王黨朝，陳 湘，王 劍，黃永超

（內(nèi)江師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100）

1 問(wèn)題的提出

在量子理論建立之初，普朗克在研究黑體輻射問(wèn)題時(shí)，將黑體視作大量諧振子，每個(gè)諧振子會(huì)發(fā)射和吸收電磁波，且發(fā)射和吸收電磁波的能量是不連續(xù)的（為某一能量值的整數(shù)倍）。在此假設(shè)之上，他提出了黑體輻射單位面積的發(fā)射功率為

其后，在對(duì)三維晶格摩爾熱容的研究中，德拜考慮到不同格波對(duì)晶格熱容的貢獻(xiàn)存在差異，尤其在低溫時(shí)低頻格波的振動(dòng)，它的色散關(guān)系是線性的，并且低頻格波可以看作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波，同時(shí)考慮了對(duì)某一特定波矢，存在一支縱彈性波和兩支獨(dú)立的橫彈性波，因此提出了新的熱容模型：當(dāng)T?ΘD時(shí)，晶格的平均內(nèi)能為

其中x=?ω/(kBT)，β=1/(kBT)。上述兩項(xiàng)計(jì)算中均出現(xiàn)了積分

很明顯，被積函數(shù)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示，因此給求解帶來(lái)困難。我們知道，復(fù)變函數(shù)理論是實(shí)變函數(shù)理論的自然推廣，但又擁有比實(shí)變函數(shù)更豐富的內(nèi)容，尤其對(duì)于一大類在實(shí)數(shù)域內(nèi)無(wú)法求出原函數(shù)的定積分問(wèn)題，可以通過(guò)構(gòu)造積分圍道，使用復(fù)變函數(shù)的留數(shù)理論予以解決，這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于構(gòu)造積分圍道[3-5]。對(duì)于上述形式的定積分問(wèn)題，目前還沒(méi)有它的留數(shù)定理解法，以下首先給出該問(wèn)題的冪級(jí)數(shù)解法，隨后著重使用留數(shù)定理予以求解，可以看出其結(jié)果是一致的。

2 冪級(jí)數(shù)理論求解

使用冪級(jí)數(shù)求解定積分的理論依據(jù)是，在收斂域內(nèi)，把被積分函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，在一致收斂的條件下，交換求和與積分的次序，把積分問(wèn)題化為冪級(jí)數(shù)求和問(wèn)題，從而達(dá)到求解定積分的目的。

對(duì)于本文中出現(xiàn)的定積分，計(jì)算過(guò)程如下

此處x＞0，所以0 ＜e-x＜1，故上式中的幾何級(jí)數(shù)收斂。經(jīng)過(guò)多次使用分部積分法，可以得出最右端。以下使用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法，來(lái)計(jì)算。

在以[-π,π]的周期上，考慮函數(shù)f(x)=x2，它滿足狄里希利條件[6]，即：（1）處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）在每個(gè)周期中只有有限個(gè)極值點(diǎn)。因此，可以將f(x)展開(kāi)成傅里葉余弦級(jí)數(shù)。

經(jīng)過(guò)計(jì)算，可以得到

代入系數(shù)，得到

利用Parsveral定理[7]，得到

3 留數(shù)定理求解

圖1 積分圍道

以下分別計(jì)算式（6）右端的各項(xiàng)積分。

由引理[8]，得到

4 結(jié)論

文章對(duì)在量子力學(xué)和固體物理學(xué)教材中出現(xiàn)的一類定積分問(wèn)題，分別使用冪級(jí)數(shù)方法和復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理進(jìn)行了計(jì)算和探討，得到了相同的結(jié)論。希望本研究能夠豐富使用留數(shù)定理求解實(shí)變函數(shù)定積分問(wèn)題這一領(lǐng)域。