陳柳鑫, 楊建超, 于 彤

(河海大學(xué) 商學(xué)院, 江蘇 南京 211100)

0 引言

中國是世界第一制造大國,依據(jù)聯(lián)合國工業(yè)發(fā)展組織數(shù)據(jù),中國22 個制造業(yè)大類行業(yè)增加值居世界前列,其中紡織、服裝、皮革與基本金屬等產(chǎn)業(yè)增加值占世界比重超過30%[1]。 中國制造業(yè)增加值占世界比重不斷增大,在制造業(yè)取得舉世矚目成就的同時,應(yīng)注意到我國與歐美等發(fā)達國家的差距,我國制造業(yè)技術(shù)密集度不高,仍屬于中低技術(shù)密集型,人力等資源要素投入成本仍占生產(chǎn)成本的比重較大,由此可知,我國大多勞動密集型制造業(yè)的生產(chǎn)廠商或企業(yè)(下文簡稱生產(chǎn)廠商或企業(yè)),要提高其生產(chǎn)能力,往往需要加大人力資源、設(shè)備資源等要素的投入[2]。

隨著我國市場經(jīng)濟的深入發(fā)展,生產(chǎn)廠商或企業(yè)針對當前需求訂單的波動,提出柔性制造的全新制造模式,即生產(chǎn)廠商或企業(yè)依據(jù)當前的庫存水平,對其生產(chǎn)速率進行動態(tài)地調(diào)整,與需方的訂單量進行有效地匹配,從而形成生產(chǎn)速率可柔性化調(diào)整的新型生產(chǎn)模式,實現(xiàn)生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化的目標。 由于生產(chǎn)廠商或企業(yè)仍處于中低技術(shù)密集型,在短時間內(nèi)難以通過流程優(yōu)化、技術(shù)創(chuàng)新等手段迅速提升其生產(chǎn)速率,而只能通過增加(減少)資源要素的投入來緩解需求旺季(淡季)導(dǎo)致的庫存短缺(積壓)的失衡問題[2]。 一方面,在需求淡季,生產(chǎn)廠商或企業(yè)減少生產(chǎn)要素的投入,將生產(chǎn)速率降低至一定的水平,以避免需求不足產(chǎn)生的庫存積壓問題;另一方面,在需求旺季,生產(chǎn)壓力增大、勞動力資源等供應(yīng)緊張,生產(chǎn)要素投入的增加雖然能夠提高生產(chǎn)速率,但是會導(dǎo)致生產(chǎn)成本進一步加大。 相關(guān)學(xué)者研究指出,需求旺季將影響訂單合同生產(chǎn)周期的柔性,部分生產(chǎn)廠商或企業(yè)會在生產(chǎn)周期不具柔性的情形下,采取生產(chǎn)外包的方式,以期在短期內(nèi)提升產(chǎn)能,但這會導(dǎo)致生產(chǎn)成本的增加[3]。 值得注意的是,針對現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng),受到生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能,以及不同生產(chǎn)速率下生產(chǎn)成本不同的雙重約束,如何對現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的庫存水平進行有效控制,是生產(chǎn)廠商或企業(yè)實現(xiàn)長期折扣利潤最大化目標的關(guān)鍵[4]。也就是說,如何在生產(chǎn)廠商或企業(yè)內(nèi)柔性地控制生產(chǎn)速率,助力企業(yè)更好地應(yīng)對淡旺季需求波動,達到長期折扣利潤最大化的目標,是當前生產(chǎn)廠商或企業(yè)面臨的主要問題。 綜上,從生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)速率動態(tài)控制的視角,對生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)速率進行柔性地調(diào)整,在不同生產(chǎn)速率下保持其盈利的能力,是解決上述問題的主要途徑(據(jù)全球紡織網(wǎng)對于ZARA、Baleno 等服裝品牌相關(guān)生產(chǎn)案例,針對需求訂單的波動,提出增加或減少生產(chǎn)資源要素的投入來柔性地動態(tài)調(diào)控生產(chǎn)速率)。

本文進一步考慮生產(chǎn)廠商或企業(yè)的在生產(chǎn)過程中存在如下的情形,在訂單生產(chǎn)任務(wù)下達后,生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元無法在短期內(nèi)通過流程優(yōu)化、技術(shù)創(chuàng)新等手段,達到既降低成本又提高生產(chǎn)速率的目標,為此,生產(chǎn)廠商或企業(yè)只能通過增加(減少)資源要素的投入來實現(xiàn)生產(chǎn)速率的提升(降低)。 研究假設(shè)生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元可以依據(jù)當前的庫存水平,對生產(chǎn)速率在一定范圍內(nèi)進行柔性地動態(tài)調(diào)整,即,一方面,當生產(chǎn)廠商或企業(yè)發(fā)現(xiàn)當前庫存水平較高時,將采取低生產(chǎn)速率或停止生產(chǎn)的方式進行生產(chǎn);另一方面,當生產(chǎn)廠商或企業(yè)發(fā)現(xiàn)當前庫存水平較低,甚至出現(xiàn)缺貨時,將采取高生產(chǎn)速率的生產(chǎn)方式進行生產(chǎn)。 生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元在提高生產(chǎn)速率進行生產(chǎn)時,需要加大相關(guān)資源要素的投入,其生產(chǎn)成本會隨著生產(chǎn)速率的提升而增加。 例如,高生產(chǎn)速率進行生產(chǎn),將導(dǎo)致生產(chǎn)設(shè)備或設(shè)施更高的損耗,員工加班增多或增加臨時聘用人員等,將產(chǎn)生更高的生產(chǎn)成本(具體詳見全球紡織網(wǎng)中ZARA、Baleno 等服裝品牌案例,其在銷售旺季由于員工加班或為進一步增加產(chǎn)量而使用更昂貴的生產(chǎn)設(shè)備,導(dǎo)致邊際生產(chǎn)成本增加)。 此外,當生產(chǎn)廠商或企業(yè)的庫存水平較高時,生產(chǎn)廠商或企業(yè)將選擇減少相關(guān)資源要素的投入,使得生產(chǎn)單元降低生產(chǎn)速率來匹配外部市場訂單需求。 由此可見,勞動密集型生產(chǎn)廠商或企業(yè)會依據(jù)外部市場訂單需求波動對其庫存水平的影響,在生產(chǎn)過程中柔性地選擇高速率生產(chǎn)、低速率生產(chǎn)或停止生產(chǎn),以達到生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化的目標。

本文以生產(chǎn)控制、庫存控制、庫存管理等為核心關(guān)鍵詞,對國內(nèi)外相關(guān)研究進行梳理與總結(jié),國內(nèi)外對于該領(lǐng)域的研究較為豐富。 從生產(chǎn)制造系統(tǒng)中庫存管理與庫存控制的視角來看,研究一般以庫存水平作為生產(chǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)變量,庫存持有成本與缺貨成本為主要的成本量化指標,以庫存持有成本與缺貨成本最小化為目標函數(shù)。 即庫存水平達到或超過一定的閾值水平后,生產(chǎn)廠商將停止生產(chǎn);當庫存水平低于一定的閾值水平后,生產(chǎn)廠商將開始生產(chǎn),以達到最小化庫存持有成本與缺貨成本的目的[5-9]。 Gavish 和Graves、Sobel 是較早針對單一產(chǎn)品生產(chǎn)制造系統(tǒng)進行研究的學(xué)者,文中對單個產(chǎn)品的庫存管理的閾值策略進行刻畫,研究證明單個產(chǎn)品的庫存控制的最優(yōu)閾值策略的存在性[8-9]。 在前述學(xué)者研究的基礎(chǔ)上,Wein、Veach 和Wein、Ha、Bertsimas 和Paschalidis 等學(xué)者將單一產(chǎn)品庫存管理的閾值策略擴展至多種類別產(chǎn)品庫存管理中,研究進一步對多種類別產(chǎn)品庫存管理的最優(yōu)閾值水平進行分析[10-13]。 Zheng 和Zipkin 針對庫存控制與生產(chǎn)速率間的關(guān)系進行研究,將生產(chǎn)系統(tǒng)中的訂單需求抽象為隊列中的排隊隊長,提出優(yōu)先滿足排隊隊長最大隊列的生產(chǎn)策略(the longest queue first)[14]。 Pang、Shen 和Cheng 提出允許批量生產(chǎn),以及設(shè)備會損壞情形下生產(chǎn)系統(tǒng)庫存控制的最優(yōu)策略[15]。 也有學(xué)者針對易逝性產(chǎn)品庫存控制問題進行研究,如,Chen、Li 和Yang 等對易腐性產(chǎn)品的庫存控制問題進行研究,提出易腐性產(chǎn)品庫存的最優(yōu)控制策略,并對模型的敏感性進行分析[16]。 綜上,前述研究主要針對最小化庫存持有成本與缺貨成本為目標函數(shù),對單一產(chǎn)品或多種類別產(chǎn)品庫存控制的最優(yōu)策略進行分析,但是上述文獻并未以生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)利潤最大化為目標進行研究,對于生產(chǎn)速率的動態(tài)控制,更多局限于不生產(chǎn)或生產(chǎn)兩種決策,未涉及生產(chǎn)速率改變所引起的生產(chǎn)成本變化。 為此,本文將在前述研究的基礎(chǔ)上,以生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化為目標,綜合考慮不同生產(chǎn)速率導(dǎo)致的產(chǎn)生成本變化,以產(chǎn)品庫存水平為狀態(tài)變量,基于動態(tài)的視角,對生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)速率如何柔性地動態(tài)調(diào)控進行決策,并獲得生產(chǎn)速率動態(tài)調(diào)控的最優(yōu)策略。

針對生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化為目標的研究中,國內(nèi)外的相關(guān)研究更多聚焦于最優(yōu)的產(chǎn)品動態(tài)定價策略、生產(chǎn)策略與庫存控制策略的研究[17]。 比較具有代表性的有,Li 針對外部市場需求受不同銷售價格波動的影響,以生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化為目標,對實現(xiàn)生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化的最優(yōu)生產(chǎn)策略進行分析[18]。 Chen、Feng 和Ou 針對離散化價格與需求間單調(diào)遞減關(guān)系,對生產(chǎn)廠商與企業(yè)最優(yōu)生產(chǎn)策略進行研究[19]。 Chen、Chen 和Pang 以現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象,在市場信息透明化的前提下,對庫存控制與動態(tài)定價的聯(lián)合管理策略進行刻畫[20]。 Yang、Yu 和 Huang 研究運用短視策略(myopic policy)分析串行的庫存系統(tǒng),針對批量訂購問題,研究提出短視策略最優(yōu)的存在條件[21]。 Chen、Feng 和Hao 考慮批量需求的情形下,對最優(yōu)的生產(chǎn)策略與庫存控制策略進行研究[22]。 Yang、Chen 和Zhou 考慮單一產(chǎn)品的動態(tài)定價與庫存控制問題,從產(chǎn)能不確定的視角,提出產(chǎn)品價格與產(chǎn)品庫存的最優(yōu)動態(tài)控制策略[23]。 綜上,前述研究雖然從產(chǎn)品定價對生產(chǎn)與庫存水平的影響進行分析,但是缺乏從生產(chǎn)速率動態(tài)控制對需求與庫存水平的影響進行分析,尤其鮮見在生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化的目標下,如何通過生產(chǎn)速率的動態(tài)調(diào)整與庫存水平間的相互作用關(guān)系分析,獲得最優(yōu)的生產(chǎn)速率控制策略。 為此,本文將基于動態(tài)的視角,以生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化為目標,基于不同的庫存水平,分析最優(yōu)的生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略。

針對生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)速率控制的研究,國內(nèi)外主要從生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)速率靜態(tài)與動態(tài)控制模型兩個方面進行研究。 從靜態(tài)模型研究方面來看,夏西強和朱慶華通過外包再制造模式,利用博弈模型對再制造設(shè)計對制造與再制造生產(chǎn)系統(tǒng)的影響進行研究,提出生產(chǎn)收益最大化目標下再制造產(chǎn)品與新產(chǎn)品最優(yōu)配比的閾值制造策略[24]。 曹裕、吳堪和熊壽遙提出需求訂單準入策略,利用理想點法(TOPSIS)評估訂單與理想訂單的接近程度,以此作為訂單的綜合收益,從而對新訂單進行分層排序安排生產(chǎn)[25]。 謝杏子和王秀利提出針對不同類型訂單的機器加工調(diào)度的拉格朗日松弛算法,該算法能夠獲得機器加工生產(chǎn)的近似最優(yōu)解[26]。 藺宇、李雅嬌和史英杰考慮產(chǎn)品缺貨成本、庫存持有成本與生產(chǎn)成本最小化的目標下,利用排隊模型,分析最優(yōu)看板數(shù)量與不同生產(chǎn)階段中機器生產(chǎn)速率的單調(diào)關(guān)系[27]。 李維及譚慶德研究生產(chǎn)時長服從Erlang 分布的生產(chǎn)系統(tǒng),對其最優(yōu)的生產(chǎn)策略進行研究[28]。 鄭睿及呂文元在生產(chǎn)設(shè)備可能損壞的情形下,提出生產(chǎn)與機器維修的聯(lián)合控制策略[29]。 田雪雁和潘爾順研究指出在生產(chǎn)系統(tǒng)中存在機器損壞的情形,研究提出估計機器損壞與修復(fù)的概率,對生產(chǎn)系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)策略進行研究[30]。 Yang、Hu 和Zhou 針對生產(chǎn)與零售間的多層級關(guān)系,以及零售商具有厭惡風險的特征,運用報童模型與條件價值風險值(CVAR)分析技術(shù),探討生產(chǎn)、銷售庫存集中化的控制問題[31]。 然而,上述研究更多是基于單周期模型的視角,對生產(chǎn)系統(tǒng)最優(yōu)的生產(chǎn)控制策略進行研究,未基于時間維度,在不同的時間點,對生產(chǎn)速率進行柔性地動態(tài)調(diào)整,難以獲得此類問題最優(yōu)的生產(chǎn)速率控制策略。

從生產(chǎn)速率動態(tài)控制模型的研究來看,相關(guān)的研究更多聚焦于生產(chǎn)與不生產(chǎn)的決策,肖勇波、陳劍和吳鵬針對產(chǎn)能與需求不確定情形下,對按訂單裝配生產(chǎn)(assemble-to-order)系統(tǒng)的最優(yōu)庫存水平與生產(chǎn)策略進行研究[32]。 Feng 和Yan考慮需求服從泊松流,在無窮周期下,提出基于庫存水平的生產(chǎn)閾值策略,當庫存水平超過閾值水平后,生產(chǎn)系統(tǒng)采取不生產(chǎn)的策略;當庫存水平低于閾值水平后,生產(chǎn)系統(tǒng)采取全速生產(chǎn)的策略[33]。 Tan 針對需求的波動性,研究提出生產(chǎn)與不生產(chǎn)間的調(diào)整時長服從指數(shù)分布,以生產(chǎn)成本最小化為目標,提出生產(chǎn)最優(yōu)的閾值策略[34]。 Martinell 和Valigi 指出庫存容量有限的情形下,對單一設(shè)備的生產(chǎn)系統(tǒng)進行研究,研究提出最優(yōu)安全庫存策略對生產(chǎn)系統(tǒng)進行控制[35]。 由此可見,對生產(chǎn)速率柔性動態(tài)調(diào)控的研究中,更多聚焦于生產(chǎn)與不生產(chǎn)兩種情形的決策,這與生產(chǎn)廠商或企業(yè)的現(xiàn)實情況不符。 此外,運用不同的生產(chǎn)速率進行生產(chǎn),會產(chǎn)生不同的生產(chǎn)成本,僅關(guān)注高速率生產(chǎn)或不生產(chǎn)兩種決策,難以實現(xiàn)生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化的目標。 在汲取前述理論研究成果的基礎(chǔ)上,依托生產(chǎn)廠商或企業(yè)在生產(chǎn)過程中的現(xiàn)實情景,本文提出其生產(chǎn)過程中擁有高速率生產(chǎn)、低速率生產(chǎn)或不生產(chǎn)三種情形,以及采取不同的生產(chǎn)速率,將產(chǎn)生不同的生產(chǎn)成本。 在需求不確定的情形下,為實現(xiàn)生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化的目標,亟待對生產(chǎn)廠商或企業(yè)最優(yōu)的生產(chǎn)動態(tài)調(diào)控策略進行研究。

綜上,通過對國內(nèi)外相關(guān)研究的梳理與總結(jié),本文將聚焦于生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元,通過對生產(chǎn)單元的生產(chǎn)速率柔性地動態(tài)調(diào)控,實現(xiàn)生產(chǎn)廠商或企業(yè)長期折扣利潤最大化的目標。 不失一般性,本文將假設(shè)生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元在生產(chǎn)過程中存在高速率生產(chǎn)、低速率生產(chǎn)與不生產(chǎn)三種不同的生產(chǎn)決策,在無窮周期下,以生產(chǎn)廠商或企業(yè)折扣利潤最大化為目標,將該問題抽象為連續(xù)時間下的馬爾可夫決策模型(markov decision process),推導(dǎo)出漢密爾頓-雅可比-貝里曼(hamilton-jacobi-bellman,HJB)方程,應(yīng)用算子理論對模型的結(jié)構(gòu)性質(zhì)與最優(yōu)的生產(chǎn)速率柔性控制策略進行刻畫,最終獲得最優(yōu)生產(chǎn)速率調(diào)控的閾值策略。

本文余下部分的組織如下：第二部分對模型假設(shè)、模型參數(shù)設(shè)置、模型目標函數(shù)等進行設(shè)置與描述;第三部分應(yīng)用算子理論對模型結(jié)構(gòu)性質(zhì)進行分析,研究該生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)速率最優(yōu)的控制策略,以及模型算例分析等;第四部分對全文進行總結(jié)并提出未來研究的展望。

1 模型的構(gòu)建

1.1 模型參數(shù)設(shè)置

ai其中i =1,2,表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)單元生產(chǎn)單位產(chǎn)品的時長服從參數(shù)為ai的指數(shù)分布,其中平均生產(chǎn)時長為1/ai;

λ表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的需求到達服從參數(shù)為λ的泊松流,其中λ為到達率;

ci其中i =1,2,表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)以ai生產(chǎn)速率進行生產(chǎn)時,單位時間的生產(chǎn)成本為ci;

x(t) 表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)t時刻時的庫存水平;

c(x) 表示庫存水平x下,現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的庫存持有成本與缺貨成本,即,c(x)= c+ x++c- x-,其中x+= max(0,x),x-= min(0,x);

p表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)銷售出單位產(chǎn)品所獲得的收益;

μ(t) 表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)t時刻時生產(chǎn)單元的生產(chǎn)速率;

Nu(t) 表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)在t時刻時所到達的總的需求量;

Pu(t) 表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)在t時刻時所生產(chǎn)的總產(chǎn)品量;

γ表示折扣因子,其中,0＜γ ＜1。

1.2 模型假設(shè)

假設(shè)1現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)單元擁有三種不同的生產(chǎn)速率,其中a1表示高速率生產(chǎn),a2表示低速率生產(chǎn),為分析的方便,設(shè)定a3表示0 速率生產(chǎn)(不生產(chǎn)),a1＞a2＞a3=0;

假設(shè)2現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)單元采用不同的生產(chǎn)速率進行生產(chǎn)時,單位時間內(nèi)的生產(chǎn)成本與生產(chǎn)速率呈單調(diào)遞增的相關(guān)關(guān)系,即生產(chǎn)單元以高速率進行生產(chǎn)的單位時間成本大于生產(chǎn)單元以低速率生產(chǎn)的單位時間成本,為分析的方便,假設(shè)現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)單元停止生產(chǎn)時的成本為0,即,c1＞c2＞c3=0;

假設(shè)3為使得本文研究的現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)能夠達到穩(wěn)態(tài),假設(shè)a2＞λ;

假設(shè)4現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)單元從高速率生產(chǎn)切換為低速率生產(chǎn)的生產(chǎn)單位產(chǎn)品的邊際成本小于單位產(chǎn)品的收益,即現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)通過生產(chǎn)才能夠獲得更多的生產(chǎn)利潤;

假設(shè)5當需求到達時,達到的需求均為一個單位產(chǎn)品。若當前現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的庫存水平非正,則需求加入等待隊列,并按照先到先服務(wù)的規(guī)則,依次對等待隊列中的需求供貨;

假設(shè)6當需求到達時,若當前現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的庫存水平非正,本文為分析方便,提出需求加入等待隊列后,生產(chǎn)廠商或企業(yè)也立即獲得收益p;

假設(shè)7現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)低速率的生產(chǎn)成本小于缺貨的折扣成本c2＜c- /γ,即,一旦出現(xiàn)缺貨,生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)單元需要進行生產(chǎn),才能夠使得利潤函數(shù)值增加。

1.3 模型構(gòu)建

鑒于不同需求到達的時間間隔與生產(chǎn)時長均服從指數(shù)分布,現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)具有無記憶性的特征,本文將該問題抽象為連續(xù)時間下的馬爾可夫決策問題[36-38]。

假設(shè)u ={μ(t)：t ＞0}為系統(tǒng)不可預(yù)見的現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)單元生產(chǎn)速率的柔性動態(tài)控制策略,U為所有控制策略的集合,其中,u∈U。 那么從初始庫存水平x(0) 開始,現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)在無窮周期下生產(chǎn)的折扣利潤函數(shù)Ju(t)為：

若u*∈U滿足,則稱u*∈U為現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)單元生產(chǎn)速率的最優(yōu)柔性動態(tài)控制策略。

本文利用Lippman 變換,令β = λ +a1+a2,重新定義時間尺度(redefine the time scale),不失一般性,令β+γ =1,從而進一步簡化模型[39]。 由馬爾可夫決策理論[40-41],J(x) 滿足如下最優(yōu)方程(HJB 方程),具體如公式(2)所示：

對于任意的函數(shù)J,有J：Z|?R,我們定義算子T0如下：

由(2)與(3)式可知,我們可以得到HJB 方程：

同樣的,基于連續(xù)時間下的馬爾可夫決策理論[40-41],我們所研究的HJB 方程可以表述如下：

其中,算子T對于任意的函數(shù)J,J：Z|?R,定義如下：

在等式(5)中,- c(x) 表示在庫存水平x的狀態(tài)下,t時刻系統(tǒng)地持有(缺貨) 成本;λ[J(x -1)+ p] 表示需求到達后,庫存水平將減少一個單位,若庫存水平x為正,需方直接獲得一個單位的產(chǎn)品,生產(chǎn)廠商或企業(yè)獲得收益p;庫存水平x為負時(缺貨),相當于需求進入等待隊列,生產(chǎn)廠商或企業(yè)按照先到先服務(wù)的規(guī)則進行生產(chǎn),并獲得預(yù)先支付的收益p;T0J(x) 表示在生產(chǎn)單元生產(chǎn)制造環(huán)節(jié),生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元選擇以何種速率進行生產(chǎn)的最優(yōu)決策,當選擇生產(chǎn)速率a1時,表示在算子T0作用下,生產(chǎn)單元選擇高生產(chǎn)速率進行生產(chǎn),能夠最大化利潤函數(shù);當選擇生產(chǎn)速率a2時,表示在算子T0作用下,生產(chǎn)單元選擇低生產(chǎn)速率進行生產(chǎn),能夠最大化利潤函數(shù);當選擇不生產(chǎn)時,表示在算子T0作用下,生產(chǎn)單元選擇不生產(chǎn)能夠最大化利潤函數(shù)。

2 最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略的分析

2.1 模型結(jié)構(gòu)性質(zhì)

在本小節(jié)中,我們將進一步刻畫關(guān)于模型的結(jié)構(gòu)性質(zhì),具體內(nèi)容如下：

引理1令函數(shù)f,有f：Z|?R,定義范數(shù)為‖f‖ =,且f(x)∈W,函數(shù)空間W是完備賦范空間,且存在算子T,對于任意的f(x) ∈W,有

證明：依據(jù)Porteus 中的定理5.1[41]。

對于任意的函數(shù)f(x),我們定義一階差分為：

以及二階差分：

定義2我們定義W為Z上的函數(shù)集合,如果J∈W,則有如下的條件成立：

①J(x +1)-J(x) ≤J(x)-J(x -1),即,DJ(x) 是關(guān)于x的減函數(shù);

②當x≤0 時,DJ(x) ≥0。

接下來,引理2 將說明算子T保持條件①與②成立。

引理2如果J(x) ∈W,則TJ(x) ∈W。

證明：令函數(shù)f,有f：Z|?R,且滿足條件①與條件②,即：f(x +1)-f(x) ≤f(x)-f(x -1);當x≤0 時,Df(x) ≥0。

令Tf(x)= - c(x)+ λ[f(x -1)+ p]+ T0f(x),

其中,T0f(x) = max{a1[f(x+1)-c1]+a2f(x),a1f(x)+ a2[f(x +1)- c2],(a1+ a2)f(x)}。

為證明成立Tf(x)∈W,我們首先需要證明算子T0能夠保持條件①與②成立,即：

上述表達式由于f(x)∈W,且滿足條件①與②成立,由此可知,DT0f(x) 使得條件①與②成立,即,T0f(x) ∈W。

其次,由定義1 與公式(5)可以發(fā)現(xiàn),算子T0能夠保持條件①與②成立。 由定義1,W在我們定義的范數(shù)‖J‖ =下為完備賦范空間,因此有J(x) ∈W,即,DTJ(x) 是關(guān)于x的減函數(shù),以及當x≤0 時,DJ(x) ≥0。

最后,當庫存水平x趨于無窮大時,當DJ(x) 有極限存在,能夠證明DTJ(x) 在當庫存水平x趨于無窮大時,亦有極限存在,則有TJ(x) ∈W成立,具體證明詳見性質(zhì)1。

其中引理2 表示生產(chǎn)廠商或企業(yè)的邊際收益函數(shù)會隨著庫存量的增加而減少,即庫存量越大,給生產(chǎn)廠商或企業(yè)帶來更多的持有成本,且單位庫存所帶來的邊際收益會呈現(xiàn)遞減的趨勢。

2.2 最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略分析

依據(jù)引理2,函數(shù)空間W是完備賦范空間,我們需要證明空間中存在柯西序列,使得壓縮映射T作用于{J(n),n≥0} ?W函數(shù)序列上,有J*(x) ∈W,即,存在唯一的不動點J*(x) 為該HJB 方程的最優(yōu)解。

定理1若J*(x) 是模型的最優(yōu)利潤函數(shù), 則滿足J*(x) ∈W。

證明：當n≥0 時,

從上述分析可知,壓縮映射T作用于{J(n),n≥0} ?W函數(shù)序列上,進一步獲得完備賦范空間中存在唯一的不動點,J*(x) 為該HJB 方程的最優(yōu)解。

其中定理1 表示生產(chǎn)廠商或企業(yè)的最優(yōu)利潤函數(shù)在函數(shù)空間W內(nèi),且是前文HJB 方程的最優(yōu)解。 在引理2 與定理1 的基礎(chǔ)上,進一步可以獲得生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)單元生產(chǎn)速率的最優(yōu)閾值控制策略,具體內(nèi)容如下：

定理2最優(yōu)策略是通過庫存水平的閾值點來進行刻畫,() 由如下式子所決定：

其中,有如下性質(zhì)成立：

(1)滿足

(2)滿足

定理3若()策略為最優(yōu)的(D1,D2)策略,則其利潤函數(shù)滿足HJB 方程,即表明() 為全局最優(yōu)策略。

其中定理3 表明,滿足HJB 方程,即存策略為全局最優(yōu)策略。

性質(zhì)1對于利潤函數(shù)J(x) 的一階差分DJ(x),有下列性質(zhì)成立：

證明：令函數(shù)f,有f：Z|?R,且滿足條件①與條件②,有下列性質(zhì)成立,即：

令Tf(x)= - c(x)+ λ[f(x -1)+ p]+ T0f(x),

其中,T0f(x) = max{a1[f(x+1)-c1]+a2f(x),a1f(x)+ a2[f(x +1)- c2],(a1+ a2)f(x)}。

由于DT0f(x)= T0f(x +1)- T0f(x)

在當庫存水平x趨向于正無窮時,即

在當庫存水平x趨于負無窮時,即

由(5)式可知,在當庫存量x趨于正無窮時,有

由(4)式可知,在當庫存量x趨于負無窮時,有

上述表明算子保持的極限性質(zhì)(iv)與(v),由J(x) ∈W,W在我們定義的范數(shù)下為完備賦范空間,因此有于是有與成立。

上述性質(zhì)1 說明：當x→+∞,即,利潤函數(shù)J(x)在庫存水平x取足夠大的正數(shù)時,其一階差分趨于常數(shù)當x→-∞,即,利潤函數(shù)J(x)在庫存水平x取足夠小的負數(shù)時,其一階差分趨于常數(shù)

2.3 最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略的模型算例分析

由于生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元采用高生產(chǎn)速率時會產(chǎn)生更高的生產(chǎn)成本,那么生產(chǎn)廠商或企業(yè)更關(guān)注高生產(chǎn)速率發(fā)生改變,其對最優(yōu)的生產(chǎn)速率調(diào)控策略產(chǎn)生的影響。 為此,本文將進一步對生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元高生產(chǎn)速率發(fā)生改變時,其對最優(yōu)的閾值策略影響的靈敏度進行分析,具體內(nèi)容如下：

性質(zhì)2假設(shè)λ,a2,c1,c2,p,以及c+,c-固定,但是生產(chǎn)系統(tǒng)的最高生產(chǎn)速率a1可變,則有如下性質(zhì)成立：

對于任意a′1＞a1,如果J(x,a′1),J(x,a1) ∈W,以及滿足如下不等式：

則DTJ(x,a′1)- DTJ(x,a1) ≥0 同樣滿足上述不等式。

證明：由TJ(x)= - c(x)+ λ[J(x -1)+ p]+ T0J(x),故而只需要證明算子保持上述不等式成立。

其中由公式(3),

同理可得DT0J(x,a1),即

進一步,由(8)減去(9)得

其中,當DJ(x,·)≤c2,其中c1≥c2,由(10)可得DJ(x,

當c2＜DJ(x,·) ≤c1,由(10) 可得a1) ≥0;

當DJ(x,·)＞c1,由(10)可知：

情形1：若DJ(x,·)- c1≥DJ(x,·)- c2,(10) 式為：

情形2：若,當?shù)扔?/p>

當a′1[DJ(x,a′1)- c1]＞ a2[DJ(x,a′1)- c2], 且等于,其余情形類似證明。

綜上,有DT0J(x,a′1)-DT0J(x,a1)≥0成立,則DTJ(x,a′1)- DTJ(x,a1) ≥0 同樣使不等式成立。

性質(zhì)2 說明,在生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)單元的最高生產(chǎn)速率提升,且生產(chǎn)成本保持不變的情形下,單位產(chǎn)品的邊際利潤將呈現(xiàn)遞增的趨勢。

進一步基于性質(zhì)2,下面對參數(shù)賦值,進行模型的數(shù)值算例分析,假設(shè)a2=15,p =75,λ =15,a1在(15,27) 范圍內(nèi)變化,關(guān)于費用的參數(shù)如下：c1=25,c2=20,c+ =20,c- =50。 注意到對于范圍(15,27) 里的a1總有那么對于所有的a1,最佳存儲點如圖1 所示。

圖1 模型算例Figure 1 A numerical study

如圖1 所示,庫存水平D2會隨著生產(chǎn)單元生產(chǎn)速率a1的增大而減小,在現(xiàn)實生產(chǎn)廠商或企業(yè)的實際案例中可以發(fā)現(xiàn),當生產(chǎn)速率持續(xù)增高,表明生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元擁有較高的生產(chǎn)能力,那么生產(chǎn)廠商或企業(yè)就不需要預(yù)留更多的安全庫存,以應(yīng)對需求的波動對當前庫存水平的影響。此外,在生產(chǎn)單元生產(chǎn)速率a1增大后,庫存水平D1會隨之而增大,即生產(chǎn)單元生產(chǎn)能力提升后,生產(chǎn)廠商或企業(yè)為了節(jié)約生產(chǎn)成本,會更多選擇生產(chǎn)單元以低速率來進行生產(chǎn),這與實際情形相吻合。

3 多個生產(chǎn)速率情形下的最優(yōu)長期折扣策略

3.1 模型參數(shù)設(shè)置

ai其中i =1,2,…,n,表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)生產(chǎn)單位產(chǎn)品的時長服從參數(shù)為ai的指數(shù)分布,其中平均生產(chǎn)時長為1/ai;

ci其中i =1,2,…,n,表示現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)以ai生產(chǎn)速率進行生產(chǎn)時,單位時間的生產(chǎn)成本;

其余模型參數(shù)設(shè)置與1.1 節(jié)一致。

3.2 模型假設(shè)

假設(shè)8現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)單元能夠有n種不同的生產(chǎn)速率,為分析的方便,設(shè)定an+1表示0 速率生產(chǎn)(停止生產(chǎn)),即,a1＞a2＞…＞an+1=0;

假設(shè)9現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)單元采用不同的生產(chǎn)速率進行生產(chǎn)時,單位時間內(nèi)的生產(chǎn)成本與生產(chǎn)速率呈單調(diào)遞增的相關(guān)關(guān)系,即生產(chǎn)單元以高速率進行生產(chǎn)的單位時間成本大于生產(chǎn)單元以低速率生產(chǎn)的單位時間成本,其中,cn+1= 0,此外,c1＞c2＞…＞cn+1=0;

假設(shè)10現(xiàn)貨型生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)單元隨著生產(chǎn)速率的提升,其邊際生產(chǎn)成本呈現(xiàn)單調(diào)遞增的關(guān)系,即

其余模型假設(shè)與1.2 節(jié)一致。

3.3 模型構(gòu)建

利用Lippman 變換,令β = λ+a1+…+an,重新定義時間尺度(Redefine the time scale),不失一般性,令β + γ =1[39]。 從而進一步簡化模型,類似地,我們可以得到無窮周期下,生產(chǎn)廠商或企業(yè)折扣生產(chǎn)利潤函數(shù)Ju(x) 滿足如下HJB 方程：

3.4 最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略

基于前述2.2 節(jié)分析的結(jié)果,我們可以獲得最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略為閾值策略,即,存在n個閾值點(D1,D2,…Dn),其中D1表示高速率生產(chǎn)與低速率生產(chǎn)的速率切換點,Dn表示最大庫存水平,若當前庫存水平小于等于D1時,生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元采取最高生產(chǎn)速率a1進行生產(chǎn);若當前庫存水平大于等于Dn時,生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元采取停止生產(chǎn);當庫存水平介于Di-1與Di之間時,生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元采取速率ai進行生產(chǎn),具體如(12)式所示：

類似地,由HJB 方程(12)我們可以獲得最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略為閾值策略,同樣最優(yōu)生產(chǎn)速率的閾值控制策略滿足HJB 方程(11),具體如定理4 所示：

定理4若策略同時滿足以下三個性質(zhì)：

(2)滿足

(3)滿足條件①與條件②,且0,

4 結(jié)束語

在無窮周期下,以生產(chǎn)廠商或企業(yè)折扣生產(chǎn)利潤最大化為目標,對生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)單元最優(yōu)的生產(chǎn)速率柔性調(diào)控策略進行研究。 研究假設(shè)生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元生產(chǎn)產(chǎn)品的時長服從指數(shù)分布,需求到達為泊松流,生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)單元能夠以高速率、低速率或停止生產(chǎn)三種策略進行生產(chǎn),單位生產(chǎn)成本隨著生產(chǎn)速率提升而增高。 我們將該問題進一步抽象為連續(xù)時間下的馬爾可夫決策模型,通過推導(dǎo)出的HJB 方程,對最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略的結(jié)構(gòu)性質(zhì)進行分析,研究最終獲得最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制策略為閾值策略,即存在2 個閾值點(),其中表示高速率生產(chǎn)與低速率生產(chǎn)的速率切換點表示最大庫存水平,當前庫存水平小于等于時,生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元采取最高生產(chǎn)速率a1進行生產(chǎn);當前庫存水平大于等于時,生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元采取停止生產(chǎn);當庫存水平介于與之間時候,生產(chǎn)廠商或企業(yè)的生產(chǎn)單元采取低速率a2進行生產(chǎn)。 研究進一步對模型關(guān)鍵參數(shù)的性質(zhì)進行理論分析,以及模型數(shù)值算例分析。 在研究的最后,我們將高速率生產(chǎn)、低速率生產(chǎn)與停止生產(chǎn)的情形推廣至具有n種不同的生產(chǎn)速率的情形,同樣獲得最優(yōu)生產(chǎn)速率柔性動態(tài)調(diào)控策略為閾值策略。

在后續(xù)的研究中,可以將生產(chǎn)廠商或企業(yè)所生產(chǎn)產(chǎn)品從單一產(chǎn)品拓展至多種類型的產(chǎn)品,將單一的需求拓展至多種類型的需求,并綜合考慮生產(chǎn)廠商或企業(yè)生產(chǎn)單元對生產(chǎn)不同產(chǎn)品的生產(chǎn)速率柔性動態(tài)控制問題與生產(chǎn)產(chǎn)品的動態(tài)定價問題,進一步使研究的模型更具普適性與推廣性。