基于前置 重置路徑 通透本質(zhì)

莫與談

［摘? 要］ “長方形和正方形的面積”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容之一，在教學(xué)探究中，學(xué)生常常在教師的指導(dǎo)下按部就班地“擺”小正方形，“為了擺而擺”，導(dǎo)致學(xué)生“知其然而不知其所以然”，陷入重公式記憶、棄本質(zhì)理解的怪圈。教師多是關(guān)注學(xué)生對面積公式的熟練運(yùn)用，忽視面積意義的教學(xué)，導(dǎo)致部分學(xué)生不能真正理解長方形的面積計算的原理。研究者基于前置性學(xué)情診斷，深層次了解學(xué)生的認(rèn)知差異，聚焦“長方形面積計算的本質(zhì)”，重新設(shè)置教學(xué)路徑：暴露發(fā)現(xiàn)與困惑，引發(fā)思考；結(jié)合探究，追尋本質(zhì)；操作驗(yàn)證，通透本質(zhì)；探析特殊，溝通關(guān)聯(lián)；鞏固練習(xí)，靈活運(yùn)用。學(xué)生經(jīng)歷了知識的建構(gòu)過程，認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以豐盈，促進(jìn)了空間思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)思維水平的提升。

［關(guān)鍵詞］ 前置性探究作業(yè)；長方形的面積；教學(xué)思考；教學(xué)實(shí)踐

一、課前思考

“長方形和正方形的面積”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)圖形的面積。學(xué)生從學(xué)習(xí)長度到學(xué)習(xí)面積，是其空間思維發(fā)展史上的一次重大飛躍。學(xué)習(xí)好該內(nèi)容，不僅有利于學(xué)生空間觀念的發(fā)展，也為以后學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積奠定了基礎(chǔ)。長方形面積的本質(zhì)在于度量，即通過面積單位的計數(shù)，實(shí)現(xiàn)對圖形大小的定量刻畫［1］。然而在以往的教學(xué)中，學(xué)生常常在教師的指導(dǎo)下按部就班地“擺”小正方形，“為了擺而擺”，導(dǎo)致學(xué)生“知其然而不知其所以然”，陷入重公式記憶、棄本質(zhì)理解的怪圈。教師多是關(guān)注學(xué)生面積公式的熟練運(yùn)用情況，忽視面積意義的教學(xué)，導(dǎo)致部分學(xué)生不能真正理解長方形的面積計算的原理。教師在教學(xué)“長方形和正方形的面積”時，不能只關(guān)注公式的記憶和面積的計算，更要重視引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在過程中加深理解、提升能力、發(fā)展深度思維［2］。

事實(shí)上，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時需要經(jīng)歷“數(shù)面積單位的個數(shù)”到“面積單位的總數(shù)=每行的面積單位個數(shù)×行數(shù)”，在此基礎(chǔ)上提煉出“長方寬的面積=長×寬”，即“計數(shù)—模型—公式”這三個層次。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材提供的學(xué)習(xí)路徑是：

①兩名學(xué)生以不同的方式用面積單位去測量長方形的面積，呈現(xiàn)了兩種方法：一是一個一個地數(shù)的方法，這是學(xué)生最本能的方法；二是用乘法計算出面積單位的個數(shù)，這一方法為面積公式的形成奠定了基礎(chǔ)，并以“聰聰”的提問引出后面的學(xué)習(xí)。

②用面積單位拼擺多個長方形，并用表格記錄長、寬和面積，探索它們之間的關(guān)系，從而概括出長方形的面積公式。

③先測量兩個圖形的長和寬，然后用面積公式分別計算它們的面積，將正方形看作特殊的長方形，從而通過推理概括出正方形的面積公式。

二、前置性探究學(xué)習(xí)與分析

以上是研究團(tuán)隊(duì)對教學(xué)現(xiàn)象的觀察和對教材的理解，如何才能在教學(xué)中更好地關(guān)注到學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，如何讓學(xué)生通過度量的本質(zhì)深層次地理解長方形的面積計算？在教學(xué)這一內(nèi)容時，研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計了前置性探究作業(yè)（見圖1），以期了解學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平。

2. 前置性探究作業(yè)分析

研究團(tuán)隊(duì)結(jié)合“SOLO分類理論”對三年級某班共48人布置了前置性探究作業(yè)，并記錄他們的探究過程與探究結(jié)果。

從學(xué)生前置性作業(yè)各層級水平結(jié)果來看（見表1），該班學(xué)生基本都能正確地用彩筆或陰影涂出A、B兩個圖形的面積，并且都能想到利用教師提供的學(xué)具（1平方厘米的小正方形）。學(xué)生通過擺小正方形來度量兩個圖形的面積，根據(jù)面積單位的個數(shù)來判斷兩個圖形面積的大小。從前置性作業(yè)來看，該班學(xué)生對“面積”概念的掌握較好，會用面積單位去度量圖形的大小，這些知識儲備為后面的探究打下了良好的基礎(chǔ)。

從前置性作業(yè)探究結(jié)果來看（見表2），該班約90%的學(xué)生在教師提供學(xué)具及給出提示的情況下，能用多種方式探究長方形的面積，約50%的學(xué)生能通過多種途徑得出長方形面積的計算公式。當(dāng)然學(xué)生可能并不知道該公式的具體意義，只是通過數(shù)小正方形個數(shù)的方式得到。僅5名同學(xué)能基本弄清長方形面積公式的由來，因此本節(jié)課的落腳點(diǎn)是讓學(xué)生真正明白長方形計算公式的由來。

三、教學(xué)實(shí)踐

研究團(tuán)隊(duì)基于對教材的分析和前置性學(xué)情診斷，深層次了解了學(xué)生的認(rèn)知差異，聚焦“長方形面積計算的本質(zhì)”，課堂實(shí)踐中借助學(xué)生前置性探究作業(yè)作品，進(jìn)行了合理設(shè)計，重新設(shè)置教學(xué)路徑。

1. 暴露發(fā)現(xiàn)與困惑，引發(fā)思考

師：前面我們已經(jīng)通過擺一擺對長方形的面積進(jìn)行了探究，我們來看看大家有哪些收獲與困惑（課件出示圖2、圖3、圖4、圖5）。

設(shè)計意圖：開門見山，緊密聯(lián)系前置性探究學(xué)習(xí)，將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與困惑暴露出來，引發(fā)學(xué)生的思考，為學(xué)習(xí)新知做好準(zhǔn)備。

今天我們將在此基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行探究（板書課題）。

2. 結(jié)合探究，追尋本質(zhì)

（1）結(jié)合前置性探究1，感悟度量本質(zhì)

（課件出示圖6和圖7）

師：這兩幅作品中，哪幅圖是表示圖形的面積？說說你的想法。

生1：因?yàn)榈谝粋€圖是描了圖形一周的長度，這是它的周長。面積指的是圖形表面的大小，所以第二個圖才是表示它的面積。

師：這兩個圖形的面積誰大？說說你們是怎樣比較的？

生2：第一個圖的面積大，第一個圖是7平方厘米，第二個圖是6平方厘米，第一個圖比第二個圖的面積大。

師：你是怎么知道第一個圖的面積是7平方厘米的？

生2：因?yàn)榈谝粋€圖一共可以擺7個小正方形，每個小正方形的面積是1平方厘米，所以是7平方厘米（課件出示圖8）。

師：也就是說，這個圖包括了7個1平方厘米的小正方形，它的面積就是7平方厘米。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的辨析與講解，厘清面積與周長的區(qū)別，讓學(xué)生進(jìn)一步明確什么是面積。比較兩個圖形的大小，讓學(xué)生用面積單位去度量，并在鋪擺圖形的過程中理解：一個圖形的面積的大小，就看它能鋪擺多少個這樣的面積單位。這樣的度量活動能為學(xué)生接下來深入探究長方形的面積及理解面積的本質(zhì)做好鋪墊。

（2）結(jié)合前置性探究2，追尋面積本質(zhì)

①“計數(shù)”面積單位

（課件出示前置性探究2）

師：同學(xué)們在昨天的探究中，找到了很多求長方形面積的方法，我們一起來看看他們是怎么思考的吧（圖9）。

師：一共擺了幾個面積單位？說說你們是怎么想的？

生3：一個個數(shù)出來的，一個圖形里有幾個1平方厘米，它的面積就是幾平方厘米。

生4：可以列乘法算式，第一個長方形擺了2行，每行有3個，列式3×2=6，有6個1平方厘米，也就是6平方厘米。

師：說得很好，我們只需要知道每行的個數(shù)和行數(shù)就能計算出面積單位的個數(shù)，也就是長方形的面積。

②建立模型，感知本質(zhì)

師：這位同學(xué)后面3個長方形并沒有擺完，怎么可以知道它們的面積？（課件出示圖10）

生5：想象這些圖形中間是擺滿了的，第2個長方形每行擺4個，擺3行，4×3=12，面積是12平方厘米。

生6：第3個長方形每行擺6個，擺4行，6×4=24，面積是24平方厘米。

生7：第4個長方形每行擺9個，擺6行，9×6=54，面積是54平方厘米。

師：看來，用“每行的個數(shù)×行數(shù)”可以算出長方形面積單位的個數(shù)，也就是長方形的面積。（板書：長方形中面積單位的個數(shù)=每行的個數(shù)×行數(shù)）

師：你能讀懂這位同學(xué)的想法嗎？（課件出示圖11）

生8：我用“每行的個數(shù)×行數(shù)”，直接列乘法算式算出長方形的面積。

師：這位同學(xué)沒有再擺小正方形了，他是怎么計算面積的 ？（出示圖12）

生9：用尺子量出長方形的長和寬，直接用長×寬算出它的面積。

生10：相當(dāng)于想象擺滿了小正方形，用“每行的個數(shù)×行數(shù)”直接可以算出來。

③溝通聯(lián)系，直逼本質(zhì)

師：我們前面探究這些長方形的面積，無論是擺滿了小正方形或只擺了其中的一部分，還是沒有擺小正方形，只要尺子量出長方形的長和寬，都能列式算出它們的面積，我們解決的過程有什么相同的地方？

生11：都是用“每行的個數(shù)×行數(shù)”直接算出來的。

生12：用長方形的長和寬直接相乘就能得到它的面積。

師：為什么長乘寬就是長方形的面積呢？

生13：長就相當(dāng)于每行擺幾個小正方形，寬相當(dāng)于擺幾列，所以長乘寬就是長方形的面積。

師：說得很清楚！是這樣嗎？長9厘米，對應(yīng)每行擺了9個，寬6厘米對應(yīng)著能擺這樣的6行。現(xiàn)在，同學(xué)們來看看，這個長方形的面積可以怎樣計算呢？

生14：9×6=54（平方厘米）。

生15：長×寬=面積。

（板書：長×寬=面積？）

設(shè)計意圖：展示回顧學(xué)生不同思維層級的多種探究方法，從鋪滿到?jīng)]有鋪滿，再到空白（測量長和寬），層層遞進(jìn)，學(xué)生經(jīng)歷了“計數(shù)面積單位”和建立“每行個數(shù)×行數(shù)”的面積模型的過程，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)長、寬與每行個數(shù)、行數(shù)及長方形內(nèi)面積單位的個數(shù)和與長方形面積之間的關(guān)系，追根溯源尋求長方形面積公式的本質(zhì)，長方形面積公式的推導(dǎo)有理有據(jù)。

3. 操作驗(yàn)證，通透本質(zhì)

師：那是不是所有長方形的面積都可以用長×寬來計算呢？我們一起來驗(yàn)證。（出示小組合作探究要求，如表3）拼完之后，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生進(jìn)行操作驗(yàn)證和匯報交流。

學(xué)生在匯報交流中進(jìn)一步明確：長就相當(dāng)于每行擺幾個小正方形，寬相當(dāng)于擺幾行，長方形中小正方形的個數(shù)就是長方形的面積，所以長乘寬就是長方形的面積。學(xué)生在操作驗(yàn)證與匯報交流中進(jìn)一步掌握了長方形面積公式的本質(zhì)。

設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生自己動手?jǐn)[出長方形，并通過大量的例子豐富學(xué)生的感性認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)從直觀操作向表象操作、最后到模型操作的過渡［3］，讓學(xué)生深層次領(lǐng)悟長方形面積公式；同時在其中滲透數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)，讓學(xué)生在操作驗(yàn)證中深刻理解長方形面積公式的本質(zhì)。

4. 探析特殊，溝通關(guān)聯(lián)

師：通過大家的研究，我們知道長乘寬可以計算長方形的面積（擦掉公式后面的問號）?，F(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了長方形的面積計算方法，那要求這兩個長方形的面積還需要像剛才那樣一個一個擺嗎？那要知道什么條件？

生16：要量出它們的長和寬。

師：（課件出示圖形的長和寬，如圖13）第一個圖形的面積是多少？

生17：8×6=48（平方厘米）。

師：為什么只要量出長方形的長和寬，就可以求出它的面積？

生18：長表示“每行的個數(shù)”，寬表示“擺的行數(shù)”，長乘寬能算出“擺的正方形個數(shù)”，也就是它的面積。

師：第2個圖形的長和寬分別是多少？你們有什么想說的？

生19：長是6cm，寬是6cm，這是一個正方形，它的邊長是6cm。

師：大家想想正方形的面積應(yīng)該怎么計算？

生20：正方形的面積=邊長×邊長。

設(shè)計意圖：當(dāng)學(xué)生知道要求出長方形的面積，要先知道它的長和寬，在學(xué)生求出面積后，教師及時追問“為什么只要量出長方形的長和寬，就可以求出它的面積”，再次直擊長方形面積的本質(zhì)。教師在對比中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識遷移，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)正方形的面積計算公式。

5. 鞏固練習(xí)，靈活運(yùn)用

師：剛才，大家通過自己的動手動腦，找到了長方形、正方形的面積計算方法。

師：我們再來回顧一下剛才的過程，我們是怎樣找到長方形和正方形的面積計算方法?，F(xiàn)在我們要挑戰(zhàn)一個有難度的題，大家有信心嗎？老師家里有一塊長方形的地毯，如圖14，其中每塊彩色正方形的面積是1平方分米，你能算出這塊地毯的面積嗎？

設(shè)計意圖：在學(xué)生獲得知識后要及時運(yùn)用，舉一反三，加深理解，有助于學(xué)生對面積本質(zhì)理解的進(jìn)一步深化，培養(yǎng)學(xué)生推理、歸納和靈活運(yùn)用的能力。

本節(jié)課結(jié)合學(xué)生的前置性探究作品，在理解教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，通過對學(xué)生前置性探究的診斷，重新設(shè)計教學(xué)路徑，把握教學(xué)的本質(zhì)；同時把學(xué)生的前置性探究作品融入課堂教學(xué)環(huán)境，使得課堂更具有親和力，重難點(diǎn)教學(xué)更加突出，將量感、空間思維能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)落到了實(shí)處。學(xué)生經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程，深度理解“長方形面積計算的本質(zhì)”，認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以豐盈，促進(jìn)了空間思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)思維水平的提升，凸顯了前置性探究教學(xué)的價值。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 牛獻(xiàn)禮. 把握度量本質(zhì)，促成深度理解——《長方形的面積》教學(xué)與思考［J］. 教育視界，2022（05）：43-45.

［2］ 孫鴻雁. “長方形和正方形面積的計算”課例解讀［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2022（Z1）：61-63.

［3］ 褚明月. 突出比較，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)——以“長方形和正方形的面積”教學(xué)為例［J］. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（22）：12-13.