浮文華 王會(huì)良② 蔣 闖②

（①河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471003；機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 洛陽(yáng) 471003）

數(shù)控機(jī)床是汽車(chē)、航空航天和軍事領(lǐng)域中使用最廣泛的制造設(shè)備之一[1-2]，在工業(yè)中起著重要作用，而機(jī)床誤差是影響加工精度最主要的原因，影響著行業(yè)的整體發(fā)展。因此，在保證機(jī)床加工效率的基礎(chǔ)上提高其加工精度是目前亟需解決的問(wèn)題。

機(jī)床加工精度一直受?chē)?guó)內(nèi)外學(xué)者們的關(guān)注，針對(duì)機(jī)床誤差模型[3-4]，分別提出了多體系統(tǒng)理論、矢量法和齊次坐標(biāo)變換等建模方法。田鳳楨等[5]利用多體系統(tǒng)理論，設(shè)計(jì)機(jī)床加工零件相應(yīng)運(yùn)動(dòng)鏈，并對(duì)其加工誤差進(jìn)行分析；付國(guó)強(qiáng)等[6]根據(jù)指數(shù)積理論和坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)理論，建立了運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差貢獻(xiàn)值模型，提出了運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差靈敏度分析方法；楊斌[7]利用內(nèi)置傳感器信息，結(jié)合數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，提出了一種利用內(nèi)置傳感器測(cè)量機(jī)床動(dòng)態(tài)加工誤差方法；史燕等[8]采用優(yōu)化PID 控制器中的關(guān)鍵參數(shù)，對(duì)多軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，驗(yàn)證所提方法具有良好的適應(yīng)性。若要提高機(jī)床加工精度就要控制其加工誤差，大多數(shù)會(huì)將誤差補(bǔ)償技術(shù)[9-11]作為提高數(shù)控機(jī)床精度的主要途徑。

本文對(duì)磨削內(nèi)斜齒輪加工誤差展開(kāi)研究，利用多體系統(tǒng)和齊次坐標(biāo)變換原理，建立機(jī)床刀具相對(duì)于工件的幾何誤差模型，通過(guò)加工過(guò)程在線(xiàn)監(jiān)測(cè)，進(jìn)行數(shù)據(jù)采集和分析，對(duì)其進(jìn)行反向誤差補(bǔ)償。這對(duì)提高機(jī)床加工精度具有重要作用，對(duì)生產(chǎn)精密零件企業(yè)的發(fā)展具有重要意義[12]。

1 多體系統(tǒng)的機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文采用多體系統(tǒng)原理[13-14]，以數(shù)控機(jī)床磨削內(nèi)斜齒輪為例建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，該數(shù)控成型砂輪磨齒機(jī)擁有X、Y、Z、A、C五個(gè)聯(lián)動(dòng)軸。其中，X、Z、C軸是機(jī)床磨削系統(tǒng)的主要運(yùn)動(dòng)軸，X軸和Z軸與機(jī)床床身固定，C軸是工件分度數(shù)控回轉(zhuǎn)臺(tái)，安裝在X軸上；Y軸和A軸輔助運(yùn)動(dòng)，A軸用來(lái)控制砂輪的旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)內(nèi)斜齒輪的加工，安裝在Z軸的工作臺(tái)上。機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸示意圖如圖1 所示。

圖1 機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸示意圖

1.1 多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列

根據(jù)對(duì)內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，把機(jī)床系統(tǒng)分為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈，從機(jī)床機(jī)身開(kāi)始到工件端結(jié)束的是工件運(yùn)動(dòng)鏈，從機(jī)床機(jī)身開(kāi)始到刀具結(jié)束的是刀具運(yùn)動(dòng)鏈。兩者確定各運(yùn)動(dòng)部件的相鄰低序體關(guān)系，通過(guò)運(yùn)動(dòng)關(guān)系對(duì)個(gè)運(yùn)動(dòng)軸進(jìn)行編號(hào)，數(shù)控磨齒機(jī)機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖2 所示。

圖2 數(shù)控磨齒機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

由圖2 可知，在該多體系統(tǒng)中，只有B1運(yùn)動(dòng)體是最開(kāi)始標(biāo)記的，其他每個(gè)運(yùn)動(dòng)體都有相鄰的序號(hào)運(yùn)動(dòng)體，通過(guò)對(duì)該系統(tǒng)當(dāng)中的各個(gè)運(yùn)動(dòng)體進(jìn)行序號(hào)列表，用L(K)來(lái)表示，K為運(yùn)動(dòng)體在系統(tǒng)的序號(hào)。

假設(shè)S是K的相鄰低序體，用公式可以表達(dá)出相鄰運(yùn)動(dòng)體的關(guān)系：

低序體算子用L表示，則有：

低序體算子的定義為

通過(guò)上述公式可得出多體系統(tǒng)的低序體陣列，見(jiàn)表1。

表1 多體系統(tǒng)的低序體陣列

1.2 加工誤差幾何模型

內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)在圖2 所示工件到刀具運(yùn)動(dòng)鏈排序?yàn)椋簭墓ぜB接C軸連接X(jué)軸至機(jī)身，再?gòu)臋C(jī)身連接Z軸連接A軸至刀具結(jié)束。因此內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)鏈中的各個(gè)運(yùn)動(dòng)體坐標(biāo)系之間的理想狀態(tài)坐標(biāo)變換關(guān)系矩陣如下：TgC、TCX、TXJ、TJZ、TZA、TAW。

由表2 的坐標(biāo)變換矩陣，可以得到磨削內(nèi)斜齒輪多體系統(tǒng)在理想狀態(tài)下刀具到工件之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣TgW，即：

由于機(jī)床在加工內(nèi)斜齒輪磨削時(shí)各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸會(huì)出現(xiàn)幾何誤差，因此還應(yīng)求出存在誤差時(shí)刀具與內(nèi)斜齒之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。在存在誤差的情況下，其變換矩陣為

構(gòu)建機(jī)床內(nèi)斜齒輪磨削系統(tǒng)中刀具到工件坐標(biāo)系之間的誤差矩陣為EgW，誤差情況下兩坐標(biāo)系之間的變換矩陣就等于誤差矩陣EgW與理想狀態(tài)下兩坐標(biāo)系之間變換矩陣TgW的乘積，即：

所以

通過(guò)最小誤差假設(shè)，將EgW表達(dá)為

式中：δx、δy、δz分別為幾何誤差在X、Y、Z軸方向上的位移分量，εx、εy、εz分別為幾何誤差在X、Y、Z軸方向上的轉(zhuǎn)角分量。

1.3 齒面誤差模型

在進(jìn)行磨削加工過(guò)程中，忽略掉砂輪的修整誤差，用η來(lái)表示砂輪軸向廓形參數(shù)，則修正之后砂輪的軸向廓形坐標(biāo)矢量為

砂輪的回轉(zhuǎn)曲面是由其軸向廓形繞軸線(xiàn)做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡面。砂輪回轉(zhuǎn)參數(shù)用 φ表示，則在砂輪的坐標(biāo)系當(dāng)中，其坐標(biāo)矢量為

則砂輪單位法矢為

由于砂輪曲面特征可以用單位法矢和坐標(biāo)矢量聯(lián)合表示，因此，在齒輪坐標(biāo)系中理想的砂輪曲面可表示為

在實(shí)際加工中，各軸的幾何誤差用向量G=[x1,x2,···,xm]T表示，故實(shí)際的砂輪曲面為

砂輪與齒輪磨削接觸點(diǎn)的條件是：從齒輪坐標(biāo)系的原點(diǎn)向砂輪回轉(zhuǎn)面上做一點(diǎn)徑矢rg，若這一點(diǎn)在回轉(zhuǎn)面上的法線(xiàn)ng與這一點(diǎn)繞齒輪軸線(xiàn)kg的線(xiàn)速度矢量垂直，說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)是磨削接觸點(diǎn)。因此，理想的接觸條件與實(shí)際的接觸條件分別是：

式中：β是砂輪安裝角，常數(shù)；x是砂輪到齒輪的中心距，常數(shù)；α是螺旋加工參數(shù)，只有在幾何誤差存在時(shí)，才會(huì)影響到接觸線(xiàn)形狀，而幾何誤差向量G只與各運(yùn)動(dòng)軸的位置有關(guān)。當(dāng)α為常數(shù) αk時(shí)，f=0 作為接觸條件就只成為與砂輪的軸向廓形 η和回轉(zhuǎn)廓形參數(shù) φ有關(guān)。由于其軸向廓形 η范圍已知，將η等分成n個(gè)離散數(shù)值，令η=η（j=1,2,3,···,n），根據(jù)f=0 求出對(duì)應(yīng)的 φj，然后將(η,φj)代入rg，即可求得接觸點(diǎn)單位法式和坐標(biāo)矢量。由于η與f=0 聯(lián)合求出 φ，因此 η的函數(shù)可用 φ來(lái)表示，則由n個(gè)接觸點(diǎn)擬合成的第k條接觸線(xiàn)也可表示為

而齒面可以看成是由λ條離散的接觸線(xiàn)組成，因此理想和實(shí)際齒面分別表示為

故可建立各軸幾何誤差與齒面誤差的關(guān)系，模型為

2 加工誤差在線(xiàn)監(jiān)測(cè)及補(bǔ)償

由于數(shù)控機(jī)床在磨削過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)不同方向的幾何誤差，機(jī)床精度達(dá)不到技術(shù)規(guī)定要求，為了提高機(jī)床加工精度，對(duì)其加工過(guò)程進(jìn)行在線(xiàn)監(jiān)測(cè)。在機(jī)床加工過(guò)程中，反饋元件用于在線(xiàn)信息傳遞，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和控制。

2.1 在線(xiàn)監(jiān)測(cè)

監(jiān)測(cè)目的是通過(guò)內(nèi)置傳感器，完成對(duì)信號(hào)數(shù)據(jù)的采集，結(jié)合數(shù)據(jù)處理技術(shù)和特征提取方法，將其轉(zhuǎn)化為可處理信號(hào)。在采集過(guò)程中，信號(hào)數(shù)據(jù)需進(jìn)行采樣、編碼和傳輸以便將其輸入到計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，信息分析、處理、存儲(chǔ)和顯示是通過(guò)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)完成的，這些操作可為實(shí)時(shí)監(jiān)控提供關(guān)鍵的數(shù)據(jù)。在線(xiàn)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)如圖3 所示。

對(duì)內(nèi)斜齒輪進(jìn)行磨削如圖4 所示，工件參數(shù)見(jiàn)表3。加工過(guò)程中，C軸旋轉(zhuǎn)是為了使加工齒輪齒槽處于既定的位置，A軸轉(zhuǎn)動(dòng)確定的是加工內(nèi)斜齒的螺旋角，Z軸方向移動(dòng)是為了實(shí)現(xiàn)齒寬方向磨削的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，在磨削齒槽過(guò)程當(dāng)中，X、Y、A、C軸一直保持鎖止的狀態(tài)。

表3 內(nèi)斜齒輪的參數(shù)

圖4 內(nèi)斜齒輪加工實(shí)驗(yàn)

測(cè)試過(guò)程中，分別對(duì)各軸動(dòng)態(tài)位置信號(hào)進(jìn)行采集，如圖5a 所示。由于受切削刀具與工件相互作用的影響，檢測(cè)出X、Z、C軸的位置信號(hào)出現(xiàn)了明顯的變化，如圖5b 所示，X軸的跟蹤誤差范圍約為± 0.01 mm，波動(dòng)幅值微小；Z軸與X軸相比，波動(dòng)幅值變化較大，跟蹤誤差范圍約為± 0.17 mm；C軸位置在磨削的過(guò)程中和Z軸的波動(dòng)趨勢(shì)相似，C軸幅值變化的范圍為± 0.033°。

圖5 機(jī)床X、Z、C 軸位移信號(hào)

2.2 誤差補(bǔ)償

數(shù)控機(jī)床幾何誤差[15]補(bǔ)償分為硬件補(bǔ)償和軟件補(bǔ)償。硬件補(bǔ)償采用機(jī)械式補(bǔ)償來(lái)提高其加工精度，該方法成本高、通用性差、設(shè)計(jì)的周期時(shí)間長(zhǎng)，并且難以用數(shù)控方法進(jìn)行反饋控制，因此硬件補(bǔ)償在機(jī)床的應(yīng)用中較少；軟件補(bǔ)償是通過(guò)對(duì)機(jī)床各項(xiàng)誤差源研究，配合計(jì)算機(jī)軟件與數(shù)控系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行反向誤差補(bǔ)償，來(lái)提高機(jī)床的加工精度及性能的。軟件補(bǔ)償基本原理如圖6 所示，在實(shí)驗(yàn)中選用列表法對(duì)機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償，不需要改變工件三維模型和機(jī)床加工程序，只需要在西門(mén)子系統(tǒng)中把測(cè)量好的誤差補(bǔ)償值輸入到其誤差補(bǔ)償表里，就能實(shí)現(xiàn)誤差修正。

圖6 軟件補(bǔ)償基本原理圖

基于磨削內(nèi)斜齒加工誤差在線(xiàn)監(jiān)測(cè)，對(duì)機(jī)床參與運(yùn)動(dòng)的軸誤差特性進(jìn)行測(cè)試分析，發(fā)現(xiàn)Z、C軸的誤差較大。根據(jù)誤差曲線(xiàn)形狀，利用動(dòng)態(tài)操作功能將反向加權(quán)補(bǔ)償計(jì)算值實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)綑C(jī)床軸運(yùn)動(dòng)中，對(duì)其誤差值進(jìn)行補(bǔ)償。

3 齒面誤差檢測(cè)

為驗(yàn)證補(bǔ)償后的齒輪精度有所提高，對(duì)補(bǔ)償前后的齒輪進(jìn)行檢測(cè)，采用的檢測(cè)設(shè)備是格里森650GMS，實(shí)際測(cè)量平臺(tái)如圖7 所示。

圖7 內(nèi)斜齒輪實(shí)際測(cè)量平臺(tái)

內(nèi)斜齒輪的誤差是按照?qǐng)A柱齒輪誤差檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)定的，用實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)表示機(jī)床幾何誤差對(duì)齒面的影響，分別是內(nèi)斜齒輪的齒距累積總偏差FP、單個(gè)齒距偏差fP和齒廓總偏差Fα等精度標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)加工內(nèi)斜齒輪補(bǔ)償前與補(bǔ)償后進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)報(bào)告如圖8 和圖9 所示.

圖8 補(bǔ)償前檢測(cè)報(bào)告

圖9 補(bǔ)償后檢測(cè)報(bào)告

由表4 可以看出，誤差補(bǔ)償之后內(nèi)斜齒的加工誤差明顯減少，說(shuō)明補(bǔ)償后機(jī)床的加工精度有了顯著提高。

表4 機(jī)床誤差補(bǔ)償前后內(nèi)斜齒輪精度對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

（1）通過(guò)齊次坐標(biāo)變換原理，對(duì)工件-床身-刀具進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，建立運(yùn)動(dòng)鏈幾何誤差模型。

（2）通過(guò)內(nèi)置傳感器，監(jiān)測(cè)機(jī)床在磨削內(nèi)斜齒輪時(shí)各軸的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)機(jī)床的X軸誤差幅值波動(dòng)較小，Z、C軸誤差幅值波動(dòng)較為明顯，因此，對(duì)機(jī)床的Z、C軸進(jìn)行反向誤差補(bǔ)償。

（3）通過(guò)齒輪檢測(cè)分析儀對(duì)補(bǔ)償前后的齒輪進(jìn)行檢測(cè)，經(jīng)過(guò)對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償后的各齒面誤差均有顯著減少。

綜上所述，數(shù)控機(jī)床在實(shí)際加工中各軸均存在幾何誤差，通過(guò)機(jī)床的在線(xiàn)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)和軟件補(bǔ)償，可以提高工件的加工精度和表面質(zhì)量，對(duì)機(jī)床加工精度提高具有重要意義。