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      從通法到通性:追求解題的自然屬性

      2023-11-15 08:50:49姚春珍
      關(guān)鍵詞:中考試題

      姚春珍

      [摘? 要] 中考復(fù)習(xí)需注重思維的發(fā)生過程,要從通法到通性,追求解題的自然屬性. 教師進行中考復(fù)習(xí)時,要通過試題演練,使所有學(xué)生有不同的發(fā)展,要通過理思路、探方法來找到通法,從善總結(jié)、悟方法過渡到通性,最后深化到提升能力,從而提高復(fù)習(xí)的實效性.

      [關(guān)鍵詞] 中考試題;自然屬性;通法通性;復(fù)習(xí)實效性

      目前,不斷有研究“自然解法”的文章出現(xiàn),但大都基于解題學(xué)微觀層面探討自然“通法”,缺乏對解題學(xué)教學(xué)論的中觀研究. 而中考數(shù)學(xué)試題作為解題學(xué)的主導(dǎo)方向,對課堂教學(xué)起著“自然性”思想統(tǒng)領(lǐng)作用,因此,立足于系統(tǒng)常規(guī)研究試題的“通性”維度更具有前瞻意義.

      就存在哲學(xué)范疇而言,“自然”取自然而然之意,即按照事物內(nèi)部規(guī)律而發(fā)展變化. 北京林業(yè)大學(xué)王向榮教授認為,自然性包括原始的自然、生產(chǎn)的自然和美學(xué)的自然. 把自然界的這種自然性借用到教學(xué)論領(lǐng)域,則需要追求解題的自然屬性[1]. 下面以2019年蘇州市中考數(shù)學(xué)試題第25題為載體,呈現(xiàn)解題探究的自然性,凸顯“崇尚自然和常規(guī)”的自然要義,引導(dǎo)自然課堂素養(yǎng)教育的實踐行為.

      試題呈現(xiàn)

      本題重點考查反比例函數(shù)、等腰三角形、勾股定理以及相似等知識. 本題為學(xué)生提供了綜合知識抒發(fā)見解的學(xué)習(xí)窗口,學(xué)生可以從已有的經(jīng)驗出發(fā),將學(xué)習(xí)的知識概括成問題,然后創(chuàng)設(shè)出與認知相沖突的問題,接下來為解決沖突而繼續(xù)深究,從而使問題重新明朗化. 在以此題為線復(fù)習(xí)函數(shù)中檔題的過程中,筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于第(2)問的求解方法有多種,這體現(xiàn)了學(xué)生在初中階段學(xué)會了用不同的思維方式思考問題,用不同的方法攻破問題,會綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題,體現(xiàn)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識. 此題既體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)教學(xué)知識的著落點——從通法到通性,找到解題的自然屬性,又彰顯了核心素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)這塊知識土地上落地生根,培養(yǎng)了學(xué)生的實踐能力[2].

      解法探究

      1. 找尋常規(guī)思路,剖析圖形本質(zhì),實現(xiàn)自然回歸

      尋求常規(guī)解題思路,需要溯源比較. 溯源比較是解題的基本維度,反映解題學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部的自然屬性. 這里的“溯源”是對問題來源的哲學(xué)追問;“比較”是對研究方法的認證,帶有定量分析到定性把握的自然特征. 這就是齊民友先生所認為的解題要“回到自然”,而“回到固有的生動活潑的思考”也是克萊因大師的數(shù)學(xué)遺風(fēng). 因為生動活潑思考心理狀態(tài)是溯源比較的意義結(jié)果[3],可見自然屬性包括溯源比較的本體特征,是自然解題教學(xué)論的起點.

      教材上的練習(xí)題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線段的中點、分數(shù)的基本性質(zhì)等知識,要求學(xué)生重點掌握相似三角形的判定與性質(zhì). 學(xué)生探究出“相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比”后解決此題便比較容易上手. 教師上課講解時可加入變式,目的在于讓學(xué)生掌握求解的自然屬性. 前面的中考題與教材上的練習(xí)題,圖形本質(zhì)是相同的,因此學(xué)生很容易想到用相似三角形的性質(zhì)來求解中考題第(2)問.

      如圖4所示,過點A作AH⊥x軸,垂足為H,AH交OC于點M. 因為BC⊥

      本題考查了學(xué)生的知識技能、數(shù)學(xué)思考能力及問題解決能力,運用此種解法求解的學(xué)生,說明他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識扎實,基本技能達成度較好.

      從問題溯源的角度來看一個城市(蘇州市)連續(xù)兩年考查同一個基本圖形的客觀事實,2020年的蘇州中考卷第10題、2021年的蘇州中考卷第24題均為一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合運用,因此研究解題的自然屬性為試題研發(fā)提供了方向和趨勢,敞亮地呈現(xiàn)了試題的來龍去脈和立意關(guān)聯(lián),反映了命題本源的自然屬性,揭示了比較研究的意義在于發(fā)散思維的自然過渡,從而實現(xiàn)試題的自然回歸.

      2. 巧添輔助線,轉(zhuǎn)化比值,實現(xiàn)自然聯(lián)想

      解題過程中學(xué)生應(yīng)綜合運用數(shù)學(xué)知識. 知識點在教材中是靜態(tài)呈現(xiàn)的,但在解題運用中是動態(tài)生成的. 在復(fù)習(xí)階段,教師應(yīng)從整體上把握教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生從知識結(jié)構(gòu)上將內(nèi)容進行整合,將知識進行統(tǒng)籌,將方法進行內(nèi)化,從而實現(xiàn)解題的自然聯(lián)想. 添加輔助線,是學(xué)生運用所學(xué)知識解題時質(zhì)的飛躍的體現(xiàn). 復(fù)習(xí)階段,教師應(yīng)遵循量力性原則,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性、整體性,從而實現(xiàn)自然聯(lián)想,實現(xiàn)自然解題的發(fā)展.

      解法二:學(xué)生在解得C(4,3)后,并沒有直接求出交點M的坐標(biāo),而是運用“平行線等分線段定理”求線段MH的長度或轉(zhuǎn)化成線段的比來求MH的長度.

      學(xué)生把求線段AM長度的解決思路和方法進行了遷移,不是中規(guī)中矩地運用常規(guī)方法,而是另辟蹊徑,讓計算量相對減小. 有的學(xué)生解得點D的坐標(biāo)后,過點D作x軸的垂線,運用“平行線分線段成比例定理”將比例進行轉(zhuǎn)化. 學(xué)生解得點D的坐標(biāo)后,想到求比值用相似比,于是回到出發(fā)點. 在作高的過程中,學(xué)生得到比例的性質(zhì),可謂“植一木,成一林”. 解題中體現(xiàn)了用幾何直觀和空間想象來理解數(shù)學(xué),更體現(xiàn)了學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為能力.

      從自然屬性出發(fā),在從“解決什么”到“學(xué)到什么程度”的過程中,研究解題的自然聯(lián)想為解決此類問題指明方向,提示“轉(zhuǎn)化”思想,過渡到自然聯(lián)想. 此類解法使學(xué)生學(xué)會思考,解題穩(wěn)重而又不失方法靈活. 學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能達到一定程度時才能得到自然聯(lián)想,上述求解過程充分體現(xiàn)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,學(xué)生的推理能力和幾何直觀等核心素養(yǎng)培養(yǎng)也落到了實處.

      3. 借助相似三角形,尋求通法通性,實現(xiàn)自然建模

      學(xué)生在尋求更高層次的解題思路時,會經(jīng)歷綜合運用知識的過程,掌握解題方法,拓寬研究問題的思路,會有新的認識,新的生成,新的思維突破,并形成通法通性,實現(xiàn)自然建模,最終培養(yǎng)學(xué)生的基本素養(yǎng). 學(xué)生求線段的長度時,借助相似三角形構(gòu)造模型,可見自然屬性應(yīng)包括通法通性的特征,實現(xiàn)自然建模,實現(xiàn)自然解題教學(xué)論的飛躍.

      解法三:學(xué)生發(fā)散思維,在AB的右側(cè)構(gòu)造“A”形相似三角形,使計算量減小.

      學(xué)生通過兩次構(gòu)造相似三角形來求解,即在AB右側(cè)構(gòu)造圖形,使計算簡單,將問題轉(zhuǎn)化為一個合適的數(shù)學(xué)模型,體現(xiàn)了學(xué)生對相似三角形知識有較強的綜合運用能力. 此解法培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維,并通過問題重新構(gòu)造模型,體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

      解法四:學(xué)生通過構(gòu)造“X”形模型找相似.

      學(xué)生的思維非常活躍,為找相似,順其自然地想到了構(gòu)造“X”形相似. 由數(shù)到形,培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力. 學(xué)生采用上述解法,說明學(xué)生平常學(xué)習(xí)中注重實踐探究,體現(xiàn)了學(xué)生思維的廣闊性和靈活性,更體現(xiàn)了學(xué)生的想象能力很強,數(shù)學(xué)建模也搭建得比較成熟.

      從問題通法通性角度解答此類中考題,從題目的適宜性、生成性、創(chuàng)生性角度出發(fā)評析此類題目,此題難度不大,兼顧了所有學(xué)生,讓學(xué)生都有所體悟,因此起到了“以題知法”的作用. 此題可以作為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的原始素材,然后延伸教學(xué)內(nèi)容,拓寬思維,尋求通法通性,實現(xiàn)自然建模,最終得到試題的自然回歸.

      4. 借助參數(shù),由特殊到一般,實現(xiàn)自然順應(yīng)

      尋求解題的一般性思路,能真正掌握數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)特征,積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗,最終得到自然順應(yīng). 數(shù)學(xué)知識的獲得不能局限于某一個點,應(yīng)從解決問題背后隱藏的思想方法中挖掘,內(nèi)化為方法,用這種方法去研究和解決新問題,從而使問題螺旋式上升,方法螺旋式升華[4]. 可見自然屬性應(yīng)包括一般性原則,實現(xiàn)自然順應(yīng),實現(xiàn)自然解題教學(xué)論的升華.

      解法五:有少量學(xué)生將點A看成動點,運用參數(shù)k來解決問題.

      此解法與解法三有相同之處,但繞開了k的具體數(shù)據(jù). 可以說在如此短的時間內(nèi)將數(shù)學(xué)“從特殊到一般”思想達到融會貫通的地步,是學(xué)生“學(xué)習(xí)能量”和核心素養(yǎng)積累到一定程度才能達到的境界,其能為學(xué)生的創(chuàng)新意識培養(yǎng)和可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

      從問題一般性原則出發(fā)講述同一知識考查的客觀內(nèi)容,從“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想蘊含數(shù)學(xué)的一般性觀念,能提升對知識點和方法的深度理解,將方法內(nèi)化于心,將數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)策略,從而實現(xiàn)自然順應(yīng),實現(xiàn)知識的自然屬性回歸.

      教學(xué)啟示

      中考真題作為復(fù)習(xí)階段的原始素材,有重要的引領(lǐng)作用,教師如何在課堂分析中進行客觀呈現(xiàn),如何將解題的自然屬性進行呈現(xiàn),如何將試題的通性進行體現(xiàn)都非常重要,真題講解將引領(lǐng)課堂自然生成.

      1. 理思路,探方法

      教師的作用在于提升學(xué)生的認知高度,復(fù)習(xí)的任務(wù)還在于“發(fā)展”,即知識得到新的發(fā)展,學(xué)生得到新的發(fā)展. 很多試題,表面上看是新題,但同舊題的求解方法差不多. 這打破了教師和學(xué)生的慣性思維,促使師生共同探索,教學(xué)相長,其樂無窮.

      2. 找通性,善總結(jié)

      復(fù)習(xí)的任務(wù)在于系統(tǒng)整理、融會貫通. 上述試題喚醒了學(xué)生已有的解決函數(shù)的經(jīng)驗,運用構(gòu)圖直接求解或運用轉(zhuǎn)化等方法,都是找通性,讓零散的知識一一再現(xiàn). 上述過程,學(xué)生通過解題,將原有的知識點形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)和思維網(wǎng),從“找模型—建模型—解模型—用模型”的通性中去解決問題,并總結(jié)經(jīng)驗. 解題復(fù)習(xí),能增強學(xué)生對數(shù)、形的整體認識,能使知識達到系統(tǒng)性、連貫性和可持續(xù)性,同時有利于將學(xué)生從茫茫題海中解脫出來,達到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

      3. 悟方法,提能力

      函數(shù)中考題一般從基本圖形出發(fā),轉(zhuǎn)化為求交點問題、相似三角形,最后得到一個簡單的模型. 這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,能促進學(xué)生把問題想深想透,將思維與實踐引向更深遠處.

      在平時的復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師不僅要關(guān)注問題的解決,要教給學(xué)生解決問題的各種方法和策略,更要注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實和提高. 在平時的教學(xué)中,教師要讓學(xué)生多訓(xùn)練一題多解,要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題用到了哪些方法,是否有更特殊的解法,這些解法有沒有共同點……這樣學(xué)生就會對不同的解法進行比較,養(yǎng)成從不同角度思考問題的習(xí)慣,并找到此類題的通性通法. 所以,教師在平時的教學(xué)中應(yīng)該多展示一些能夠鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的真題,多滲透一些解決問題的思想,找到解題的自然屬性.

      《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì),培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神”[5],此類中考題正好呼應(yīng)了新課標(biāo). 不同的學(xué)生用不同的思維解題,考查了全體學(xué)生應(yīng)該達到的課程目標(biāo)的基本要求,同時考查了不同學(xué)生用不同的策略. 解題教學(xué)要既面向全體學(xué)生,又關(guān)注學(xué)生的個體差異;既用常規(guī)思路,又找到通法通性,體現(xiàn)不同差異學(xué)生的核心素養(yǎng)的養(yǎng)成. 此類中考題將思想貫穿題中,將直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)隱藏于解題中,找到解題的自然屬性,讓所有的學(xué)生都能參與到解題中,實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

      參考文獻:

      [1]孫朝仁. 認知系統(tǒng)的邏輯秩序:讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“道”——基于數(shù)學(xué)實驗的視角[J]. 江蘇教育,2016(Z3):23-26.

      [2]羅增儒. 核心素養(yǎng)與課堂研修[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(23):14-20.

      [3]孫朝仁. 初中數(shù)學(xué)“教思考”的教學(xué)細化——以“分式”為例[J]. 江蘇教育,2020(91):38-40+60.

      [4]丁小將. 試析微專題在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2021(08):60-61

      [5]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

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