基于分形特征的煤泥濾餅孔滲關(guān)系模型研究

馮澤宇，董憲姝，陳茹霞

（1.太原理工大學(xué) 安全與應(yīng)急管理工程學(xué)院,山西 太原 030024；2.太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院,山西 太原 030024）

煤炭水分是連接煤炭流向與碳脈和估算煤炭相關(guān)CO2排放量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，煤炭高效脫水是實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)和推動(dòng)煤炭資源綠色低碳發(fā)展的重要保障[1-2]。近年來，隨著煤炭機(jī)械化開采的快速發(fā)展，以及富礦資源的日益枯竭，導(dǎo)致入選原煤中原生煤泥和次生煤泥的含量顯著增加，高泥化煤泥水具有黏土礦物含量高、顆粒比表面積大、表面負(fù)電性強(qiáng)、水化作用明顯、毛細(xì)管作用強(qiáng)等特點(diǎn)，致使煤泥濾餅水分偏高、過濾速度慢、過濾設(shè)備的工作效率低、煤泥利用價(jià)值低等問題[3-5]。

為提高煤泥固液分離效率，當(dāng)前學(xué)者們圍繞入料性質(zhì)、藥劑-顆粒相互作用、設(shè)備結(jié)構(gòu)參數(shù)以及脫水工藝等多個(gè)方面進(jìn)行了深入研究[6-10]，然而，現(xiàn)有研究多集中在相關(guān)影響因素的探究和宏觀過濾效果的描述上，而針對(duì)濾餅孔隙結(jié)構(gòu)特性以及滲流機(jī)理的研究報(bào)道卻較為罕見，事實(shí)上，諸多影響因素可以通過改變?yōu)V餅孔隙參數(shù)，進(jìn)而影響濾餅滲透率，最終導(dǎo)致過濾性能的差異。當(dāng)前研究濾餅結(jié)構(gòu)的途徑仍然以連續(xù)切片觀察法為主[11]，但是該方法是一種有損檢測(cè)法，且只能在二維平面內(nèi)分析濾餅特性，三維重建難度大。同時(shí)，由于濾餅自身存在易松散、水分高、顆粒成分復(fù)雜等特征，現(xiàn)有多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)表征方法，譬如壓汞法、氮?dú)馕椒?、核磁共振法、掃描電鏡法等[12-15]由于樣品制備或測(cè)試條件等方面的限制也難以用于微細(xì)礦物濾餅結(jié)構(gòu)的表征分析當(dāng)中，如何實(shí)現(xiàn)濾餅結(jié)構(gòu)的三維無損定量表征是選煤行業(yè)亟待解決的一大技術(shù)難題。

近年來，隨計(jì)算機(jī)科學(xué)和相關(guān)圖像重建技術(shù)的進(jìn)步，顯微CT 技術(shù)憑借其成像精度高、易于重構(gòu)、樣品制備簡(jiǎn)單、無損檢測(cè)等優(yōu)勢(shì)被快速推廣到多孔介質(zhì)研究領(lǐng)域當(dāng)中，為礦物顆粒和濾餅孔隙結(jié)構(gòu)研究提供了強(qiáng)有力的支持[16]。LIN 和MILLER 將顯微CT 技術(shù)和LBM 模擬相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了精煤濾餅的三維定量分析和孔隙網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建，并模擬計(jì)算了其滲透率[17-18]。LI 等[19]通過X 射線顯微分析儀（3DXRM）分析了石英/高嶺石絮體的結(jié)構(gòu)和濾餅的孔隙率。FENG 等[20]在此基礎(chǔ)上對(duì)石英礦物的濾餅的孔隙連通性、迂曲度、孔隙形狀以及孔徑分布等關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了提取和表征。以上研究為探索濾餅微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征提供了新思路。此外，如何建立濾餅微觀結(jié)構(gòu)與滲透性之間的關(guān)系也是一個(gè)仍在研究中的關(guān)鍵課題。目前主流的多孔介質(zhì)滲透率預(yù)測(cè)模型包括經(jīng)典K-C 方程和分形滲透率模型，由于經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的局限性和未充分考慮到孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)的多樣性和復(fù)雜性，致使其適用性受到了限制[21-24]。雖然先前學(xué)者對(duì)此做了大量的修正和優(yōu)化，但對(duì)于各向異性的多孔介質(zhì)，仍然無法準(zhǔn)確地描述和預(yù)測(cè)其宏觀滲透率。而對(duì)于濾餅這類高隨機(jī)性復(fù)雜多孔介質(zhì)的孔滲關(guān)系的報(bào)道更是少之甚少。

筆者以煤泥、精煤、高嶺石、蒙脫石以及石英等礦物為研究對(duì)象，分析了其過濾性能和滲透性的差異，利用CT 掃描技術(shù)，研究了不同礦物顆粒的三維濾餅孔隙結(jié)構(gòu)特性，并結(jié)合核磁共振技術(shù)，引入束縛水飽和度和孔隙截面形狀分形維數(shù)，對(duì)現(xiàn)有分形滲透率模型進(jìn)行修正，建立了濾餅微觀滲透率預(yù)測(cè)模型，以期為完善固液分離理論與和優(yōu)化脫水操作等提供依據(jù)和借鑒。

1 試驗(yàn)材料與表征

試驗(yàn)中使用的煤泥來自山西焦煤集團(tuán)公司西曲選煤廠的濃縮機(jī)底流樣品，質(zhì)量濃度為380 g/L，該煤泥樣品45 μm 以下的微細(xì)礦物顆粒占87.09%;d50=17.21 μm，灰分為67.82%。使用MiniFlex600 型X 射線衍射儀對(duì)該煤樣進(jìn)行XRD 分析，其XRD 圖譜如圖1 所示。由XRD 測(cè)試圖譜結(jié)果可知，煤泥中含有大量的高嶺石、石英、蒙脫石、白云石、碳酸鈣等礦物質(zhì)。為了進(jìn)一步考察煤泥樣品各組分對(duì)其濾餅孔隙結(jié)構(gòu)和滲透率的影響，本文選取精煤、高嶺石、蒙脫石以及石英純礦物作為研究對(duì)象。其中，精煤樣品來自于山西焦煤集團(tuán)公司西曲選煤廠的浮選精煤，試驗(yàn)所用鈉基蒙脫石(Na-Mt)原礦選自內(nèi)蒙古赤峰市，高嶺石為化學(xué)純樣品，純度為99%，石英樣品為河北富彩納米材料公司生產(chǎn)的高純度石英（SiO2＞99%）。采用Microtrac S3500 激光粒度分析儀分別對(duì)試驗(yàn)樣品粒度組成進(jìn)行分析，結(jié)果如圖2所示。由圖2 可知，精煤、石英、高嶺石以及蒙脫石顆粒的中值粒徑d50分別為31.71、32.48、18.5 和0.48 μm。

圖1 煤泥中礦物質(zhì)的XRD 分析Fig.1 XRD analysis of minerals in coal slime

圖2 不同礦物的粒度分布Fig.2 Particle size distribution of different minerals

2 試驗(yàn)方法

2.1 過濾試驗(yàn)

采用圖3 所示的試驗(yàn)室自主研制的智能加壓脫水試驗(yàn)裝置進(jìn)行煤泥脫水試驗(yàn)，具體步驟如下：①量取100 mL 煤泥水樣品充分混合攪拌5 min；②打開加壓脫水機(jī)的空氣壓縮泵，調(diào)節(jié)壓力，將煤泥水倒入樣品池中，將樣品池安裝固定至脫水機(jī)內(nèi)；③打開數(shù)據(jù)采集軟件和智能加壓脫水機(jī)啟動(dòng)開關(guān)，實(shí)時(shí)記錄濾液體積、過濾時(shí)間及壓力變化值；④將濾餅放置在105 ℃的烘箱內(nèi)干燥并測(cè)量其水分；⑤根據(jù)公式（1）和公式（2）分別計(jì)算濾餅滲透率和平均過濾速度，利用文獻(xiàn)[16]中的方法計(jì)算濾餅比阻。

圖3 加壓過濾裝置Fig.3 A schematic of the filtration experimental setup

式中：Q為流體流過濾餅的流量，m3/S；A為過濾器截面積，m2；k為濾餅滲透率，m2；μ為濾液黏度，P a·s；ΔP為濾餅兩端的壓差，Pa；L為滲流路徑長(zhǎng)度，m。

式中：V為濾液體積；A為過濾面積；t為過濾時(shí)間。

2.2 CT 試驗(yàn)

利用nanoVoxel-4000 高分辨X 射線三維顯微鏡分別對(duì)不同礦物的濾餅樣品進(jìn)行CT 分析，該CT 掃描系統(tǒng)主要由X 射線源、平板探測(cè)器、精密樣品臺(tái)、圖像采集系統(tǒng)、三維圖像重建和處理系統(tǒng)等組成。將聚丙烯圓管垂直向下插入壓濾成型的濾餅進(jìn)行取樣，將夾有濾餅的采樣器放置液氮罐中冷卻10 min，從液氮罐中取出采樣器，立即放入冷凍干燥箱中冷凍24 h 得到硬化后的濾餅，將試樣固定在載物臺(tái)上，打開主控計(jì)算機(jī)，開啟X 射線源，設(shè)置掃描電壓為70 kV，電流40 μA，曝光時(shí)間為60 s，將旋轉(zhuǎn)360°后所獲得的一系列投影圖進(jìn)行圖像重構(gòu)后得到濾餅樣品的三維圖像（圖4）。

圖4 nanoVoxel-4000 系列X 射線三維顯微鏡Fig.4 NanoVoxel-4000 series X-ray 3D microscope

2.3 低場(chǎng)核磁共振試驗(yàn)

采用上海紐邁電子科技有限公司生產(chǎn)的MacroMR12-150H-I 系列核磁共振分析儀對(duì)冷凍干燥后的濾餅試樣（飽水狀態(tài)下）進(jìn)行低場(chǎng)核磁共振測(cè)試，采用 CPMG 序列采集樣品信號(hào)值，測(cè)試參數(shù)設(shè)置如下：共振頻率為12.98 MHz，磁體強(qiáng)度0.55 T，線圈直徑為25 mm，磁體溫度為32 ℃，回波數(shù)為8 000，回波時(shí)間為0.2 ms，采樣等待時(shí)間為3 000 ms，重復(fù)掃描次數(shù)為32，試驗(yàn)在 25 ℃恒溫環(huán)境下進(jìn)行。采樣結(jié)束后，等間隔對(duì)濾餅的回波曲線進(jìn)行取點(diǎn)，并保存數(shù)據(jù)，采用CONTIN 算法對(duì)濾餅樣品的回波曲線進(jìn)行反演得到樣品T2 分布曲線，對(duì)T2 分布曲線中不同的峰進(jìn)行積分，得到該部分水分的面積，即水分分布。

3 試驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 過濾試驗(yàn)結(jié)果

為考察不同礦物的過濾脫水特性，分別對(duì)煤泥、精煤、高嶺石、蒙脫石以及石英進(jìn)行了加壓過濾試驗(yàn)，以濾餅水分，濾餅比阻，濾餅滲透率及平均過濾速度為指標(biāo)分別考察其過濾性能，試驗(yàn)結(jié)果見表1。不同礦物的過濾結(jié)果表明，由于微細(xì)黏土礦物（蒙脫石和高嶺石）粒度細(xì)，比表面積大、強(qiáng)親水性和強(qiáng)表面電負(fù)性等特點(diǎn)，因而其過濾速度最慢，濾餅比阻和水分最高，煤泥樣品由于集中了大量的黏土礦物，其體系十分穩(wěn)定復(fù)雜，脫水也較為困難。而精煤和石英的粒度較大且分布集中，表面性質(zhì)較為穩(wěn)定，因此過濾速度最快，濾餅比阻和水分最低。

表1 不同礦物的過濾性能分析結(jié)果Table 1 Statistic results of filtration performance

3.2 CT 試驗(yàn)結(jié)果

在AVIZO 2019 軟件中利用三維中值濾波算法對(duì)5 種不同礦物濾餅的CT 灰度圖像進(jìn)行濾波增強(qiáng)處理，以提高圖像質(zhì)量，便于后續(xù)圖像分割及定量分析，并利用Interactive Thresholding模塊與Interactive Top-Hat 模塊相結(jié)合的圖像分割方法對(duì)微米級(jí)CT 灰度圖像進(jìn)行二值化分割（圖5），劃分出孔隙和礦物顆粒基質(zhì)，將孔隙區(qū)域用藍(lán)色渲染并進(jìn)行三維重構(gòu)（圖6、圖7），依據(jù)分割結(jié)果計(jì)算各濾餅的孔隙率，并與氣測(cè)法所測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證CT 方法的準(zhǔn)確性和可行性。使用Axis Connectivity 命令模塊對(duì)濾餅孔隙連通性進(jìn)行分析，分別統(tǒng)計(jì)濾餅多孔介質(zhì)當(dāng)中的聯(lián)通孔隙、孤立孔隙以及顆粒的的體積，最后計(jì)算孤立孔隙占總孔隙的體積比例及連通孔隙的體積比，5 種礦物濾餅的孔隙連通性分析結(jié)果見表2，進(jìn)一步利用Separate Objects 功能將相互連接的整體孔隙分割為單一的對(duì)象（圖8），并用于孔隙特征定量分析，分別統(tǒng)計(jì)不同礦物濾餅的孔隙率和連通性以及孔徑分布，結(jié)果分別如表2 和圖9 所示，使用Auto Skeleton 命令將孔隙空間的體素骨架轉(zhuǎn)換為由節(jié)點(diǎn)和線段組成的孔隙中軸線圖，其中節(jié)點(diǎn)是分支點(diǎn)和端點(diǎn)，而線段是連接節(jié)點(diǎn)的曲線（圖10），并計(jì)算各個(gè)樣品的孔隙迂曲度（圖11）。

表2 孔隙連通性分析結(jié)果Table 2 Analysis results of pore connectivity

圖5 不同礦物濾餅的原始二維切片F(xiàn)ig.5 Original two-dimensional slice images of cakes with different mineral

圖6 CT 圖像閾值分割結(jié)果Fig.6 Threshold segmentation results of cakes

圖7 濾餅孔隙空間三維重構(gòu)結(jié)果Fig.7 Three-dimensional reconstruction results of filter cake pore space

圖9 樣品孔徑累計(jì)分布Fig.9 Cumulative distribution of sample pore size

圖10 不同礦物濾餅的孔隙中軸線提取結(jié)果Fig.10 Extraction results of pore central axis of cakes with different minerals

圖11 不同礦物濾餅的孔隙迂曲度計(jì)算結(jié)果Fig.11 Calculation results of pore tortuosity of cakes with different minerals

以上結(jié)果表明：CT 掃描方法能夠準(zhǔn)確地提取和分割濾餅圖像內(nèi)的顆?；|(zhì)和孔隙空間，其孔隙率測(cè)試結(jié)果與氣測(cè)法結(jié)果吻合良好。石英和精煤濾餅孔隙率最高且連通性最佳，孤立孔比例最低，而高嶺石和蒙脫石濾餅孔隙最低，且連通性極差，孤立孔所占比例較大，煤泥濾餅有效孔隙率較低，連通性較差；蒙脫石濾餅孔隙尺寸最小，10 μm 以下孔徑占到90%以上，高嶺石濾餅的孔徑也較細(xì)，煤泥濾餅孔道較狹窄，孔徑略大于粘土礦物濾餅，而精煤濾餅的平均孔徑最大，石英次之，且以10～30 μm 的大孔為主；煤泥濾餅的迂曲度最大，精煤濾餅迂曲度最小，石英次之，而蒙脫石和高嶺石濾餅由于孔隙數(shù)量較少，孔徑較小的原因?qū)е掠厍纫草^大。

3.3 現(xiàn)有滲透率模型的驗(yàn)證

在微細(xì)礦物過濾過程中，流體在濾餅中的滲流往往會(huì)受到其自身孔隙結(jié)構(gòu)的控制，考察濾餅微觀結(jié)構(gòu)對(duì)其滲透率的影響并建立兩者之間的相關(guān)關(guān)系是評(píng)價(jià)宏觀過濾性能的重要基礎(chǔ)。目前廣泛使用的滲透率預(yù)測(cè)模型仍然以KC 方程為主，其表達(dá)式如下：

其中，K為多孔介質(zhì)的滲透率；?為多孔介質(zhì)的孔隙率；S為顆粒的比表面積；d為顆粒粒徑；k為常數(shù)，經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，隨材料變化而變化，對(duì)于均勻固定的顆粒床，k通常取5，對(duì)于快速移動(dòng)的床層，k近似為3.36。

眾所周知，KC 方程雖被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域的多孔介質(zhì)滲透率預(yù)測(cè)中，但KC 常數(shù)是一個(gè)沒有明確物理意義的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，且研究表明KC 常數(shù)是一個(gè)依賴于微觀孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)的變量，該方程自提出以來就被不斷修正以改進(jìn)其計(jì)算精度。分形作為描述復(fù)雜、無規(guī)、非線性物體的可行理論工具，逐漸替代傳統(tǒng)歐氏幾何方法被廣泛用于描述多孔介質(zhì)微結(jié)構(gòu)，XU 和YU[25]根據(jù)分形幾何理論并結(jié)合毛管束模型提出了具有分形特征的KC 方程，具體表達(dá)形式如方程（4）所示：

式中：K為滲透率；Df為孔徑分布分形維數(shù)；DT為孔隙遷曲度的分形維數(shù)；φ為孔隙率；λmax為多孔介質(zhì)中的最大孔徑。區(qū)別于其它滲透率模型，該模型考慮到孔隙特征中孔隙大小分布分形維數(shù)Df和孔道遷曲度分形維數(shù)DT及孔隙率三個(gè)重要參數(shù)對(duì)滲透率的影響，更加接近實(shí)際流動(dòng)情況，也得到了具有分形形式的KC 常數(shù)，稱之為雙重分形滲透率模型。

首先將濾餅孔隙率和顆粒平均粒徑（d50）的數(shù)據(jù)導(dǎo)入KC 方程中，分別將k值取為5 和3.36，計(jì)算5塊不同礦物的濾餅滲透率。同時(shí)，濾餅孔隙是一種具有高隨機(jī)性和復(fù)雜性的多孔微結(jié)構(gòu)，因此亦使用雙重分形滲透率模型對(duì)濾餅滲透率進(jìn)行了預(yù)測(cè)，來評(píng)價(jià)這2 種模型在濾餅滲透率預(yù)測(cè)方面的適用性及可靠性。表3 為采用雙重分形模型以及KC 方程對(duì)不同礦物濾餅滲透率的預(yù)測(cè)以及與實(shí)測(cè)滲透率之間的比較，由表3 可知，當(dāng)k值取為5 時(shí)，KC 方程會(huì)低估濾餅的滲透率，且整體預(yù)測(cè)誤差較大。當(dāng)k值取為3.36 時(shí)，K-C 模型的預(yù)測(cè)值和測(cè)量值之間的誤差有所減小，預(yù)測(cè)精度一定程度上也得到了改善，但是整體預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值仍存在較大誤差，KC 模型的誤差可歸因于經(jīng)驗(yàn)方法確定的KC 常數(shù)和粒徑。先前學(xué)者指出KC 模型是基于等徑且筆直平行毛細(xì)管束模型開發(fā)的，而實(shí)際濾餅孔隙是包含復(fù)雜曲折度和孔徑分布特征的，同時(shí)，KC 常數(shù)是針對(duì)均勻球形顆粒填充床的假設(shè)而提出的，實(shí)際濾餅中沉積顆粒的尺寸范圍很廣，取決于沉積礦物的壓實(shí)和分選特性，在實(shí)際工程應(yīng)用中，顆粒直徑d亦或比表面積S是很難確定的，且很難使用控制粒徑來反映實(shí)際的顆粒分布情況，因此，將k值作為常數(shù)來預(yù)測(cè)其滲透率顯然是不合理的。表3 數(shù)據(jù)同樣表明，雙重分形滲透率模型整體預(yù)測(cè)精度明顯優(yōu)于KC 方程，對(duì)精煤和石英濾餅的滲透率預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值較為接近，但是對(duì)黏土礦物和煤泥濾餅的預(yù)測(cè)誤差依舊較大，由此可見，雙重分形滲透率模型依然難以勝任濾餅滲透率的預(yù)測(cè)，其誤差源可能是由以下原因引起的：雙重分形模型是基于Hagen-Poiseulle 方程和Darcy 定律而開發(fā)的，而Hagen-Poiseulle 方程是在單一圓柱毛細(xì)管束基礎(chǔ)上所建立的，未考慮到孔隙截面形狀的影響作用。眾所周知，濾餅通常具有可壓縮性，其孔隙形狀是非常復(fù)雜的，往往取決于沉積顆粒自身的形狀和排列方式，將其孔隙截面形狀簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)圓形顯然是不合理的，從而致使雙重分形滲透率計(jì)算模型與實(shí)際測(cè)試結(jié)果存在的較大差異。

表3 不同滲透率模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of prediction results of different permeability models

3.4 煤泥濾餅微觀滲透率模型的修正

針對(duì)傳統(tǒng)分形滲透率模型中將孔隙截面簡(jiǎn)化為圓形的理想化模型的局限性，根據(jù)分形理論建立的新型毛管束模型，從而建立一個(gè)包含孔隙形狀分形維數(shù)的三重分形多孔介質(zhì)滲透率模型。實(shí)際濾餅孔隙結(jié)構(gòu)是由不規(guī)則截面形狀的孔道組成，如圖12 所示，根據(jù)分形理論，對(duì)于二維空間內(nèi)的不規(guī)則分形幾何體，MANDELBROT[26]提出垂直于流動(dòng)方向單位截面中的毛管的孔隙面積A(ε)和 周長(zhǎng)C(ε)滿足如下呈冪函數(shù)關(guān)系：

圖12 實(shí)際多孔介質(zhì)孔隙截面示意Fig.12 Schematic diagram of pore section of porous media

式中，C(ε)為 孔隙截面的周長(zhǎng)；A(ε)為孔隙截面的面積；D為形狀分形維數(shù)；ra為截面面積當(dāng)量半徑；rc為截面周長(zhǎng)當(dāng)量半徑。

將式（5）變形整理，可得：

在Hagen-Poiseulle 流動(dòng)中，流體在孔道內(nèi)作定常層流時(shí)，孔道內(nèi)部具有相同速度梯度的流體，其黏滯阻力可表示為

式中：FV為流體黏滯阻力；μ為流體的黏度；Ax為具有相同速度梯度的流動(dòng)層的層面積；dv/dx為速度梯度。

Ax又可寫作：

其中，rcx為具有速度梯度dv/dx的流動(dòng)層的周長(zhǎng)當(dāng)量半徑；Lt=τL0為孔道實(shí)際長(zhǎng)度；L0為孔道直線長(zhǎng)度；τ為孔道迂曲度。

將式（6）和（7）聯(lián)立得到：

其中，rax為速度梯度為dv/dx的滲流截面的面積當(dāng)量半徑。

此時(shí)，作用在同一流動(dòng)截面上的流體驅(qū)動(dòng)力為

式中：Fd為垂直截面流動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力；P1和P2分別為孔道兩端的壓力。當(dāng)流體在做無加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，其驅(qū)動(dòng)力等于黏滯阻力，即：

式中，v為當(dāng)量半徑為rax的截面中流體的流速；C為積分常數(shù)。

當(dāng)rax=ra時(shí)，v=0，則積分常數(shù)C為

將整個(gè)孔道中各層內(nèi)的流量疊加，積分即可得到整個(gè)孔道內(nèi)流體的流量：

其中，Acx為具有相同速度梯度的截面面積，因?yàn)榻孛娴拿娣e當(dāng)量直徑λ與當(dāng)量直徑ra滿足如下關(guān)系：

將上式代到式（16），可得整個(gè)孔道內(nèi)流體的流量q(λ)：

將孔徑為λ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)t(λ)的各孔隙中的流體流量q(λ)相疊加，進(jìn)行積分即可得到所有孔道內(nèi)的總流量Q：

又因?yàn)棣薽in＜＜λmax，因此λmin/λmax是無限接近于0 的，引入多孔介質(zhì)的橫截面積A0，可以將式（20）寫為

根據(jù)孔隙的分形標(biāo)度律，可知多孔介質(zhì)的總孔面積AP為

將公式（25）代入公式（23）當(dāng)中，可得多孔介質(zhì)的有效滲透率為

式（26）即為三重分形滲透率的解析表達(dá)式，在此簡(jiǎn)稱Ft模型，該方程不包含任何經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，且每一項(xiàng)都有明確的物理意義，它表明多孔介質(zhì)的滲透率是一個(gè)關(guān)于微觀孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)（孔道迂曲度分形維數(shù)、孔徑分布分形維數(shù)、孔隙形狀分形維數(shù)以及有效孔隙率）的函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用過程中，孔隙形狀分形維數(shù)D可以通過Mandelbrot 提出的分形幾何體的周長(zhǎng)和面積之間的相關(guān)關(guān)系來確定（公式（20）），將CT掃描獲取的濾餅二維切片圖中的孔隙周長(zhǎng)和面積進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并計(jì)算lgP和lgA，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下作圖進(jìn)行線性回歸分析，所得直線斜率的2 倍即為D。將CT 掃描獲取的最大孔隙尺寸λmax和最小孔隙尺寸λmin代入公式（27）計(jì)算得到孔隙尺寸分形維數(shù)Df，將迂曲度的數(shù)據(jù)代入公式（29）計(jì)算迂曲度分形維數(shù)DT，再結(jié)合有效孔隙率 φe的數(shù)據(jù)，通過公式（26）計(jì)算各濾餅試樣的滲透率，結(jié)果見表4。由表4 可知，F(xiàn)t模型對(duì)于精煤和石英濾餅的適用性較好，而對(duì)于蒙脫石、高嶺石及煤泥濾餅的滲透率預(yù)測(cè)結(jié)果卻并不合理，原因在于黏土礦物顆粒表面具有強(qiáng)親水和電負(fù)性，水分子能夠通過氫鍵在其表面發(fā)生水化作用形成水化膜及束縛水，大量的束縛水會(huì)占據(jù)孔隙空間，致使?jié)B流有效通道銳減，而Ft模型并未考慮束縛水對(duì)流體滲流的影響，因此其計(jì)算結(jié)果必然會(huì)偏大，必須對(duì)其進(jìn)行修正，排除束縛水占據(jù)的無效孔隙的影響，才能用于黏土滲透系數(shù)的預(yù)測(cè)。

表4 濾餅滲透率實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的對(duì)比Table 4 Results of measured and calculated permeability

3.5 濾餅束縛水飽和度的測(cè)定

為了束縛水占據(jù)總孔道的比例，采用低場(chǎng)核磁共振分析儀分別測(cè)量五個(gè)濾餅樣品的水分分布，通過對(duì)弛豫信號(hào)進(jìn)行反演得到各自的橫向弛豫時(shí)間T2 分布曲線，如圖13 所示。隨著橫向弛豫時(shí)間的增加，將這些獨(dú)立的峰代表的水分自左向右分為顆粒內(nèi)部束縛水、顆粒間束縛水以及自由水，各部分的面積和比例見表5。結(jié)合圖13 和表5 中數(shù)據(jù)分析可知，蒙脫石因其特殊的2∶1 型層狀晶體結(jié)構(gòu)，極易吸水膨脹，因此其濾餅中顆粒內(nèi)部存在大量的束縛水，顆粒間存在少量的束縛水，孔隙內(nèi)自由水含量極低，說明其濾餅孔隙多為無效孔道；煤泥、石英和高嶺石濾餅的T2 反演圖譜曲線上均存在顆粒內(nèi)束縛水和自由水2 個(gè)明顯的波峰，其中，高嶺石束縛水和自由水峰的位置更靠左，束縛水峰面積略大于石英，自由水峰面積略小于石英濾餅，說明高嶺石顆粒更容易膨脹水化，濾餅內(nèi)束縛水含量更高；煤泥顆粒成分復(fù)雜，黏土礦物含量較高，其濾餅內(nèi)也存在大量的顆粒內(nèi)束縛水；精煤濾餅T2 圖譜曲線在100 ms附近呈現(xiàn)一個(gè)尖銳的獨(dú)立峰，在3 ms 附近出現(xiàn)一個(gè)極其微弱的峰，表明其濾餅內(nèi)幾乎不存在束縛水，自由水含量極高，多為連通的有效孔道。

表5 不同礦物濾餅的水分相態(tài)劃分結(jié)果Table 5 Results of water phase state partition of different mineral filter cake

圖13 不同礦物濾餅的橫向弛豫時(shí)間分布曲線Fig.13 Transverse relaxation time distribution curve of different mineral filter cake

為了量化束縛水的影響，引入束縛水飽和度的概念，對(duì)三重分形滲透率模型進(jìn)行再次修正，假定束縛水均勻地附著在毛細(xì)管的內(nèi)壁上（圖14），則孔道內(nèi)束縛水飽和度為

圖14 包含束縛水的多孔介質(zhì)孔隙空間模型Fig.14 Pore space model of porous media containing bound water

式中：Vboud-water，Vpore分別是束縛水體積和孔隙體積。重新排列公式（30）給出束縛水孔道半徑rh和孔道實(shí)際半徑rf之間的關(guān)系：

因此，在考慮束縛水存在時(shí)，滲透率模型中的面積當(dāng)量直徑λ應(yīng)使用以下公式修正：

其中，λf為修正后的實(shí)際當(dāng)量直徑，將上式代入式（18），可得包含束縛水飽和度的整個(gè)孔道內(nèi)流體的流量q(λ)：

將修正后的流量方程代入三重分形滲透率模型的解析表達(dá)式中，得到包含束縛水飽和度的三重分形滲透率模型，并將該模型命名為Fts模型，其表達(dá)式如下：

將包含束縛水飽和度的三重分形滲透率模型應(yīng)用到各個(gè)礦物濾餅滲透率的預(yù)測(cè)當(dāng)中，將CT 掃描和低場(chǎng)核磁共振獲取到的各個(gè)中間參數(shù)通過公式（34）計(jì)算不同礦物濾餅的滲透率，結(jié)果見表6。

表6 濾餅滲透率實(shí)測(cè)值和模擬值的對(duì)比Table 6 Comparison of measured and simulated permeability of filter cake

由表6 可知，F(xiàn)ts模型對(duì)于不同礦物濾餅滲透率的計(jì)算精度明顯優(yōu)于Ft模型，對(duì)于石英和精煤濾餅的適用性最好，相對(duì)誤差分別為1.34%和1.15%，對(duì)于高嶺石及復(fù)雜組分的煤泥濾餅，其滲透率預(yù)測(cè)誤差也可以控制在5%之內(nèi)，而且蒙脫石滲透率的計(jì)算誤差也從40.27%降低至13.42%。蒙脫石濾餅滲透率計(jì)算偏差是由于蒙脫石復(fù)雜的流變性所導(dǎo)致的，流體黏度μ的取值會(huì)對(duì)該模型的計(jì)算精度產(chǎn)生較大的影響。

本文推導(dǎo)了包含孔隙截面形狀和束縛水飽和度的濾餅有效滲透率模型，該模型相對(duì)于傳統(tǒng)K-C 方程，雙重分形滲透率模型以及三重分形滲透率模型而言，該方程不包含任何經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，將較容易準(zhǔn)確測(cè)得的孔隙參數(shù)和計(jì)算變量有機(jī)的結(jié)合起來，具有確切的物理意義，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)復(fù)雜礦物濾餅滲透率的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。值得注意的是，該模型是在基于牛頓流體和穩(wěn)定層流的前提所建立的，為了擴(kuò)大其適用范圍，可以將流體以及流動(dòng)的非線性因素（比如湍流情況、非牛頓流體等）考慮到模型中，以期進(jìn)一步為煤泥高效固液分離提供科學(xué)依據(jù)和支持。

4 結(jié)論

1）蒙脫石和高嶺石的過濾速度最慢，濾餅比阻和水分最高，煤泥的過濾速度較慢，濾餅比阻和水分較高，而精煤和石英的過濾速度最快，濾餅比阻和水分最低。

2）精煤濾餅的孔徑分布以大孔為主，但內(nèi)部存在一定量的孤立小孔，連通性一般，孔隙迂曲度最低；石英濾餅孔隙率最大，連通性最高，但孔徑較小，迂曲度較大；煤泥濾餅孔隙以狹窄條狀分布為主，且孔徑較小，總體孔隙率較低，連通性差，迂曲度高；而蒙脫石和高嶺石類黏土礦物所形成的濾餅，孔隙數(shù)量極少，而且多以10 μm 以下的細(xì)孔所組成，迂曲度較大，連通性也較差。

3）K-C 方程和雙重滲透率分形模型對(duì)濾餅滲透率的預(yù)測(cè)誤差都較大，誤差來源于未考慮濾餅孔隙截面形狀以及束縛水飽和度對(duì)滲透率的影響。通過引入孔隙截面形狀分形維數(shù)推導(dǎo)的三重分形滲透率模型對(duì)石英和精煤濾餅滲透率的預(yù)測(cè)誤差控制在2.55%和2.05%，然而對(duì)于蒙脫石、高嶺石及煤泥濾餅的滲透率預(yù)測(cè)結(jié)果卻明顯偏大。

4）濾餅微觀滲透率預(yù)測(cè)模型不僅對(duì)純礦物濾餅滲透率預(yù)測(cè)精度高，而且對(duì)于復(fù)雜組分的煤泥濾餅，其滲透率預(yù)測(cè)誤差也可以控制在5%之內(nèi)，而且蒙脫石滲透率的計(jì)算誤差也從40.27%降低至13.42%。