考慮彈性壓縮的彈性支承拋物線拱內力解析解

李雙蓓，梁 睿，梅國雄,3

(1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西，南寧 530004；2.廣西防災減災與工程安全重點實驗室，廣西，南寧 530004；3.廣西大學工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004)

拱結構在豎向荷載作用下，拱趾支承處除有豎向反力之外，同時存在水平推力，使得拱肋以承受軸向壓力為主，大大減小了拱內彎矩，主拱截面的材料強度得到了充分發(fā)揮[1-2]。隨著我國社會經濟的高速發(fā)展，工程技術不斷提高，拱橋在施工方式和結構形式上不斷創(chuàng)新，拱橋跨徑不斷增大[3-6]，拱橋設計與建設的準確性、安全性和經濟性對理論解析計算提出了新要求。如今拱橋設計主要運用有限元方法進行數(shù)值計算，但對于結構設計分析來說基礎解析計算的作用仍不可忽視，有效運用解析計算不僅能夠極大提高有限元建模分析的效率，且兩者的計算結果可相互校對驗證[7]。

平南三橋作為世界第一拱橋，上部超大跨徑拱結構導致支座處水平推力達250 920 kN，常規(guī)基礎結構易產生應力集中導致混凝土拉裂等問題，為此廣西路橋集團創(chuàng)造性地提出“拱座、底板-地連墻接觸面設置柔性夾層”的新型基礎設計方案，以柔性接觸代替剛性接觸，實際證明這種處理是可靠的。已有研究表明：上部結構的內力性能與基礎相互作用。近年來，一些學者開展了基礎剛度對上部結構性能影響的研究，范重等[8]研究發(fā)現(xiàn)剪力墻結構樁基礎樁頂反力值隨著基礎剛度的增大而增大，且改變基礎剛度將導致樓層剪力、結構振動響應、側向位移等產生顯著變化，進而影響結構抗震性能；閆宇智等[9]在對高速鐵路簡支梁橋行車安全性的影響因素研究中指出基礎剛度下降引起的梁橋損傷程度達到90%以上時，將嚴重影響列車安全；DI 和FU[10]對地震損傷產生的基礎剛度退化導致的上部結構內力顯著重分布進行了研究，指出基礎近部框架柱的剪力和彎矩變化幅度最大；牟在根等[11]在超大跨結構抗震性能研究中指出多點地震激勵對結構內力和層間位移轉角的影響受基礎剛度的影響顯著。可見，基礎剛度的變化將對上部結構的力學性能產生較大影響，目前的相關研究大多是在建筑結構領域，對橋梁結構與基礎相互作用研究方面較少。伴隨著拱趾變位等問題的發(fā)生，必然導致上部拱結構內力重分布，從而影響拱橋的安全性與耐久性，因此，有必要對采用柔性接觸降低基礎剛度后上部超大跨橋梁結構的受力進行深入研究。

從力學角度來看，拱座與基礎之間以柔性接觸代替剛性接觸為以理想邊界代替非理想邊界。近年來，眾多學者對理想邊界和非理想邊界條件下的上部拱結構進行了理論研究，其中非理想邊界通過簡化為具有一定剛度的彈性支承約束，但研究方向主要集中在穩(wěn)定承載力[12-19]、動力響應[20-24]和溫度-位移響應[25]等方面，而關于非理想邊界拱結構基本內力理論解的研究相對空白。特殊基礎對拱軸力學性能的影響研究中，除了采用簡化的彈性支承約束模型外，另一部分學者則將外部條件引起的拱趾變位作為主動荷載，直接施加在拱趾進行研究[26-27]。

對于跨徑較小且矢跨比較大的拱橋通常可不計軸向彈性壓縮的影響[28-29]，但是部分學者的研究表明：軸力引起的彈性壓縮對計算的精確性具有不可忽略的影響。李新平等[30]采用彈性中心法推導無鉸拋物線拱的精確內力計算公式，發(fā)現(xiàn)在集中荷載作用下不考慮拱肋彈性壓縮影響導致計算推力的誤差可以達到30%；周宇等[31]基于Ritter公式推導了變截面懸鏈線無鉸拱應變影響線解析解，發(fā)現(xiàn)考慮軸力與否的計算偏差隨著矢跨比的減少而增大，矢跨比為1/7 時最大偏差大于9%。一些學者則從近似積分的角度對拱結構的解析解進行研究，楊雨厚等[7]基于彈性中心法，采用懸索線近似擬合拋物線的方法推導了具有較高工程精度的拋物線無鉸拱撓度影響線實用解析公式；胡長福等[32-34]分別基于彈性中心法和MEXE 方法推導了不考慮軸向壓縮和考慮軸向壓縮兩種情況下的等截面拋物線拱內力實用解析解，并采用懸索線弧長微分近似代替懸鏈線弧長微分推導了考慮軸向壓縮時的等截面懸鏈線拱內力解析解。此外，丁慶洋[35]基于彈性中心法推導得到拋物線無鉸拱在不同工況下的內力解析解，進一步對復雜工況下帶懸臂梁的梁拱組合拱結構進行詳細求解及參數(shù)分析?？梢姡竟敖Y構內力解析解是梁拱組合橋等復雜結構研究的重要基礎。

綜上研究現(xiàn)狀和研究成果，本文將非理想邊界約束處理為具有一定剛度的彈性支承約束，在直角坐標系下，基于彈性中心[28]簡化體系下的正則方程，采用精確曲線積分，推導了考慮彈性壓縮影響的彈性支承拋物線拱精確內力解析解，其中，剛臂長度、常變位和載變位可以顯式表達。通過不同矢跨比下的拋物線拱典型截面的有限元解進行驗證。從拱結構在豎向荷載作用下支承處產生強大水平推力這一受力特性出發(fā)，基于本文的顯式解進一步分析了彎壓剛度比、彈性柔度系數(shù)、矢跨比對水平推力的影響以及彈性柔度系數(shù)對拱軸內力分布的影響，為非理想邊界拱橋設計計算提供理論支持和新的研究思路。

1 內力解析解

1.1 推導思路

豎向移動荷載作用下等截面彈性支承拋物線拱的計算簡圖如圖1 所示。利用力法將非理想邊界拱分成左右對稱的懸臂拱，如圖2 所示，彈性支承的剛度系數(shù)為ki(i=1,2,3)，跨中贅余力為xi(i=1,2,3)，采用彈性中心簡化體系將力法方程簡化為易于求解的正則方程，剛臂長度為yS，設豎向移動荷載P的坐標為xP。拋物線拱軸方程為：

圖1 拋物線拱計算簡圖Fig.1 Calculation sketch of parabolic arch

圖2 彈性中心法基本體系Fig.2 Basic system of elastic center method

式中：l為跨徑；f為拱肋矢高。

為便于計算，令l1=l/2，a=4f/l，并取相對坐標ξ=x/l1，則拱軸方程轉化為y=fξ2， ξP為移動荷載相對坐標。拱軸微分關系與水平夾角有如下關系：

經過上述坐標轉換后可得如圖3 所示基本體系，對應力法方程為：

圖3 坐標轉換后的彈性中心法基本體系Fig.3 Basic system of elastic center method after coordinate transformation

式中， δij為常變位、 ΔiP為載變位，分別表示基本結構在單位力或單位外荷載單獨作用下彈性中心沿xj方向的位移。

基本結構中彈性中心的位移由拱軸變形和彈性支承變形兩方面構成，因此考慮拱肋彈性壓縮時， δij和 ΔiP基本表達式為：

式中：Mi、Ni、Ri和MP、NP、RP分別為基本結構在贅余力和單位荷載單獨作用下的截面彎矩、軸力和支座反力，其中支座反力包括水平、豎向反力和反力矩；EI、EA分別為拱軸截面抗彎剛度和抗拉壓剛度，彎壓剛度比b=EI/EA；ζ 為彈性支承的無量綱化彈性柔度系數(shù)，形式如下：

式中，i=1 時n取1，i=2、3 時n取3。

考慮兩側彈性支承對稱設置，基本結構為對稱結構，由于贅余力x1和x2正對稱，x3反對稱，故副系數(shù) δ13、 δ23均為0。而 δ12表達式為：

式中，令 δ12=δ21=0 ，即可求得剛臂長度yS。

基于上述彈性中心法簡化體系，式(4)可簡化為正則方程：

1.2 基本結構內力及贅余力計算

基本結構內力計算是求解超靜定結構內力影響線的基礎，表1 給出了贅余力、外荷載單獨作用下基本結構的內力，并將其代入式(5)～式(8)進行精確曲線積分后得到考慮拱肋彈性壓縮時，計算剛臂長度、常變位及載變位解析解的顯式解，如表2 所示。

表1 贅余力和單位外荷載作用下基本結構的內力Table 1 Superfluous force and internal forces under the effect of redundant forces or unit external load

表2 剛臂長度、常變位及載變位顯式解Table 2 Explicit solution of rigid arm length, constant displacement and load displacement

表2 中CSi、Ci、CiP和DiP均 為 常 系 數(shù)，計 算式如下：

式(21)中，當 ξP=0 時 ， β2=0。

將表2 中的 δii、 ΔiP計算式代入正則方程式(9)即可獲得贅余力，表達式如式(22)所示：

1.3 內力計算

彈性支承拋物線拱可看作是在外荷載和贅余力共同作用下的兩根懸臂曲拱，按照疊加法得到拱軸內力，根據豎向移動荷載作用位置不同，其表達式分別為式(23)～式(25)和式(26)～式(28)，將式(22)計算所得的贅余力代入其中即可得到任意截面的內力，拱軸內力表達式根據移動荷載作用在拱軸的位置分為正負半軸兩種情況。

當移動荷載位于正半軸即 0≤ξP≤1時，拱軸內力表達式為：

當移動荷載位于負半軸即 - 1 ＜ξP＜0時，拱軸內力表達式為：

式中，彈性柔度系數(shù) ζi為0 時，拱趾彈性支承的剛度趨于無窮大，可得到無鉸拱的贅余力和內力解析解，且當 ξP=0時可得到與文獻[30]拱頂集中荷載作用下一致的贅余力顯式解和內力解析解。

2 算例分析

2.1 解析解公式驗證

為驗證內力影響線解析解的準確性，以等截面拋物線無鉸拱為例，通過Ansys 建立有限元模型，對比所推導的內力計算結果，并比較解析解與有限元解的相對誤差。拋物線拱跨徑均取575 m，矢跨比分別為1/4、1/4.8、1/5、1/6，拱軸截面抗彎剛度為146.669×106kN·m2，抗拉壓剛度為76.158×106kN，1/4、1/5、1/6 三種矢跨比的無鉸拱在單位外荷載作用下典型截面內力結果列于表3。圖4 表明：矢跨比為1/4.8 時，不同荷載作用位置下本文解析解與有限元計算結果的對比。

表3 典型截面數(shù)值對比表Table 3 Comparison of results of typical sections

圖4 不同荷載作用位置的內力分布圖(f/l=1/4.8)Fig.4 Distribution of internal forces at different loading positions (f/l=1/4.8)

由表3 和圖4 分析可知，豎向集中荷載工況下，對不同矢跨比的拱軸，本文解析解與有限元計算結果相對誤差隨矢跨比的減小而增大。軸力的相對誤差在1%以內，最大相對誤差發(fā)生在荷載作用處；彎矩的相對誤差在3%以內，最大相對誤差發(fā)生在拱頂處；荷載作用在拱頂時，跨徑四等分截面的剪力相對誤差較大且最大達8.329%，但最大絕對誤差僅為0.004，該截面位于剪力值零點附近，主要是有限元建模單元以直代曲導致的結果，其他截面的相對誤差均在2%以內。解析解與有限元解的內力曲線擬合度高。

2.2 水平推力的影響分析

在豎向荷載作用下，梁在支承處僅受到豎向反力作用，而拱在豎向荷載作用下，支承處還受到水平推力的作用[1]，拱結構的這一特性決定了拱結構的支承不僅需要提供與其他結構一樣的豎向約束，還需提供水平方向的約束，以抵抗水平推力的作用。 ξP=0表示水平彈性支承拋物線拱在承受拱頂承受集中荷載時的工況，將 ξP=0代入表2可得到該工況下剛臂長度yS顯式解，如式(29)所示，同樣可得到常變位 δ22和載變位 Δ2P的顯式解，并將其代入式(22)所示正則方程得到贅余力x2的顯式解，而水平推力H和贅余力x2大小相等，故水平推力H的顯式解如式(29)和式(30)所示。

式中， ψ為拱頂集中荷載作用下的水平推力影響系數(shù)，表達式為：

針對拱結構受力特性所需的構造要求，以拱頂承受集中荷載的水平彈性支承拋物線拱為例，運用顯式解進一步分析彎壓剛度比b、彈性柔度系數(shù)ζ2、矢跨比f/l對水平推力影響系數(shù)的影響，算例跨徑為575 m，水平推力影響系數(shù)的變化曲線如圖5 所示。

圖5 不同參數(shù)影響下水平推力影響系數(shù)ψ 的變化曲線Fig.5 Variation curve of influence coefficient of horizontal thrust ψ under different parameters

圖5(a)為水平推力影響系數(shù)隨彎壓剛度比的變化曲線。從圖5(a)中可見，隨著彎壓剛度比的增大，水平推力影響系數(shù)呈近似線性減小，且減小趨勢隨水平彈性支承彈性柔度系數(shù)的增大而減弱，說明在支承處設置水平彈性彈簧有利于減弱彎壓剛度比對水平推力影響系數(shù)的影響。當彎壓剛度趨于無窮大時，為不考慮拱肋彈性壓縮的影響，對于彈性柔度系數(shù)為0 即無鉸拱，彎壓剛度比為1.93 時水平推力影響系數(shù)為0.288，彎壓剛度比達到500 時水平推力影響系數(shù)減小到0.208，即若不考慮拱肋的彈性壓縮影響可能導致水平推力的計算誤差可以達到27.8%。

圖5(b)給出了矢跨比為1/4.8、彎壓剛度比為1.93 時，水平推力影響系數(shù)隨彈性柔度系數(shù)的變化曲線。從圖5(b)中可見，隨著彈性柔度系數(shù)的增大，水平推力影響系數(shù)呈非線性減小，減小趨勢先急后緩。彈性柔度系數(shù)從0 增大到0.01，水平推力影響系數(shù)減小了約0.1，減小幅度約35.34%；當彈性柔度系數(shù)增至0.02 后，曲線下降明顯變緩。

圖5(c)為彎壓剛度比為1.93、彈性柔度系數(shù)為0.02 時，水平推力影響系數(shù)隨矢跨比的變化曲線。從圖5(c)中可見，當矢跨比小于1/3 時，水平推力影響系數(shù)隨著矢跨比的增大呈接近線形增大；當矢跨比大于1/3 時，水平推力影響系數(shù)隨著矢跨比的增大逐漸趨于穩(wěn)定。對于常見矢跨比的拋物線拱，水平推力影響系數(shù)在0.15 左右。

上述分析表明：在拱頂豎向集中荷載下，忽略拱肋彈性壓縮對拱的水平推力影響很大，彎壓剛度比越大誤差越大。在支承處設置水平彈性彈簧不僅有利于削弱拱肋彈性壓縮對水平推力影響系數(shù)的影響，還能對水平推力的大小起到顯著的調控作用。

2.3 水平彈性支承對內力的影響分析

隨著水平彈性支承彈性柔度系數(shù)的變化，支承處的水平推力發(fā)生顯著改變，拱軸內力必然也將隨之變化，下面分析水平彈性支承拋物線拱在承受拱頂承受集中荷載時，彎矩M、軸力N和剪力Q隨彈性柔度系數(shù)變化的規(guī)律。拱軸的跨徑和截面參數(shù)與2.1 節(jié)相同，矢跨比為1/4.8。圖6 為拋物線拱在不同彈性柔度水平彈性支承時的拱軸內力分布圖。圖7 為拋物線拱在拱趾、荷載作用處和極值截面三個典型截面的內力之比隨水平彈性支承柔度系數(shù)的變化曲線，將此內力之比稱為內力特征值，即彎矩、軸力和剪力的特征值分別為M/M0、N/N0、Q/Q0，其中M0、N0、Q0為對應柔度系數(shù) ζ2為0 即無鉸拱時的典型截面內力。

圖6 不同柔度系數(shù)水平彈性支承拋物線拱內力分布圖Fig.6 Distribution of internal forces of parabolic arches with different flexibility coefficients of horizontal elastic supports

圖7 內力特征值隨水平彈性支承柔度變化曲線Fig.7 Variation curve of internal force characteristic value with flexibility coefficient of horizontal elastic support

從圖6 和圖7 可見隨著柔度系數(shù)的增大，拱趾附近彎矩的變化幅度最大，且彎矩值出現(xiàn)變號，所以隨著柔度系數(shù)的增大，拱趾附近彎矩會先減小后增大；跨中區(qū)域彎矩隨著柔度系數(shù)的增大而增大，增幅最大發(fā)生在跨中截面；彎矩極值變化幅度最小。拱內各點的軸力隨著柔度系數(shù)的增大而減小，沿跨徑來看，跨中軸力的減小幅度最大，越靠近拱腳軸力的減小幅度越小，極值的減小幅度略低于跨中軸力。柔度系數(shù)對剪力的影響程度沿跨中至拱趾呈增大趨勢，拱趾處最大?？缰兄良袅α泓c截面的剪力隨著柔度系數(shù)的增大而增大，剪力零點截面至拱趾段的剪力變化相反，拱趾處的變化幅度最大?？梢姡綇椥灾С袑拜S內力具有顯著的調控作用，并且隨著水平彈性支承柔度系數(shù)改變，內力發(fā)生不同程度的改變，彎矩的變化幅度最大，其次是剪力，軸力的變化幅度最小。

3 結論

本文將非理想邊界簡化為彈性支承，采用精確曲線積分推導得到考慮彈性壓縮的剛臂長度、常變位和載變位顯式解和拱軸內力解析解。通過與有限元解比較，證明本文解析解正確可靠?？蓽蚀_高效對豎向移動荷載作用下等截面彈性支承拋物線拱進行內力理論計算與分析，并得到如下結論：

(1) 在拱頂豎向集中荷載下，不考慮拱肋彈性壓縮影響導致的水平推力計算誤差最大發(fā)生在拱趾支承為剛性約束時，最大誤差可以達到27.8%，且彎壓剛度越大誤差越大；支承處設置水平彈性彈簧可以削弱拱肋彈性壓縮對水平推力計算誤差的影響，并且對水平推力具有顯著的削弱作用；水平推力影響系數(shù)隨矢跨比的增大而增大，彎壓剛度比為1.93、水平彈性支撐柔度系數(shù)為0.02 時，常見矢跨比的拋物線拱水平推力影響系數(shù)在0.15左右。

(2) 水平彈性支承對拋物線拱的拱軸內力分布具有顯著的調控作用，尤其是隨彈性支承柔度系數(shù)的增大，拱趾附近的內力削弱幅度最大；隨著水平彈性支承柔度系數(shù)改變，內力變化幅度大小依次為彎矩、剪力和軸力。

本文研究成果可為拱肋與支承基礎協(xié)調設計及其優(yōu)化提供參考。