三相負(fù)荷不平衡度）的計(jì)算式，并以此參數(shù)為自變量，建立了三相不平衡度與總損耗、附加損耗、中性線電流及配電變壓器效率的關(guān)系曲線。實(shí)驗(yàn)及案例仿真分析表明：三相不平衡度越大，中性線電流就越大，損耗就越大，配電變壓器效率越低；三相幅值平衡而三相功率因數(shù)不平衡時(shí)，中性線仍有電流流過(guò)，即仍會(huì)產(chǎn)生附加損耗，總體看三相功率因數(shù)不平衡對(duì)低壓配電網(wǎng)損耗影響不大。為此，必須降低三相不平衡度，以提高配電變壓器效率，來(lái)節(jié)能降損，改善電網(wǎng)質(zhì)量。