朱來娟
[摘? 要] 幾何綜合題中往往隱含了重要的模型,合理利用模型可簡化解題過程,降低思維難度. “一線三垂直”模型在解題中十分常見,其模型結(jié)論是串聯(lián)線段、角度條件的關(guān)鍵. 文章結(jié)合實例全面呈現(xiàn)模型探究的過程.
[關(guān)鍵詞] 幾何模型;一線三垂直;相似;全等
幾何模型是對圖形特殊結(jié)構(gòu)、特征的提取與重組,模型中的結(jié)論是圖形本質(zhì)特性的體現(xiàn),合理利用模型可有效提升解題效率,因此探究解題時有必要關(guān)注其中的隱含模型. 下面對一道2022年中考幾何真題進行探究.
試題探究
試題 (2022年揚州市中考數(shù)學(xué)卷第36題)如圖1所示,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,點D在BC邊上由點C向點B運動(不與點B,C重合),過點D作DE⊥AD,交射線AB于點E.
(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由:
①點E在線段AB的延長線上且BE=BD;
②點E在線段AB上且EB=ED.
(2)若AB=6.
②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值.
解析? (1)該問探索AE與BE之間的數(shù)量關(guān)系,要基于設(shè)定條件進行推導(dǎo).
②當(dāng)點E在線段AB上時,如圖2所示,因為EB=ED,所以∠EBD=∠EDB=30°,∠AED=60°. 在Rt△ADE中,∠EAD=30°,則AE=2ED. 所以AE=2BE.
(2)該問設(shè)定AB=6,分別設(shè)問求AE的長,可結(jié)合具體圖形分析.
①分別過點A,E作BC的垂線,垂足分別為H,G,則∠EGD=∠DHA=90°,如圖3所示.
模型挖掘
1. 模型提煉
上述第(2)題第①問,通過推導(dǎo)出∠GED=∠HDA,∠EGD=∠AHD=90°,證明了△EGD∽△DHA. 挖掘圖形特征,有兩大特點:①△EGD和△DHA均為直角三角形;②∠EGD和∠AHD的一條直角邊共線(GD和DH共線).
實際上有直角邊共線的直角三角形構(gòu)成了“一線三垂直”相似模型. 提取其中的圖形,如圖5所示. 根據(jù)模型的特征條件,始終可以獲得三角形相似的結(jié)論.
已知:∠EGD=∠AHD=∠EDA=90°.
結(jié)論:△EGD∽△DHA.
因此實際求解時,挖掘圖形的直角及共線特性,確定為“一線三垂直”相似模型,即可直接推得相似結(jié)論.
2. 模型拓展
對于上述三角形相似關(guān)系——△EGD∽△DHA,結(jié)合全等判定可知,若添加一條邊相等,則可以進一步轉(zhuǎn)化為全等關(guān)系——△EGD≌△DHA,從而構(gòu)建將“一線三垂直”相似模型上升為“一線三垂直”全等模型,該模型中的兩個三角形為全等關(guān)系,且所夾三角形為等腰直角三角形.
已知:∠EGD=∠AHD=∠EDA=90°,GD=AH(或EG=DH或ED=AD).
結(jié)論:△EGD≌△DHA.
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“一線三垂直”相似模型或“一線三垂直”全等模型在實際解題中有著廣泛的應(yīng)用,基于模型特性可直接推導(dǎo)兩三角形的相似關(guān)系或全等關(guān)系. 解題時可分兩步進行:第一步,解析問題條件,構(gòu)建或提取復(fù)合圖形中的模型;第二步,根據(jù)模型得出兩三角形相似或全等,進而推導(dǎo)出等角或等線段. 下面結(jié)合實例進一步解讀探究.
1. “一線三垂直”相似模型的應(yīng)用
例1? (2022年無錫市中考卷第28
(1)求該二次函數(shù)的表達式.
(2)若點C與點B重合,求tan∠CDA的值.
(3)點C是否存在其他的位置,使得tan∠CDA的值與(2)中所求的值相等?若存在,請求出點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(2)過點D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD,如圖6所示.
(3)根據(jù)題設(shè)要求探尋符合條件的點C位置,再利用復(fù)合圖形的性質(zhì),求出對應(yīng)點C的坐標(biāo)即可,過程略.
評析? 上述第(2)問中△ADE和△BAO構(gòu)成了“一線三垂直”相似模型,該問題屬于含隱性模型的問題,即原圖形中模型結(jié)構(gòu)不全,需要通過作輔助線來加以補全. 因此利用模型解題時需要分兩步:第一步,首先提取模型,確定模型是否完整,若不完整則需補全;第二步,根據(jù)模型特性推導(dǎo)結(jié)論,結(jié)合題設(shè)條件解題.
2. “一線三垂直”全等模型的應(yīng)用
例2? ?如圖7所示,四邊形ABCD是正方形,點E在邊AD上,△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形,EF,BF分別交CD于點M和點N,過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G. 連接DF,請解答下列問題:
(1)∠FDG=________;
解析? (1)因為四邊形ABCD是正方形,所以∠A=90°,AB=AD. 因為FG⊥AG,所以∠G=∠A=90°. 又知△BEF是等腰直角三角形,所以BE=FE,∠BEF=90°. 分析可知,在圖7中,∠G=∠A=∠BEF=90°,BE=FE,構(gòu)成了“一線三垂直”全等模型. 由模型特性可得△ABE≌△GEF,所以AE=
評析? 上述第(1)問中△ABE和△GEF構(gòu)成了“一線三垂直”全等模型,模型中BE=EF,使得兩三角形在“相似”基礎(chǔ)上具有了“全等”特性. 需要注意的是,“一線三垂直”全等模型中所夾三角形必然為等腰直角三角形,因此探究解析時要關(guān)注其中的特殊三角形.
教學(xué)思考
上述基于考題開展模型挖掘,探究了“一線三垂直”的兩類模型,其探究及應(yīng)用過程有一定的參考價值,下面基于教學(xué)實踐進一步思考.
1. 關(guān)注圖形結(jié)構(gòu),生成幾何模型
幾何問題中往往融合了一定的數(shù)學(xué)模型,合理利用模型可以提升解題效率,但教材中一般不會針對性講解,需要獨立探究,總結(jié)生成模型. 因此教學(xué)中,教師要合理安排教學(xué)環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生親歷模型探究的過程,從復(fù)合圖形中提取模型,總結(jié)模型結(jié)論. 一般可分四大環(huán)節(jié):環(huán)節(jié)一,初識模型,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)證明例題;環(huán)節(jié)二,感知結(jié)構(gòu),讓學(xué)生對比例題中的圖形結(jié)構(gòu),初步感知模型;環(huán)節(jié)三,總結(jié)模型,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)模型的結(jié)構(gòu)特征,生成系統(tǒng)的幾何模型;環(huán)節(jié)四,強化應(yīng)用,結(jié)合實例開展模型應(yīng)用,讓學(xué)生掌握模型應(yīng)用的方法.
2. 適度拓展模型,生成模型關(guān)聯(lián)
幾何模型是基于幾何特性的提煉與凝結(jié),一些模型之間具有一定的關(guān)聯(lián),通過設(shè)定條件可以實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化. 以上述“一線三直角”模型為例,將模型中的“直角”替換為“一般角”時,則轉(zhuǎn)化為常規(guī)的“一線三等角”模型;“一線三直角”相似模型中增加“一組對邊相等”則可以生成“一線三直角”全等模型. 因此模型教學(xué)中教師還應(yīng)注重拓展,可從“關(guān)聯(lián)模型”和“類似模型”兩大視角進行:在“關(guān)聯(lián)模型”探究中進行知識鏈串接,引導(dǎo)學(xué)生延伸模型;在“類似模型”探究中,引導(dǎo)學(xué)生進行模型延伸,總結(jié)類型模型,如相似模型中的“A”形相似模型、“8”形相似模型. 通過模型拓展探究,讓學(xué)生深入、全面地了解模型.
3. 注重實際應(yīng)用,總結(jié)應(yīng)用技巧
開展模型探究的最終目的是為了應(yīng)用解題,因此引導(dǎo)學(xué)生掌握模型應(yīng)用的方法技巧是重點. 教學(xué)中可從三個方面來引導(dǎo):一是證明模型特性,讓學(xué)生掌握模型原理,充分理解模型,強化認(rèn)識;二是結(jié)合實例,即結(jié)合各類實際問題,引導(dǎo)學(xué)生親歷模型解題過程,從“讀題審題”“模型提取”“特性應(yīng)用”三個環(huán)節(jié)感知應(yīng)用;三是細節(jié)講解,通常“模型提取”環(huán)節(jié)有一定的難度,需從復(fù)合圖形中提取模型,尤其是隱形模型需要補全,教師要指導(dǎo)學(xué)生掌握補全的方法,整體把握模型,局部作圖補全,從而使學(xué)生充分掌握模型應(yīng)用的方法.