研究關(guān)聯(lián)方法，“圓”來如此美妙

第二章 對稱圖形——圓

領(lǐng)銜人：浦?jǐn)⒌拢ㄕ呒壗處?、江蘇省特級教師）

組稿團(tuán)隊：江蘇省無錫市初中數(shù)學(xué)浦?jǐn)⒌旅麕煿ぷ魇?/p>

本章是初中平面幾何中非常特殊的一章，在此之前和之后學(xué)習(xí)的平面圖形都是直線型，唯獨這章研究的是曲線型。因為圓是現(xiàn)實世界中常見的基本圖形，應(yīng)用非常廣泛，所以我們非常有必要詳細(xì)深入地研究它。如果我們梳理本章知識，研究這些知識之間的關(guān)聯(lián)，你就會覺得，“圓”來如此美妙。

一、知識之間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

從數(shù)學(xué)研究的基本套路出發(fā)，我們要研究一個對象的定義、性質(zhì)、判定，或兩個對象之間的關(guān)系，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，然后利用研究結(jié)果解決數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題。

1.知識要點

本章內(nèi)容一共有8個小節(jié)，可以分成兩大板塊。一塊是研究一個對象，即圓的定義，利用圓的軸對稱性證明了垂徑定理，利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性說明了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，利用同弧作為中介，對圓周角、圓心角進(jìn)行分類討論，通過一般到特殊的轉(zhuǎn)化，證明了圓周角定理，最后利用小學(xué)里所學(xué)的圓的周長、圓的面積知識分別推導(dǎo)出弧長公式、扇形的面積公式；另一塊是研究兩個對象之間的關(guān)系，即點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，三角形、四邊形、正多邊形與圓的位置關(guān)系，特別研究了直線與圓相切的特殊情形，得出了切線長定理。點與圓、直線與圓的位置關(guān)系，反映了形與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，即由圖形的位置關(guān)系決定數(shù)量關(guān)系，由數(shù)量關(guān)系判定圖形的位置關(guān)系。

2.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識之間存在著一定的邏輯關(guān)系，這種關(guān)系體現(xiàn)知識從哪里來、怎樣形成、到哪里去，只有明確了知識的來龍去脈，方能從整體上真正理解數(shù)學(xué)知識。通過對本章知識之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行歸納，我們可以得到如下的知識結(jié)構(gòu)圖（如圖1）。

二、研究知識的主要方法

本章內(nèi)容的研究主要用到三種重要的思想方法：特殊與一般，形數(shù)轉(zhuǎn)換，分類討論。其中，分類討論主要是由形的位置不確定而引起，如教材中證明圓周角定理等。因此，同學(xué)們在學(xué)習(xí)知識的同時，一定要深刻領(lǐng)會這些數(shù)學(xué)思想方法在其中的重要作用。下面，就本章中涉及的“特殊與一般”與“形數(shù)轉(zhuǎn)換”進(jìn)行具體說明。

1.特殊與一般

如果把曲線型圓與前面的直線型圖形聯(lián)系起來看，本章的研究內(nèi)容始終圍繞著“直線型與圓之間的關(guān)系”展開，處處存在特殊與一般的研究方法。研究位置關(guān)系的具體知識有：（1）點與圓的位置關(guān)系，分為“點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外”三種，其中重點研究“點在圓上”；（2）直線與圓的位置關(guān)系，分為“直線與圓相交、直線與圓相切、直線與圓相離”三種，其中重點研究“直線與圓相切”；（3）角與圓的位置關(guān)系，按角的頂點位置分為“圓內(nèi)角、圓上角、圓外角”三種，其中重點研究“圓心角、圓周角”兩種；（4）三角形與圓的位置關(guān)系，重點研究“圓的內(nèi)接三角形、三角形的內(nèi)切圓”；（5）四邊形與圓的位置關(guān)系，重點研究“圓的內(nèi)接四邊形、四邊形的內(nèi)切圓”；（6）正多邊形與圓的位置關(guān)系，重點研究“圓的內(nèi)接正多邊形、正多邊形的內(nèi)切圓”。研究數(shù)量關(guān)系的具體知識有：（1）圓周長與弧長；（2）圓面積與扇形面積。當(dāng)然，在研究具體某個知識時，也多次用到特殊與一般的關(guān)系，如“弦與直徑”“弧與半圓”“垂徑定理”等?？梢?，特殊與一般，既是我們認(rèn)識事物的一般規(guī)律，也是研究數(shù)學(xué)非常重要的思想方法。

2.形數(shù)轉(zhuǎn)換

平面幾何主要研究一個圖形的定義、性質(zhì)、判定和兩個圖形的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，圓的研究也不例外。因此，本章的研究始終圍繞著“數(shù)與形”的轉(zhuǎn)換展開。

例如，要研究點與圓的關(guān)系，我們可以直接從形的角度“點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外”入手直觀判斷。而“形缺數(shù)時難入微”，我們可以通過點心距d與半徑r之間的數(shù)量關(guān)系加以判斷，即“當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＞r時，點在圓外”。同樣，我們要研究直線與圓的關(guān)系，可以直接從形的角度“2個交點、1個交點、0個交點”直觀判斷，也可以通過圓心距d與半徑r之間的數(shù)量關(guān)系加以判斷，即“當(dāng)d＜r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時，直線與圓相離”。如果要對教材知識進(jìn)一步推廣，如研究圓與圓的關(guān)系，同樣可以通過“形數(shù)轉(zhuǎn)換”的思路，從位置關(guān)系的形與數(shù)量關(guān)系的數(shù)兩個視角來展開。

通過上面的介紹，我們不但明確了圓這一章知識的邏輯關(guān)系及其關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，而且知道了研究本章內(nèi)容時用到的重要思想方法，這樣就形成了對圓的整體性的本質(zhì)認(rèn)識。對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，我們不僅要明白研究內(nèi)容，更要明白研究這些內(nèi)容的主要方法，這將有助于我們對數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和遷移創(chuàng)新。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）