牛頓碰撞定律在彈性碰撞中的應(yīng)用研究

何恩陽(yáng)，程凌飛

1.重慶市楊家坪中學(xué)，重慶 400050

2.四川省大竹中學(xué)，四川達(dá)州 635000

動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律是高中階段守恒觀念的重要內(nèi)容，彈性碰撞是體現(xiàn)兩種守恒觀念的重要模型，是各種力學(xué)模型的元模型，在各類問(wèn)題中用以考查學(xué)生的論證推理、分析解決問(wèn)題的能力。然而，在實(shí)際碰撞問(wèn)題的處理過(guò)程中，涉及到動(dòng)碰動(dòng)問(wèn)題時(shí)需要聯(lián)立二元二次方程求解，借助牛頓碰撞定律，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，幫助學(xué)生從新的視角認(rèn)識(shí)碰撞過(guò)程，培養(yǎng)模型建構(gòu)思維，強(qiáng)化運(yùn)動(dòng)和守恒觀念。

1 問(wèn)題的提出

在近幾年的高考試題中，如2022 年全國(guó)乙卷理綜25 題、2022 年山東高考物理第18 題、2021 年福建高考物理第15 題等多次出現(xiàn)兩物體發(fā)生彈性碰撞的問(wèn)題，需要計(jì)算兩物體碰后速度。下面就彈性碰撞過(guò)程以如下情境進(jìn)行呈現(xiàn)。

如圖1 所示，質(zhì)量為m 的物體A 以速度v1追上質(zhì)量為M、速度為v2的物體B 并發(fā)生彈性碰撞，求碰后物體A 和物體B 的末速度u1和u2。

圖1 彈性碰撞示意圖

解析碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒

機(jī)械能守恒

兩方程聯(lián)立解得

其中，當(dāng)B 的初速度為零時(shí)

由于（1）（2）式涉及二元二次方程組的聯(lián)立求解，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算量較大。查閱相關(guān)文獻(xiàn)且基于日常教學(xué)總結(jié)，一般有以下幾種處理方法。

1.1 課堂計(jì)算演示

在A，B 都有速度的情況下計(jì)算難度較大，一般教師會(huì)在初次講解時(shí)，在黑板上進(jìn)行計(jì)算方法演示。但對(duì)于多數(shù)學(xué)生一般難以完全掌握計(jì)算方法，且考試時(shí)計(jì)算量過(guò)大。為節(jié)省時(shí)間，教師一般會(huì)讓學(xué)生直接記住末速度的公式。

該方案，學(xué)生不僅在記憶公式過(guò)程中容易記錯(cuò)，還會(huì)將計(jì)算過(guò)程用簡(jiǎn)單的記結(jié)論形式應(yīng)付了事，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和物理思維的培養(yǎng)都有很大的負(fù)面影響。

1.2 預(yù)設(shè)考試題型

一些教師在教學(xué)過(guò)程中，總結(jié)高考考題，認(rèn)為一般只考查“動(dòng)碰靜”的情況，因此在講解時(shí)預(yù)設(shè)物體B 的速度為零，簡(jiǎn)化了計(jì)算流程和結(jié)論記憶的難度。

該方案將問(wèn)題簡(jiǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的特例進(jìn)行講解，但對(duì)于更普遍的情況卻采取回避的方式，學(xué)生在遇到“動(dòng)碰動(dòng)”情況時(shí)只能選擇放棄，客觀上撲滅了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1.3 質(zhì)心參考系的計(jì)算和記憶

一些文獻(xiàn)采用在質(zhì)心參考系中列式求解，最終得到與（1）（2）式等價(jià)的實(shí)驗(yàn)室參考系形式［1］

該方案需要用到質(zhì)心參考系和較為復(fù)雜的參考系變換知識(shí)，無(wú)論是過(guò)程的推導(dǎo)還是結(jié)論的得出，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生都較為困難，只能用于優(yōu)生培養(yǎng)，不適用于大多數(shù)學(xué)生的教學(xué)。

2 牛頓碰撞定律在彈性碰撞中的理論推導(dǎo)

將（1）（2）式進(jìn)行變形可得

由（5）（6）式可得

對(duì)（7）式變形可得

可以發(fā)現(xiàn)（1）（2）（8）三個(gè)方程中任意兩個(gè)是等價(jià)的，聯(lián)立（1）（8）式即可得到末速度的表達(dá)式。

那么，（8）式的物理意義是什么？

查閱文獻(xiàn)可知，對(duì)于碰撞問(wèn)題有牛頓碰撞定律：v1-v2=e（u2-u1）

其中，e 為彈性恢復(fù)系數(shù)，僅與物體的質(zhì)料有關(guān)；對(duì)于完全彈性體，e=1，如鋼球的碰撞；對(duì)于完全非彈性體，e=0，如橡皮泥的碰撞；對(duì)于一般非彈性體，0

其中，v1-v2為碰前接近速度，u2-u1為碰后分離速度。說(shuō)明在彈性碰撞過(guò)程中，碰前兩球接近速度和碰后分離速度相等［2］。

同時(shí)需注意在聯(lián)立（1）（2）兩式求解過(guò)程中，由于是二元二次方程的求解，應(yīng)該有兩組解，為何推導(dǎo)出（8）式后，聯(lián)立（1）（8）兩式只有一組解呢？

這是因?yàn)椋?）式除以（5）式的過(guò)程中，消掉了（5）式，忽略了

u1=v1，u2=v2

即等于初始值，也說(shuō)明彈性碰撞為可逆過(guò)程。

在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中直接采用（1）（8）兩式聯(lián)立求解，不影響結(jié)果。

3 牛頓碰撞定律在彈性碰撞中的應(yīng)用

3.1 解決多次碰撞中的相對(duì)速度和時(shí)間問(wèn)題

在分析兩物體間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且需要計(jì)算相對(duì)速度時(shí)，運(yùn)用牛頓碰撞定律結(jié)論可簡(jiǎn)化問(wèn)題。

例1如圖2 所示，質(zhì)量為m 的鋼球，放在質(zhì)量為M 置于水平面上的箱內(nèi)，箱底長(zhǎng)度為L(zhǎng)?，F(xiàn)將鋼球從箱底最左端以向右的水平速度v 釋放，球?qū)⑴c箱前后壁發(fā)生多次彈性碰撞，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，鋼球?qū)⑴c箱進(jìn)行第9 次碰撞？ （不計(jì)摩擦力）

圖2 鋼球與箱子相互作用圖

解析碰撞前兩物體的接近速度即為箱子與鋼球的相對(duì)速度v，相互作用后兩物體的分離速度即為箱子與鋼球的相對(duì)速度v。根據(jù)碰撞前后兩物體的接近速度與分離速度大小相等，以箱子為參考系，鋼球相對(duì)于箱子的速率始終為v，故從計(jì)時(shí)開(kāi)始每?jī)纱蜗噜徟鲎菜脮r(shí)間均為則第九次碰撞用時(shí)為

點(diǎn)評(píng)如用常規(guī)方法結(jié)合動(dòng)量守恒及機(jī)械能守恒，可以計(jì)算每一次碰撞后，鋼球和箱子相對(duì)地面的速度，再計(jì)算兩物體的相對(duì)速度，這樣會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算量。如果根據(jù)碰撞前后兩物體的接近速度等于分離速度，可化繁為簡(jiǎn)，直接得出鋼球與箱子的相對(duì)速度，進(jìn)而算出相鄰兩次碰撞的時(shí)間。

3.2 利用牛頓碰撞定律為航天器加速提供理論依據(jù)

從牛頓碰撞定律的推導(dǎo)過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩物體間存在相互作用，且滿足相互作用前后總動(dòng)量和總動(dòng)能不變時(shí)，即可應(yīng)用該結(jié)論。天體運(yùn)動(dòng)中，物體間雖沒(méi)有直接接觸，但在一定條件下，仍可以滿足彈性碰撞的條件，故牛頓碰撞定律在此情境下仍然成立。

例2科幻片《流浪地球》中提到用引力彈弓來(lái)為地球加速，以使地球獲得更大的速度，從而脫離太陽(yáng)系。早在1977 年，著名的旅行者1 號(hào)和旅行者2號(hào)探測(cè)器在飛掠土星和木星時(shí)，均利用了引力彈弓來(lái)實(shí)現(xiàn)加速，其中旅行者1 號(hào)經(jīng)過(guò)引力彈弓的加速后，速度達(dá)到了太陽(yáng)的逃逸速度。在一定條件下，可將該過(guò)程簡(jiǎn)化為如下模型：如圖3 所示，某飛行器以大小為v 的速度向右做直線運(yùn)動(dòng)，木星以大小為u 的速度向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)探測(cè)器與木星距離減小到一定程度時(shí)，由于它們之間的相互作用，探測(cè)器會(huì)繞木星半圈，并被木星以與速度v 相反方向的速度v1“甩回去”。求v1的大小。（提示：航天器與木星的機(jī)械能之和保持不變，且忽略木星的自轉(zhuǎn)。）

圖3 木星與飛行器相互作用過(guò)程示意圖

分析與解飛行器與木星雖未直接接觸，但存在相互作用，且作用前后保持總動(dòng)量和總動(dòng)能不變，故應(yīng)滿足相互作用前接近速度和相互作用后分離速度相等。相互作用前接近速度為v+u，由于木星質(zhì)量遠(yuǎn)大于飛行器質(zhì)量，可認(rèn)為發(fā)生相互作用后木星速度保持u 不變，則由v+u=v1-u，可得v1=v+2u。

點(diǎn)評(píng)引力彈弓是指利用行星或其他天體的相互作用來(lái)改變探測(cè)器軌道和速度的航天技術(shù)。本題以航天探測(cè)器的加速過(guò)程為物理情境，要求學(xué)生能遷移應(yīng)用彈性碰撞模型解題，很好地考查了學(xué)生問(wèn)題表征和模型建構(gòu)能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)物理模型來(lái)解決新情境問(wèn)題的科學(xué)思維能力。

3.3 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”向“解決問(wèn)題”轉(zhuǎn)變

碰撞廣泛存在于我們身邊發(fā)生的實(shí)際事例中，運(yùn)用牛頓碰撞定律不僅可以解釋生活中很多有趣的自然現(xiàn)象，還可以從理論上推測(cè)一定條件下會(huì)發(fā)生的物理現(xiàn)象。

例3小明在體育課上觀察到一個(gè)有趣現(xiàn)象，將一彈性球放在籃球正上方，讓籃球和彈性球同時(shí)靜止下落，籃球觸地瞬間將彈性球彈起，觀察到彈性球能上升到比釋放點(diǎn)高很多的位置。小明對(duì)此現(xiàn)象產(chǎn)生了濃厚的探究興趣，經(jīng)過(guò)資料查閱以及向老師求教，小明將其簡(jiǎn)化為以下情境：如圖4 所示，彈性球B 質(zhì)量為m，籃球A 質(zhì)量為M（M>>m），它們一起自高h(yuǎn) 處自由下落，不計(jì)空氣阻力，籃球與地面及彈性球與籃球之間的碰撞均為彈性碰撞，下落高度h 遠(yuǎn)大于球的直徑。

圖4 彈性球與籃球相互作用情境示意圖

（1）試計(jì)算籃球A 著地后，彈性球B 彈起后能夠上升的最大高度H1。

（2）若在彈性球B 上再疊加一個(gè)質(zhì)量為m1的彈性球C，且滿足m>>m1，則疊在最上端的彈性球C 上升的最大高度H2為多少？

（3）若h=3 m，并在彈性球C 上面再疊加一個(gè)質(zhì)量為m2的彈性球D，彈性球D 上再放置質(zhì)量為m3的彈性球E，以此類推疊放下去，且滿足m>>m1>>m2>>m3…問(wèn)還需疊加幾個(gè)小球，可以使最上面小球彈起后離地面最大高度超過(guò)珠穆朗瑪峰的高度H3≈8848 m。

解析（1）籃球A 與地面彈性碰撞后以原速率返回，此時(shí)彈性球B 以速度v 向下與籃球A 發(fā)生彈性碰撞，此時(shí)兩球接近速度為2v，由于M＞＞m，故碰撞后籃球A 向上運(yùn)動(dòng)保持原來(lái)速度大小v 不變，由于碰前兩球接近速度和碰后分離速度相等，則碰后彈性球B 速度大小應(yīng)為3v。即彈性球B 以3v 的速度做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，能夠上升的最大高度為

（2）彈性球B 以3v 向上彈起后，會(huì)與正以速度大小為v、方向豎直向下的彈性球C 發(fā)生彈性碰撞，如圖5 所示，此時(shí)球B 與球C 碰前接近速度為4v。由于m＞＞m1，則碰后球B 速度仍為3v，設(shè)球C 碰后速度為v1，則v1-3v=4v，得v1=7v。則有

圖5 彈性球B 與彈性球C 相互作用示意圖

（3）由圖6 可知，彈性球C 向上彈起速度為7v，此時(shí)彈性球D 以速度v 向下運(yùn)動(dòng)，即兩球的接近速度為8v，由于m1>>m2，碰后彈性球C 速度大小及方向均保持7v 不變，由于碰前兩球接近速度和碰后分離速度相等，設(shè)碰后彈性球D 向上運(yùn)動(dòng)速度為v2。則v2-7v=8v，得v2=15v。由此不難得出碰后最上端彈性球末速度滿足vn＝（2n-1）v，n為包括籃球在內(nèi)的彈性球個(gè)數(shù)。依題意可知，要使得彈起的最終高度H3=8848 m，若最終彈起高度為第一次下落高度h=3 m 的n1倍，則，由可知需要滿足最終彈起小球速度為籃球第一次彈起后的n2倍，n2=≈54.3，即vn=（2n-1）v>54.3v，則n 最小可取6，包括籃球在內(nèi)，有6 個(gè)滿足質(zhì)量要求的彈性球即可，因此在彈性球C 后還需疊加滿足質(zhì)量要求的3 個(gè)小球。

圖6 彈性球C與彈性球D 相互作用示意圖

點(diǎn)評(píng)將學(xué)生生活中觀察到的真實(shí)事例設(shè)置為該試題的物理情境，并將其轉(zhuǎn)化為自由落體和彈性碰撞模型，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注物理與生活實(shí)際的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用物理模型論證生活情境中的科學(xué)本質(zhì)的能力。

3.4 利用推論巧解高考?jí)狠S試題

在2022 年全國(guó)高考乙卷和2021 年福建高考物理試卷中均出現(xiàn)“動(dòng)碰動(dòng)”的物理情境，若用牛頓碰撞定律可簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提升效率?，F(xiàn)以2022 年全國(guó)高考乙卷理綜物理第25 題為例，進(jìn)行計(jì)算演示說(shuō)明。

例4（2022 年全國(guó)高考乙卷理綜第25 題）如圖7，一質(zhì)量為m 的物塊A 與輕質(zhì)彈簧連接，靜止在光滑水平面上；物塊B 向A 運(yùn)動(dòng)，t=0 時(shí)與彈簧接觸，到t=2t0時(shí)與彈簧分離，第一次碰撞結(jié)束，A，B 的v-t 圖像如圖8 所示。已知從t=0 到t=t0時(shí)間內(nèi)，物塊A 運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0。A，B分離后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B 再次碰撞，之后A 再次滑上斜面，達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同。斜面傾角為θ（sinθ=0.6），與水平面光滑連接。碰撞過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求：

圖8 物塊A 與物塊B 碰撞前后圖像

（1）第一次碰撞過(guò)程中，彈簧彈性勢(shì)能的最大值。

（2）第一次碰撞過(guò)程中，彈簧壓縮量的最大值。

（3）物塊A 與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

解析由于（1）（2）問(wèn)中不涉及牛頓碰撞定律結(jié)論，故（1）（2）問(wèn)本文不做分析。第（3）問(wèn)中必須求解出A，B 第二次相互作用前A 向左運(yùn)動(dòng)速度的大小，答案給出的解法如下。

設(shè)物塊A 第一次滑下斜面時(shí)速度大小為vA，設(shè)向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得

根據(jù)能量守恒定律可得

聯(lián)立（9）（10）式解得vA=v0。

若用牛頓碰撞定律結(jié)論，相互作用前接近速度和相互作用后分離速度相等，則

很明顯（11）式比（10）式更為簡(jiǎn)略，在聯(lián)合（9）式計(jì)算上更為方便。

點(diǎn)評(píng)彈性碰撞在高考試題中出現(xiàn)頻率較高，若考生能夠熟練掌握牛頓碰撞定律結(jié)論，則能夠在更短的時(shí)間內(nèi)計(jì)算出準(zhǔn)確結(jié)果。

4 評(píng)價(jià)和總結(jié)

模型建構(gòu)是學(xué)生根據(jù)研究的問(wèn)題和情境，構(gòu)建易于研究的、能反映事物本質(zhì)特征和共同屬性的理想模型的過(guò)程［3］。通過(guò)將牛頓碰撞定律應(yīng)用到彈性碰撞模型中，幫助學(xué)生從接近速度和分離速度的視角理解碰撞過(guò)程，完善了學(xué)生的運(yùn)動(dòng)和相互作用觀念，通過(guò)“引力彈弓”現(xiàn)象和“子母球”實(shí)驗(yàn)，了解了彈性碰撞在科技、生活領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，能夠?qū)π碌奈锢砬榫尺M(jìn)行問(wèn)題表征和模型建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維和科學(xué)探究能力，同時(shí)為學(xué)生提供了新的視角認(rèn)識(shí)彈性碰撞模型，提升學(xué)生的探究興趣，幫助學(xué)生逐步增強(qiáng)探索自然的內(nèi)在動(dòng)力。